Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[Gast]

Belangrijke les: boeken van dit niveau vereisen zorgvuldige bestudering.

Ja, ik weet het. Op het eerste gezicht lijkt het vrij makkelijk, maar .. valt tegen zonder hulp.

Over de opgaven kun je atm altijd Harry of Dale vragen natuurlijk.

[Professor Puntje]

Als het echt niet lukt zal ik ook wel hulp (of tips) vragen. Maar ik heb het betreffende hoofdstuk nu bijna voor de tweede keer gelezen en ga de opgaven vandaag of morgen eerst nog eens zelf proberen.

[Professor Puntje]

Als oefening probeer ik nu om SAMPLE PROBLEM 3 Hurling a Stone into a Black Hole op mijn eigen manier op te lossen.

Gegeven: Een steen met massa m beweegt zich vanaf grote afstand met beginsnelheid v_∞ in vrije val radiaal toe naar een niet elektrisch geladen en niet roterend zwart gat met massa M.

Gevraagd: Wat is de snelheid v_schil van de steen gemeten door waarnemers wonend op een concentrische schil rond het zwarte gat op Schwarzschild-coördinaat r (met r > r_s), die de steen vlakbij zien passeren?

[Professor Puntje]

Oplossing: Omdat we hebben te doen met een niet elektrisch geladen en niet roterend zwart gat met massa M en een radiaal invallende steen met rustmassa m mogen we de onderstaande vereenvoudigde schwarzschildmetriek toepassen:

\(\)

\( \mathrm{d}s^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

Met voor tijdachtig gescheiden gebeurtenissen:

\(\)

\( c^2 \mathrm{d}\tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

En voor ruimteachtig gescheiden gebeurtenissen:

\(\)

\( \mathrm{d}\sigma^2 = - (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, + \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

\(\)

We bekijken nu een bolschil met r-coördinaat r (voor r > r_s) en infinitesimale dikte dr. De vallende steen zal dan gemeten door een (oneindig) verre waarnemer een infinitesimaal tijdje dt doen over het passeren van het traject van r naar r-dr. De aldus gemeten snelheid -(dr/dt) noemen we v. Er geldt dan:

\(\)

\( c^2 \mathrm{d}\tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{c^2 \mathrm{d} t^2}{ c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 \mathrm{d}t^2} \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \,\frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \,c^2 } \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} = \frac{ \mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 \,c^2 } \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} = \left (1 \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2c^2 } \right ) \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \)

\(\)

\( \frac{1}{ (1 \, - \, \frac{r_s}{r}) \left ( 1 \, - \, \frac{v^2}{ \left (1 - \frac{r_s}{r} \right )^2c^2 } \right )} = \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d}\tau^2 } \,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

Heel ver weg (ideaal gesproken voor r = ∞) geldt dan:

\(\)

\( \frac{1}{ \sqrt{1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } }} = \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } \,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

\(\)

Dus heel ver weg geldt eenvoudig de speciaal relativistische tijdsdilatatie.

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

In de SRT geldt voor de energie E van een object met rustmassa m en snelheid v dat:

\(\)

\( E = \frac{\mathrm{m} c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

\(\)

Dus:

\(\)

\( \frac{E}{\mathrm{m} c^2 } = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

\(\)

\( \frac{E}{\mathrm{m} c^2} = \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } \)

\(\)

Op basis van het Principle of Extremal Aging kunnen we afleiden dat de grootheid \( (1 - \frac{r_s}{r}) \, \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } \) voor een vrijvallend voorwerp met massa m (m << M) een constante waarde heeft. Ver weg (voor r = ∞) gaat die uitdrukking over in de speciaal relativistische uitdrukking voor het quotiënt van de totale energie van het voorwerp en zijn rustenergie. Er is dus aanleiding om als uitdrukking voor de constante (!) algemeen relativistische (totale) energie van een vrij vallend voorwerp met rustmassa m de onderstaande formule te nemen:

\(\)

\( \frac{E}{\mathrm{m} c^2} = (1 - \frac{r_s}{r}) \, \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } \)

\(\)

Men kan ook aantonen (maar dat zal ik nu niet doen) dat deze formule voor niet-relativistische situaties resultaten oplevert die de uitkomsten van de newtoniaanse fysica benaderen.

Op grond van (5) hebben we dan:

\(\)

\( \frac{E}{\mathrm{m} c^2} = \frac{1}{ \sqrt{1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } }} \)

\(\)

Zodat:

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } = \frac{1}{ \sqrt{1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } }} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d} t}{ \mathrm{d}\tau } = \frac{1}{ (1 - \frac{r_s}{r}) \sqrt{1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } }} \,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Gast]

Toppie! Als ik weer (echt) kan, heb ik hier vast veel aan. En van wat ik er zo van begrijp, .. "klinkt" logisch (Heb het boek natuurlijk wel doorgenomen een tijd geleden, maar niet zo zorgvuldig, wat zoals je terecht opmerkte, eigenlijk wel noodzakelijk is).

(Ik vond het mooi hoe Dale reageerde op jouw afleiding over Shapiro delay. Mensen zoals hij en Harry ed zitten er zo diep in dat ze (veel) minder stappen nemen. .. Hij vertelde me nog dat hij het een leuke uitdaging vond dat te checken.)

[Professor Puntje]

Om het echt goed in de vingers te krijgen moet je zoveel oefenen dat dit voor een amateur niet meer op te brengen is. Als ik het boek Exploring Black Holes eenmaal uit heb en begrijp, moet dat maar mooi genoeg zijn. Eventuele volgende boeken over de ART zal ik dan enkel nog lezen om een globale indruk te krijgen van wat er op dat gebied verder nog te beleven is, en niet meer om alles stap voor stap te willen volgen.

[Gast]

Ja, het is werken in het eindeloze.

Dat zie je ook terug in verschillende discussies .. hoewel dat net wat anders is.

Maar de wat bijv. Harry "de basis" noemt was voor hem al een enorme hoeveelheid werk en en kostte hem enorm veel tijd. Soms erg frustrerend, geen idee meer hebben waar hij mee bezig was en waarvoor .. en er uiteraard soms erg veel bevrediging uit kunnen halen.

[Gast]

Maar shell observers ed.

Zoals ik het in "gewone taal begrijp" is het zo dat voor een shell observer exact op de waarnemingshorizon alles met c gaat, immers alle tijd staat stil (behalve de eigentijd van de shell observer).

En de bedoeling is hiervoor een vergelijking aan de hand van Schwarzschild metriek te formuleren, right?

(Dat de waarnemingshorizon van een zwart gat een singulariteit is/kan zijn zegt maar weer dat het een geometrische theorie is. Waar de meetresultaten afhangen van de gekozen coordinaten .. lijkt mij zo.)

[Professor Puntje]

Op de waarnemingshorizon zelf kan geen bolschil meer geconstrueerd worden, zelfs niet als een geïdealiseerde constructie. Maar net daarbuiten en ook (veel) verder weg weer wel. Je kan je dus rondom een zwart gat allemaal concentrische bolschillen denken waarop waarnemers wonen die daar (dus lokaal) metingen aan passerende stenen en andere invallende zaken verrichten. Als je een formule hebt om voor alle schilwaarnemers buiten de waarnemingshorizon de lokale snelheid van invallende voorwerpen te berekenen kun je daarmee ook zien waar de lokaal gemeten snelheid van die invallende voorwerpen toe nadert als je steeds dichter bij de waarnemingshorizon komt. Een berekening van de lokaal gemeten snelheid van een invallend voorwerp op de waarnemingshorizon zelf is niet mogelijk, althans niet met de schwarzschildmetriek.

[Professor Puntje]

Combinatie van (4) en (6) geeft:

\(\)

\( \frac{1}{ (1 \, - \, \frac{r_s}{r}) ( 1 \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 } )} = \frac{1}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } )} \)

\(\)

\( (1 \, - \, \frac{r_s}{r}) ( 1 \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 } ) = (1 - \frac{r_s}{r})^2 (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ) \)

\(\)

\( 1 \, - \, \frac{v^2}{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 } = (1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ) \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 \, - \, \frac{v^2}{ c^2 } = (1 - \frac{r_s}{r})^3 (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ) \)

\(\)

\( - \frac{v^2}{ c^2 } = (1 - \frac{r_s}{r})^3 (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ) - (1 - \frac{r_s}{r})^2 \)

\(\)

\( - \frac{v^2}{ c^2 } = (1 - \frac{r_s}{r})^2 ((1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ) - 1 ) \)

\(\)

\( \frac{v^2}{ c^2 } = (1 - \frac{r_s}{r})^2 (1 \, - \, (1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } )) \)

\(\)

\( \frac{v}{c} = (1 - \frac{r_s}{r}) \sqrt{(1 \, - \, (1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } ))} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

De snelheid v uit formule (7) is de snelheid die vaak figureert in populaire beschouwingen over de val in (of beter naar) een zwart gat. We zien dat deze snelheid inderdaad naar nul gaat wanneer de steen de waarnemingshorizon r_s nadert.

Maar dat is nog niet de snelheid die vlak bij de waarnemingshorizon lokaal op een bolschil rond het zwarte gat wordt gemeten.

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

We bekijken nu een waarnemer wonend op een concentrische bolschil rond het zwarte gat met vaste r-coördinaat r > r_s die de vallende steen vlakbij ziet passeren. Deze waarnemer heeft vanaf zijn bolschil een infinitesimaal meetlatje met eigenlengte -dr_schil loodrecht op zijn bolschil en richting het zwarte gat neergelaten en aan zijn bolschil gemonteerd. (Het min-teken in de eigenlengte -dr_schil staat daar omdat dr_schil zelf negatief is.) Daarmee en met zijn op de bolschil gemonteerde klok kan die waarnemer vaststellen dat de steen het meetlatje precies in het lokaal gemeten infinitesimale tijdje dt_schil passeert. De door die waarnemer gemeten snelheid v_schil van de vlakbij langs vallende steen is dus:

\(\)

\( v_{schil} = - \frac{\mathrm{d} r_{schil}}{\mathrm{d} t_{schil}} \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

\(\)

Omdat de schilklok vast op de bolschil gemonteerd zit geldt daarvoor dat dr = 0. Op basis van vergelijking (2) hebben we dan:

\(\)

\( \mathrm{d} t_{schil}^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \mathrm{d} t^2 \)

\(\)

\( \mathrm{d} t_{schil} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \,\, \mathrm{d} t \,\,\,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

Voor de bepaling van de lengte -dr_schil van het infinitesimale meetlatje als gezien door de nabij wonende schilbewoner laten we aan beide uiteinden van dat meetlatje volgens die schilbewoner gelijktijdig twee rotjes afgaan. Dit levert een ruimteachtig gescheiden ruimtetijd interval op tussen die twee gebeurtenissen. Aangezien de rotjes volgens de nabije schilbewoner gelijktijdig zijn afgaan hebben we dt_schil = 0, en dus wegens (9) eveneens dt = 0. Op basis van vergelijking (3) komt er dan:

\(\)

\( \mathrm{d} r_{schil}^2 = \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} \)

\(\)

\( \mathrm{d} r_{schil} = \frac{\mathrm{d} r}{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} \,\,\,\,\,\,\,\, (10) \)

\(\)

Substitutie van (9) en (10) in (8) levert:

\(\)

\( v_{schil} = - \frac{\frac{\mathrm{d} r}{ \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}}}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \,\, \mathrm{d} t } \)

\(\)

\( v_{schil} = \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} \cdot - \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} \)

\(\)

\( v_{schil} = \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} \cdot v \)

\(\)

\( \frac{v_{schil}}{c} = \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} \cdot \frac{v}{c} \)

\(\)

Substitutie van (7) geeft tenslotte:

\(\)

\( \frac{v_{schil}}{c} = \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} \cdot (1 - \frac{r_s}{r}) \sqrt{1 \, - \, (1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } )} \)

\(\)

\( \frac{v_{schil}}{c} = \sqrt{1 \, - \, (1 - \frac{r_s}{r}) (1 \, - \, \frac{v_{\infty}^2}{ c^2 } )} \,\,\,\,\,\,\,\, (11) \)

\(\)

Dus wanneer we achtereenvolgens bolschillen bekijken met r-coördinaten die steeds dichter tot r_s naderen dan zullen de op die achtereenvolgende bolschillen gemeten valsnelheden voor de passerende steen de lichtsnelheid c benaderen.

[Gast]

Op de waarnemingshorizon zelf kan geen bolschil meer geconstrueerd worden, zelfs niet als een geïdealiseerde constructie. 

Waarom niet?

Een berekening van de lokaal gemeten snelheid van een invallend voorwerp op de waarnemingshorizon zelf is niet mogelijk, althans niet met de schwarzschildmetriek.

Omdat r=r(s) neem ik aan.
Maar dit is ook niet nodig. De redenering die ik gaf is voldoende.

[Professor Puntje]

Op de waarnemingshorizon zelf kan geen bolschil meer geconstrueerd worden, zelfs niet als een geïdealiseerde constructie. 

Waarom niet?

Volgens het boek omdat geen enkel (in rust verkerend) materiaal de daar aanwezige krachten kan weerstaan, maar ik ben zelf (op dit moment) nog niet in staat om dat door berekening te verifiëren.

Een berekening van de lokaal gemeten snelheid van een invallend voorwerp op de waarnemingshorizon zelf is niet mogelijk, althans niet met de schwarzschildmetriek.

Omdat r=r(s) neem ik aan.
Maar dit is ook niet nodig. De redenering die ik gaf is voldoende.

Inderdaad, voor r = r_s zelf heeft de schwarzschildmetriek een singulariteit en dus zijn er voor die specifieke r-coördinaat althans met die metriek geen zinnige berekeningen uit te voeren.

En je redenering was:

Zoals ik het in "gewone taal begrijp" is het zo dat voor een shell observer exact op de waarnemingshorizon alles met c gaat, immers alle tijd staat stil (behalve de eigentijd van de shell observer).

Ik vind het riskant om te redeneren over wat een bolschil-waarnemer (bij r = r_s) zou observeren wanneer zo'n bolschil-waarnemer daar in principe niet kan bestaan.

[Professor Puntje]

Volgende vraagstuk:

Wat is de maximale snelheid v = -dr/dt van steen die van een positie ver weg van niet-roterend en niet-geladen zwart gat met een beginsnelheid v_∞ radiaal naar dat zwarte gat toe geworpen wordt, en voor welke waarde van de r-coördinaat wordt die maximale snelheid bereikt?