geluidssnelheid

[always]

Logisch dat een staaf zelf een snelheid hoger dan de geluidssnelheid kan krijgen als het op een raket bijvoorbeeld zit. Maar wat ik dan weer niet begrijp is waarom het dan heel lang duurt voordat het signaal (waar het dus allemaal om draait) aan de andere kant aankomt. Is dat dan niet gewoon iets meer dan 1 seconde voor een 12 km lange berylium staaf?

[Professor Puntje]

Op die Wikipedia-pagina staat bijvoorbeeld:

 

Here the dependent variable u(x) measures the distance from the equilibrium of the mass situated at x, so that u(x) essentially measures the magnitude of a disturbance (i.e. strain) that is traveling in an elastic material. The forces exerted on the mass m at the location x+h are:

 
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128dccc346b1598cd2332a2eee4c0c8acfd6ca57

Een duidelijk ander geval dus dan mijn model dat slechts drie gewichten bevat, in je link zitten de twee gewichten aan de uiteinden immers weer aan andere veren en gewichten vast.

 

The equation of motion for the weight at the location x+h is given by equating these two forces:

 
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03475672d64f1c412bad36c0f800a70b6fec6057

 
Waarmee de kracht F uit de vergelijkingen verdwijnt, wat ik juist niet wil.

 

Op Mathworld staat ook een mooie uitleg:

 
http://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html

 

En verder zijn er tal van wiskundeboeken die handelen over golfvergelijkingen, partiële differentiaalvergelijkingen en oplossingen daarvan.

 
Heel fijn voor wie er al van overtuigd is dat een tik of duw zich als een geluidsgolf door een materiële staaf voortzet. Het zou mij ook helemaal niet verbazen als een tik of duw zich inderdaad als een geluidsgolf door een materiële staaf voortzet. Maar wie dat - zoals onze topic starter - betwijfelt heeft daar niets aan. Liever dan er al vanuit te gaan dat we hier met voortplantende geluidsgolven te maken hebben ga ik dus verder met het doorrekenen van mijn model, en dan zullen we wel zien wie er gelijk heeft.

[Professor Puntje]

plaatje 767 keer bekeken

 
We gaan ervan uit dat de veren op t = 0 nog in rust zijn en dat x₁(0) = 0. Dan hebben we:
 

\( x_1(0) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

 

\( x_2(0) = \mbox{L} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

 

\( x_3(0) = 2 \mbox{L} \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

 

\( \dot{x}_1(0) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)

 

\( \dot{x}_2(0) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

 

\( \dot{x}_3(0) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

 

\( F_A(t) = \mbox{k} \cdot \{\mbox{L} - (x_2(t) - x_1(t)) \} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

 

\( F_B(t) = \mbox{k} \cdot \{\mbox{L} - (x_3(t) - x_2(t)) \} \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

 

\( F(t) - F_A(t) = \mbox{m} \cdot \ddot{x}_1(t) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (9) \)

 

\( F_A(t) - F_B(t) = \mbox{m} \cdot \ddot{x}_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\, (10) \)

 

\( F_B(t) = \mbox{m} \cdot \ddot{x}_3(t) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (11) \)

[Marko]

Logisch dat een staaf zelf een snelheid hoger dan de geluidssnelheid kan krijgen als het op een raket bijvoorbeeld zit. Maar wat ik dan weer niet begrijp is waarom het dan heel lang duurt voordat het signaal (waar het dus allemaal om draait) aan de andere kant aankomt. Is dat dan niet gewoon iets meer dan 1 seconde voor een 12 km lange berylium staaf?

 

 
Je hoeft inderdaad niet lang te wachten voor het signaal daar aan komt. Het duurt inderdaad gewoon die ene seconde. Wat ik bedoelde was: 
 
Als je duwt, dan moet je heel lang duwen, om de staaf vanaf snelheid 0 tot aan de geluidssnelheid te brengen.   
 
En dan duurt het ook nog eens een tijd voor het effect van de duw aan de andere kant merkbaar is. 
 
Dat laatste, die tijd, is exact hetzelfde bij een duw en bij een klap. Dat komt omdat een duw en een klap op dezelfde manier, door dezelfde atomen en bindingen worden doorgegeven door het materiaal. 
 
Het eerste verschilt wel. Uiteindelijk bepaalt de hoeveelheid energie die je erin stopt hoe snel de staaf (en dus ook het uiteinde van de staaf) gaat bewegen. Het verschil tussen een klap en een duw is dat bij een klap die energie veel sneller in het materiaal wordt gestopt. 

[Professor Puntje]

We zijn hier enkel geïnteresseerd in de versnellingen van het linkse en het rechtse gewicht op het tijdstip t=0 als reactie op de kracht F = F(0).

 

(1) & (2) & (7) ⇒

 

\( F_A(0) = \mbox{k} \cdot \{\mbox{L} - (\mbox{L} - 0) \} \)

\( F_A(0) = \mbox{k} \cdot ( \mbox{L} - \mbox{L} ) \)

 

\( F_A(0) = \mbox{k} \cdot 0 \)

 

\( F_A(0) = 0 \,\,\,\,\,\, (^*) \)

 

 

(2) & (3) & (8) ⇒

 

\( F_B(0) = \mbox{k} \cdot \{\mbox{L} - (2 \mbox{L} - \mbox{L}) \} \)

 

\( F_B(0) = \mbox{k} \cdot ( \mbox{L} - \mbox{L} ) \)

 

\( F_B(0) = \mbox{k} \cdot 0 \)

 

\( F_B(0) = 0 \,\,\,\,\,\, (^{**})\)

 

 

(9) & (*) ⇒

 

\( F(0) - 0 = \mbox{m} \cdot \ddot{x}_1(0) \)

 

\( \ddot{x}_1(0) = \frac{F(0)}{\mbox{m}} \)

 

 

(11) & (**) ⇒

 

\( 0 = \mbox{m} \cdot \ddot{x}_3(0) \)

 

\( \ddot{x}_3(0) = 0 \)

 
 
Waarmee bewezen is dat het aangeduwde of aangetikte uiteinde direct begint te versnellen maar het andere (losse) uiteinde niet. Intuïtief kun je het ook zo zien dat op t=0 alleen aan het aangeduwde of aangetikte uiteinde een netto kracht werkt aangezien de veren dan nog hun rustlengte hebben.

[always]

Ik vind het op zich geen probleem om hier wat dieper op in te gaan, maar voor mij is het wat te moeilijk. Kun je kort uitleggen wat je conclusie is van je onderzoekje ten aanzien van mijn aanvankelijke vraag, want die kan ik niet zo snel zien.

[Professor Puntje]

De geluidssnelheid in stoffen heeft een bepaalde waarde. Zo is bijv. voor beryllium de snelheid 12km/s. 
 
Als ik dus met een hamer op een lang stuk staal sla komt de geluidsgolf pas na 1 sec aan de andere kant van de 12km lange staaf aan. Maar nu blijkt het ook zo te zijn dat als ik niet op die staaf sla maar alleen de staaf vooruit duw met mijn hand het andere uiteinde ook pas 1 seconde later een verandering ondergaat. 
 
Toch vind ik dat vreemd dat een ogenschijnlijk veel snellere beweging zoals duwen even snel gaat als dat ik een trilling met een hamer veroorzaak. Dus mijn vraag is komt het uiteinde van zo'n lange staaf in beide gevallen pas na 1 sec in beweging of is er toch een verschil tussen die twee handelingen?

 
Duwen of slaan met een hamer komt in beide gevallen neer op het uitoefenen van een kracht aan het uiteinde van de staaf. Wel zal het slaan met een hamer maar kort duren terwijl het duwen net zo lang kan worden volgehouden als men maar wil. Maar voor de natuurkunde van het geval maakt dat niet uit. Je krijgt de zelfde vergelijkingen. 
 
Mijn berekening is bedoeld om aan te tonen dat er op het moment dat je aan de ene kant begint met duwen of slaan tegen de staaf er aan de andere kant nog niets te merken is. De kant waar tegen geduwd of geslagen wordt begint op dat zelfde moment met snelheid te maken, de andere kant doet dat niet. Daar gaat dus een zekere tijd overheen. Om er meer over te zeggen zijn nog veel ingewikkelder berekeningen nodig. Dat laat ik dus maar achterwege. In elk geval is het niet zo dat de geluidstrillingen in de staaf het hele verhaal vormen, want behalve dat er in de staaf geluidstrillingen gaan lopen krijgt de staaf ook als geheel een snelheid. Er wordt immers alleen maar tegen geduwd of geslagen en er wordt niet aan getrokken.

[Marko]

In elk geval is het niet zo dat de geluidstrillingen in de staaf het hele verhaal vormen, want behalve dat er in de staaf geluidstrillingen gaan lopen krijgt de staaf ook als geheel een snelheid. Er wordt immers alleen maar tegen geduwd of geslagen en er wordt niet aan getrokken.

 
Geluidstrillingen vormen wel degelijk het hele verhaal. Er is maar 1 manier om alle atomen van een voorwerp een snelheid mee te geven, en dat is doordat atomen hun snelheid doorgeven aan andere atomen, omdat ze daarmee verbonden zitten. Dat ze dat niet met onmiddelijke ingang kunnen doen is evident, de consequentie is dat verstoringen met een bepaalde snelheid worden doorgegeven. Omdat alle atomen via via aan elkaar verbonden zitten krijgen alle atomen uiteindelijk eenzelfde gemiddelde snelheid mee. Dat kan ook niet anders, vanwege de wet van behoud van impuls.
 
En ik wil bezoekers behoeden voor ronduit foute beweringen zoals
 

We zijn hier enkel geïnteresseerd in de versnellingen van het linkse en het rechtse gewicht op het tijdstip t=0 als reactie op de kracht F = F(0).

 
Je kunt 2 situaties die verschillen in de tijdsduur van een externe invloed niet benaderen als een beginwaardenprobleem. Dan benader je het immers (in deze context) als een oneindig korte verstoring, en kun je enkel uitspraken doen over de invloed van de amplitude van de verstoring.

[always]

Ik vraag mezelf wel af of inderdaad elke beweging van een staaf precies hetzelfde moet gaan. Dat dus de atomen altijd op dezelfde manier bewegen bij aanraken of duwen. Ik verbeeld me dan een domino reeks staande verbonden op een plank. Als ik dan tegen de eerste dominosteen duw valt die met een bepaalde snelheid tegen de volgende etc tot het einde. Maar als nu die plank op pak en even naar voren duw zullen alle domino stenen tegelijk omvallen zonder de vertraging ten gevolge van het ombeurten aantikken. Natuurlijk wordt hier de plank voor gesteld als iets met oneindige stijfheid. Maar wat ik er mee bedoel is of er in materialen bepaalde moleculaire verbindingen zijn die stugger zijn dan andere terwijl bij bijvoorbeeld duwen de ene verbinding wordt gebruikt en bij geluidsvoortplanting door het slaan met een hamer juist weer andere verbindingen de nadruk krijgen. Want ja, hoe wordt de geluidssnelheid eigenlijk vastgesteld in een materiaal?

[Professor Puntje]

Maar wat ik er mee bedoel is of er in materialen bepaalde moleculaire verbindingen zijn die stugger zijn dan andere terwijl bij bijvoorbeeld duwen de ene verbinding wordt gebruikt en bij geluidsvoortplanting door het slaan met een hamer juist weer andere verbindingen de nadruk krijgen. Want ja, hoe wordt de geluidssnelheid eigenlijk vastgesteld in een materiaal?

 
Je kunt van alles bedenken wat het geval zou kunnen zijn. Maar zijn er wel verschijnselen die op een afhankelijkheid van de geluidssnelheid van de frequentie of geluidssterkte wijzen? Ik heb nog maar weer op internet gezocht, en veelal wordt daar de geluidssnelheid als onafhankelijk van de frequentie of de sterkte van het geluid beschouwd. Sommige specialistische sites vermelde echter een zekere (maar meestal verwaarloosbare) afhankelijkheid. Het zou dus kunnen zijn dat er toch een klein verschil in geluidssnelheid bij slaan met een hamer en bij duwen is....

 
Om dat verder na te pluizen zul je vrij diep moeten graven, want het effect is kennelijk normaal gesproken miniem.

[Marko]

Ik vraag mezelf wel af of inderdaad elke beweging van een staaf precies hetzelfde moet gaan. Dat dus de atomen altijd op dezelfde manier bewegen bij aanraken of duwen. Ik verbeeld me dan een domino reeks staande verbonden op een plank. Als ik dan tegen de eerste dominosteen duw valt die met een bepaalde snelheid tegen de volgende etc tot het einde. Maar als nu die plank op pak en even naar voren duw zullen alle domino stenen tegelijk omvallen zonder de vertraging ten gevolge van het ombeurten aantikken. Natuurlijk wordt hier de plank voor gesteld als iets met oneindige stijfheid. Maar wat ik er mee bedoel is of er in materialen bepaalde moleculaire verbindingen zijn die stugger zijn dan andere terwijl bij bijvoorbeeld duwen de ene verbinding wordt gebruikt en bij geluidsvoortplanting door het slaan met een hamer juist weer andere verbindingen de nadruk krijgen. Want ja, hoe wordt de geluidssnelheid eigenlijk vastgesteld in een materiaal?

 
Je vergelijking met de plank is niet helemaal terecht. In situaties waarin een kracht op hetzelfde moment op iedere plaats in de staaf aangrijpt, zou je vergelijking voor een deel opgaan. Maar als je een duw geeft tegen een staaf, dan komt die duw van 1 kant. 
 
En dan is de situatie bij het geven van een duw hetzelfde als bij het geven van een tikje.
 
Er is ook geen sprake van verschillende bindingen voor het doorgeven van de ene soort kracht of de andere soort kracht. Duwen of tikken, in beide gevallen gaat het om uitoefenen van een kracht, in beide gevallen wordt het effect van die kracht via de bindingen tussen moleculen en atomen door het materiaal doorgegeven.
 
Het bepalen van de geluidssnelheid kan op verschillende manieren. Het kan zo simpel als aan de ene kant een tikje geven en meten hoe lang het duurt voor de vervorming die dat tikje veroorzaakt de andere kant bereikt. 

[Michel Uphoff]

Opmerking moderator

Aan de topicstarter:
Is de vraag zou afdoende beantwoord, of zijn er nog restvragen. Zo ja, wil je die dan hieronder (eventueel opnieuw) stellen?
 
Aan de deelnemers:
Beantwoord indien mogelijk deze vragen, of discussieer erover, maar blijf strikt on topic.
Gelieve daarbij de toon vriendelijk te houden, en de bal te blijven spelen.
Daar waar dat in voorgaande berichten onvoldoende lukte zijn de betreffende alinea's verwijderd.

[Marko]

Wat ik nog graag met always zou willen bespreken is het volgende:

 

Je stelt in het openingsbericht

 

Toch vind ik dat vreemd dat een ogenschijnlijk veel snellere beweging zoals duwen even snel gaat als dat ik een trilling met een hamer veroorzaak.

We hadden hiermee misschien eigenlijk moeten beginnen, maar waarom is volgens jou en duw ogenschijnlijk een snellere beweging? Wat versta je eigenlijk precies onder een duw? Ik bedenk me net dat een deel van de spraakverwarring misschien daar vandaan komt!

[always]

Goeie vraag. Aanvankelijk was mijn verbeelding er één van dat je een staaf in je hand houdt en je arm naar voren duwt waarmee de staaf dus ook naar voren gaat en de andere verbeelding was dat je een trilling aanbrengt op het uiteinde van een staaf met bijv. een hamer. Zo op het eerste gezicht moest de trilling dus helemaal door de staaf heen als een domino-effect en bij de duw zou je dan veel meer gebruik kunnen maken van de stijfheid van de staaf waardoor er vervolgens minder trillingen nodig zouden zijn oftewel er minder trillingen en dus vertraging zou zijn. 
 
Bij de duw pak je dus als het ware het hele rooster (van atomen) op en de atomen die je hand raken volgen dan je hand en de atomen die dáár weer aan vast zitten worden als het ware meegesleurd. Dat leek mij dan een heel andere beweging dan dat het achtereenvolgens aantikken van atomen door atomen. Efin dat was een beetje de verbeelding achter de twee verschillende bewegingen.
 
Hoewel je dus al aangaf dat zowel bij een duw als een trillingslag dezelfde trilling door de staaf gaat, vroeg ik mij dus af of de vrijheidsgraden toch verschillend werden belast bij de twee handelingen. Bovendien vraag ik me dan af of er uberhaupt verschillen zitten in de vrijheidgraden in het rooster van een staaf, zoals bijv. in een toch vrij eenvoudig rooster zoals in een van berilliumatomen gemaakte staaf. Zijn bijvoorbeeld de horizontale trillingen/vrijheidsgraden even groot als de verticale trillingen in een staaf (ik suggesteer maar iets)?

[Professor Puntje]

Bovendien vraag ik me dan af of er uberhaupt verschillen zitten in de vrijheidgraden in het rooster van een staaf, zoals bijv. in een toch vrij eenvoudig rooster zoals in een van berilliumatomen gemaakte staaf. Zijn bijvoorbeeld de horizontale trillingen/vrijheidsgraden even groot als de verticale trillingen in een staaf (ik suggesteer maar iets)?

 
https://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_sound#Compression_and_shear_waves