1+2+3+4+5+6....

[TD]

Na het lezen heb ik een vraag hierover:

Als men het heeft over de sommatie van Natuurlijke getallen (domein: N) (zonder de methode van sommatie te definiëren), mag men dan uitwijken naar een ander domein (in dit geval dus Q)?

 
Wat bedoel je met 'mag'...? In elk geval: als je in een grotere getalverzameling werkt, dan is het in elk geval zo dat het kan (gebeuren). Ik bedoel daarmee: een reeks van getallen waarbij alle termen uit een bepaalde verzameling komen, kan als reekssom een getal buiten die verzameling hebben. Een mooi voorbeeld (met de 'klassieke', gangbare manier van sommeren) is:
 

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

 
waarbij alle termen duidelijk rationaal zijn, maar de reeks convergeert met een irrationaal getal als (reeks)som.

[PAAC]

 
Wat bedoel je met 'mag'...? In elk geval: als je in een grotere getalverzameling werkt, dan is het in elk geval zo dat het kan (gebeuren). Ik bedoel daarmee: een reeks van getallen waarbij alle termen uit een bepaalde verzameling komen, kan als reekssom een getal buiten die verzameling hebben. Een mooi voorbeeld (met de 'klassieke', gangbare manier van sommeren) is:
 

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

 
waarbij alle termen duidelijk rationaal zijn, maar de reeks convergeert met een irrationaal getal als (reeks)som.

Ik moet weer wat gaan doen aan mijn reeksen en limieten (dit heb ik iets 9 jaar geleden ook gehad, doe er alleen weinig meer mee...)

Dit is denk ik een mooi voorbeeld om te laten zien dat resultaten van oneindige sommaties van het ene domein(Q), naar het andere domein(R) kunnen gaan en daarmee toch best wel "gekke" dingen kunnen gebeuren. En het maakt (voor mij), de mogelijkheid dat een sommatie van natuurlijke getallen ineens een negatieve breuk is toch ineens een stuk aannemelijker(hoe onlogisch het ook lijkt).

Bedankt voor het antwoord!

[tempelier]

Na het lezen heb ik een vraag hierover:

Als men het heeft over de sommatie van Natuurlijke getallen (domein: N) (zonder de methode van sommatie te definiëren), mag men dan uitwijken naar een ander domein (in dit geval dus Q)?

Dat hangt van de horizon af.
 
De horizon is het gebied wat voor af wordt bepaald en waar men niet buiten mag.
 
VB.
 
2x=1
 
Deze vergelijking is niet oplosbaar binnen de horizon N.
Hij is echter wel oplosbaar binnen de horizon Q.

[PAAC]

Dat hangt van de horizon af.
 
De horizon is het gebied wat voor af wordt bepaald en waar men niet buiten mag.
 
VB.
 
2x=1
 
Deze vergelijking is niet oplosbaar binnen de horizon N.
Hij is echter wel oplosbaar binnen de horizon Q.

Dit wist ik ja, maar voor oneindige limieten gelden iets andere regels(vooral vanwege het gedeelte "oneindig").

Door het gebruik van die regels heeft TD al laten zien dat de oneindige sommatie van rationele getallen een reëel getal kan opleveren.

Voor mij is het nu wel wat helderder, als er met oneindig wordt gewerkt, dan kunnen er rare dingen gebeuren (die met meer kennis toch wel logisch zijn)

[TD]

Door het gebruik van die regels heeft TD al laten zien dat de oneindige sommatie van rationele getallen een reëel getal kan opleveren.

Maar rationale getallen zijn natuurlijk ook reële getallen; het interessante is dat de oneindige som van rationale termen, een irrationaal getal oplevert. Waarschijnlijk bedoel je dat ook.
 
Je hoeft daarvoor zelfs niet op te tellen, je kan ook naar rijtjes van rationale getallen kijken zoals:
 
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...
 
met andere woorden: decimale benaderingen van pi. Elk element uit de rij is rationaal (want de decimale ontwikkeling is eindig), maar de limiet is niet rationaal. Binnen Q convergeert deze rij dus niet (de rij heeft geen limiet in Q), maar binnen R wel: de limiet is dan pi.

[PAAC]

Maar rationale getallen zijn natuurlijk ook reële getallen; het interessante is dat de oneindige som van rationale termen, een irrationaal getal oplevert. Waarschijnlijk bedoel je dat ook.

Dat bedoel ik ja

[el toro cuatro]

S1 (1-1+1-1+1...) was ½ dan zou moeten gelden: oneindig*x=0 want de kans op een negatief getal is 50 en de kans op een positief getal is 50.