Kelvindruppelaar

[Bartjes]

Met WolframAlpha vinden we de volgende oplossingen:

http://www.wolframal...t+%3D+b*x+-+c*y

(Daarbij gaan we - zoals in dit hele topic - uit van een symmetrische druppelaar.)

[Bartjes]

We hebben als oplossing van het stelsel:

\( a \, . \, \frac{\mbox{d} x}{\mbox{d} t} \, = \, b . y \, - \, c . x \)

,

\( a \, . \, \frac{\mbox{d} y}{\mbox{d} t} \, = \, b . x \, - \, c . y \)

,

dus:

\( x(t) = \frac{x(0)}{2} . \left ( e^{ \frac{-b-c}{a} . t } \, + \, e^{ \frac{b-c}{a} . t } \right ) \, + \, \frac{y(0)}{2} . \left ( e^{ \frac{b-c}{a} . t } \, - \, e^{ \frac{-b-c}{a} . t } \right ) \)

,

\( y(t) = \frac{x(0)}{2} . \left ( e^{ \frac{b-c}{a} . t} \, - \, e^{ \frac{-b-c}{a} . t } \right ) \, + \, \frac{y(0)}{2} . \left ( e^{ \frac{-b-c}{a} . t } \, + \, e^{ \frac{b-c}{a} . t } \right ) \)

.

De juistheid van deze oplossing verifieert men door substitutie.

[jkien]

De tijdconstante van de exponentiele groei is kennelijk T = C / (D - 1/R).

Welk effect zou een constante valtijd hebben op de vergelijkingen en op de oplossing? Blijft het exponentiele groei, en zoja, wat wordt dan de tijdconstante?

[Bartjes]

Welk effect zou een constante valtijd hebben op de vergelijkingen en op de oplossing? Blijft het exponentiele groei, en zoja, wat wordt dan de tijdconstante?

Het lijkt mij een redelijke aanname dat de lading van de druppeltjes tijdens hun val (nagenoeg) constant blijft en dat er boven per seconde evenveel druppeltjes aan hun val beginnen als er op de verschillende hoogten van het valtraject per seconde passeren. Hetzelfde geldt dan voor de op verschillende hoogten gemeten elektrische stromen I₁ en I₂. (Hierbij wordt inderdaad de door de valtijd geïntroduceerde vertraging verwaarloosd.) Maar het gaat pas grondig fout zodra de spanningen van de opvangbakjes t.o.v. aarde in de buurt van de energetisch maximaal haalbare spanning komen. Dan is Kelvin's aanpak niet langer geldig.

[Bartjes]

Nog wat goochelen met plussen en minnen levert:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . (- U_2) \, - \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} (- U_2)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1 \, - \, \frac{- U_2}{\mbox{R}_2} \)

.

Voor het gemak schrijven we:

\( U_2' = - U_2 \)

.

Zodat:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . U_2' \, - \, \frac{U_1}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2'}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1 \, - \, \frac{U_2'}{\mbox{R}_2} \)

.

In het geval van een symmetrische druppelaar hebben we:

\( \mbox{C}_1 = \mbox{C}_2 = \mbox{C} \)

,

\( \mbox{R}_1 = \mbox{R}_2 = \mbox{R} \)

,

\( \mbox{d}_1 = \mbox{d}_2 = \mbox{d} \)

.

Dus:

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_1}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_2' \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_1 \)

,

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_2'}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_1 \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_2' \)

.

Toepassing van de eerder gevonden oplossing geeft:

\( U_1(t) = \frac{U_1(0)}{2} . \left ( e^{ \alpha . t } \, + \, e^{ \beta . t } \right ) \, + \, \frac{U_2'(0)}{2} . \left ( e^{ \beta . t } \, - \, e^{ \alpha . t } \right ) \)

,

\( U_2'(t) = \frac{U_1(0)}{2} . \left ( e^{ \beta . t} \, - \, e^{ \alpha . t } \right ) \, + \, \frac{U_2'(0)}{2} . \left ( e^{ \alpha . t } \, + \, e^{ \beta . t } \right ) \)

,

met:

\( \alpha = \frac{-\mbox{d} - \mbox{R}^{-1}}{\mbox{C}} = \frac{- \mbox{R} . \mbox{d} - 1}{\mbox{R} . \mbox{C}} \)

,

\( \beta = \frac{\mbox{d} - \mbox{R}^{-1}}{\mbox{C}} = \frac{ \mbox{R} . \mbox{d} - 1}{\mbox{R} . \mbox{C}} \)

.

[jkien]

Ik beperk me tot de vraag van bericht #64. Vanwege de symmetrie is er maar een vergelijking. De valtijd is S:

\( \mbox{C} \frac{\mbox{d} V(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{D} \, V(t-S) \, - \, \frac{V(t)}{\mbox{R}} \)

daaraan voldoet

\( V = V_0 e^{t/T} \)

met

\(T = \frac {C} {D e^{-S/T} - \frac{1}{R}}\)

.

De constante valtijd geldt voor het grootste deel van het oplaadproces, namelijk als de spanning nog niet erg hoog is.

[Bartjes]

Ga je er vanuit dat de beginspanning van de opvangbakjes even groot en tegengesteld is?

[jkien]

Ja, ten eerste omdat het verschil van grootte tussen links en rechts, dat in het begin al klein is, exponentieel afneemt en uitsterft (blijkt uit de slotalinea van Kelvin, geciteerd in een vorig bericht). Ten tweede omdat ik anders door de bomen het bos niet meer zie.

[Bartjes]

OK. Omdat ik traag van begrip ben, begin ik met een plaatje van de situatie dat we de valtijd S in de berekening meenemen:

kelvinsdruppelaar-plus 827 keer bekeken

Ben je het met bovenstaande voorstelling eens?

[jkien]

Ja

[Bartjes]

Op basis van het gepreciseerde schema van de Kelvin-druppelaar vinden we:

\( I_1(t-S) = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)

,

\( I_2(t-S) = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)

.

Veronderstel verder dat er positieve constanten d₁ en d₂ zijn zodat:

\( I_1(t) = - \mbox{d}_1 \, . U_2(t) \)

,

\( I_2(t) = - \mbox{d}_2 \, . U_1(t) \)

.

(Deze veronderstelling gaat voorbij aan het feit dat bij zeer hoge spanningen de druppeltjes niet meer in de opvangbakjes komen.)

Dan hebben we:

\( - \mbox{d}_1 \, . U_2(t-S) = \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)

,

\( - \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) = \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} \, + \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)

.

Oftewel:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_1 \, . U_2(t-S) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2(t)}{\mbox{d} t} = - \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)

.

Nog wat goochelen met plussen en minnen levert:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . (- U_2(t-S)) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} (- U_2(t))}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{- U_2(t)}{\mbox{R}_2} \)

.

Voor het gemak schrijven we:

\( U_2' = - U_2 \)

.

Zodat:

\( \mbox{C}_1 . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_1 \, . U_2'(t-S) \, - \, \frac{U_1(t)}{\mbox{R}_1} \)

,

\( \mbox{C}_2 . \frac{\mbox{d} U_2'(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d}_2 \, . U_1(t-S) \, - \, \frac{U_2'(t)}{\mbox{R}_2} \)

.

In het geval van een symmetrische druppelaar hebben we:

\( \mbox{C}_1 = \mbox{C}_2 = \mbox{C} \)

,

\( \mbox{R}_1 = \mbox{R}_2 = \mbox{R} \)

,

\( \mbox{d}_1 = \mbox{d}_2 = \mbox{d} \)

.

Dus:

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_1(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_2'(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_1(t) \)

,

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U_2'(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U_1(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U_2'(t) \)

.

In het volledig symmetrische geval waarin U₁(t) = U₂'(t) vanwege U₁(0) = U₂'(0), hebben we dan inderdaad maar met één vergelijking te doen. Namelijk:

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U(t) \)

.

[Bartjes]

Onze oplossing is nog niet helemaal in de haak, want wij gaan er impliciet vanuit dat er op t=0s ook al druppeltjes onderweg zijn waarvan de lading wordt bepaald door de spanning die op de opvangbakjes stond nog vóór de beginwaarde U(0).

Zou S heel groot zijn dan kan het gebeuren dat de beginspanning op de bakjes eerst (gedeeltelijk) weglekt en pas nadat de eerste druppeltje in de opvangbakjes aankomen weer oploopt. Zoiets kan echter niet door een oplossing met één enkele e-macht worden gerepresenteerd. Dit lijkt een detail, maar als we dat verwaarlozen is onze gepreciseerde benadering wellicht niet veel beter dan Kelvin's originele aanpak.

[Bartjes]

Ik heb er nog eens over nagedacht, en het lijkt mij nu dat de gevonden formules alleen geldig zijn nadat de inschakelverschijnselen goeddeels zijn uitgedoofd en voordat de energetisch maximaal haalbare spanning in zicht is. Dus kort gezegd: wanneer de druppelaar normaal in bedrijf is.

\(T = \frac {C} {D e^{-S/T} - \frac{1}{R}}\)

.

Het oplossen van deze vergelijking is nog wel een interessante uitdaging.

[Bartjes]

http://www.youtube.c...&feature=relmfu

Nog eens bovenstaande video bekeken. Op 28:50 - 30:50 wordt de druppelvorming besproken, jammer genoeg vertelt hij niet wat er precies met het beetje lading aan de bovenkant van de druppel gebeurt.

De vergelijking van het vorige berichtje is nog knap lastig. Misschien dat we hier iets mee kunnen:

http://en.wikipedia....bert_w_function

Of anders hiermee:

http://en.wikipedia....ential_equation

Ik ben daar niet goed in thuis.

[jkien]

Voor S/T<<1 kunnen we wel de eerste orde benadering bekijken, om te zien of T groter of kleiner wordt door het rekening houden met S. Vervang e^x door 1-x, dan wordt de tijdconstante T = (C + DS) / (D - 1/R). Dus, rekening houden met S helpt niet om de tijdconstante, die in een vorig bericht wat aan de grote kant leek te zijn, te verkleinen.