Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Beide duimen op voor uw entousiasme! Bent u autodidact?

Deels. Ik heb de universiteit natuurkunde geprobeerd, maar dat ging me veel te snel. Ik had geen tijd de stof goed te bestuderen en de geïntroduceerde begrippen eerst eens te laten bezinken alvorens volgende onderwerpen te behandelen. Die studie heb ik dan ook niet af gemaakt. Het heeft me daarna steeds dwars gezeten dat ik tensoren niet begreep. Nu op eigen houtje en met hulp van flappelap, Math-E-Mad-X en anderen lukt het me eindelijk wel.

[flappelap]

Ik denk dat Wald heel interessant voor u is om te lezen. Dit wordt daar uitgebreid behandelt (jammer genoeg heb ik het boek voor een prikkie verkocht aan de Slechte).

Ik heb dat boek ook, maar alleen gebruikt omdat ik een aantal van zijn artikelen nodig had. Ik zou het zelf niet zo gauw aanraden, alleen als je bepaalde formele aspecten wilt uitdiepen (causaliteit, globale hyperboliciteit, etc)

[wnvl1]

Het deel over tensor in Wald heeft mij achteraf wel een aantal complementaire inzichten gegeven. Om zuiver van Wald te vertrekken om relativiteit wat te leren zou Wald te moeilijk zijn voor mij. Meeste hoofdstukken in het tweede deel van het boek zijn ook gedetailleerder dan wat ik ambieer als amateur.

[Professor Puntje]

Helaas - Wald zegt enkel maar dat het gemakkelijk is in te zien dat de raakvectoren \( X_{\mu}(f) \) die hetzelfde zijn als mijn \( \mathbf{e_j} = \left ( \frac{\partial}{\partial x^j} \right )_p \) lineair onafhankelijk zijn. Maar dat aan te tonen is precies wat ik voor de completering van mijn bewijs nog zoek.

[flappelap]

Het deel over tensor in Wald heeft mij achteraf wel een aantal complementaire inzichten gegeven. Om zuiver van Wald te vertrekken om relativiteit wat te leren zou Wald te moeilijk zijn voor mij. Meeste hoofdstukken in het tweede deel van het boek zijn ook gedetailleerder dan wat ik ambieer als amateur.

Dat klopt, vooral omtrent passieve/actieve interpretaties van coördinaten transformaties, een notoir verwarrend onderwerp.

[flappelap]

Helaas - Wald zegt enkel maar dat het gemakkelijk is in te zien dat de raakvectoren \( X_{\mu}(f) \) die hetzelfde zijn als mijn \( \mathbf{e_j} = \left ( \frac{\partial}{\partial x^j} \right )_p \) lineair onafhankelijk zijn. Maar dat aan te tonen is precies wat ik voor de completering van mijn bewijs nog zoek.

Kun je dat niet op de gebruikelijke manier bewijzen? Je coordinatenbasis bestaat per definitie uit lineair onafhankelijke vectoren.

[Professor Puntje]

\( \lambda^j \, \mathbf{e_j} = \mathbf{0} \)

\(\)

\( \lambda^j \, \left ( \frac{\partial}{\partial x^j} \right )_p = \mathbf{0} \)

\(\)

\( \lambda^j \, \frac{\partial}{\partial x^j} (f \circ\varphi^{-1}) |_{\varphi(p)} = 0 \)

\(\)

Bekijk nu het geval dat \( f \) op een omgeving van p gelijk is aan \( \varphi^k \), dan vinden we:

\(\)

\( \lambda^j \, \frac{\partial}{\partial x^j} (\varphi^k \circ\varphi^{-1}) |_{\varphi(p)} = 0 \)

\(\)

\( \lambda^j \, \delta^k_j = 0 \)

\(\)

\( \lambda^k = 0 \)

\(\)

[Professor Puntje]

Nu moet er nog het omgekeerde: de wiskundige tensor \( T_p \) als multi-lineaire functionaal aan een punt p van een manifold \( \mathcal{M} \) reconstrueren uit de "natuurkundige" tensor aan een punt p als array van tensorcomponenten \( T^{i_1 i_2 ... i_r}_{j_1 j_2 ... j_s} \).

[Professor Puntje]

En daarna is het de vraag welke tensor-operaties essentieel zijn voor het wiskundig kunnen begrijpen van de einstein-vergelijking.

[Professor Puntje]

Nu moet er nog het omgekeerde: de wiskundige tensor \( T_p \) als multi-lineaire functionaal aan een punt p van een manifold \( \mathcal{M} \) reconstrueren uit de "natuurkundige" tensor aan een punt p als array van tensorcomponenten \( T^{i_1 i_2 ... i_r}_{j_1 j_2 ... j_s} \).

Kennelijk moet dat via tensor-producten kunnen. Nu nog even een "eenvoudige" uitleg zoeken.

[Math-E-Mad-X]

Nu moet er nog het omgekeerde: de wiskundige tensor \( T_p \) als multi-lineaire functionaal aan een punt p van een manifold \( \mathcal{M} \) reconstrueren uit de "natuurkundige" tensor aan een punt p als array van tensorcomponenten \( T^{i_1 i_2 ... i_r}_{j_1 j_2 ... j_s} \).

Het is me niet helemaal duidelijk waar je naar op zoek bent, want in mijn ogen is dit heel simpel. Je moet de componenten gewoon schrijven in combinatie met de basis (co-)vectoren. Dus bijvoorbeeld \( T^{i_1 i_2 }_{j_1 j_2} \) wordt:

\(\sum_{i_1, i_2, j_1, j_2} T^{i_1 i_2 }_{j_1 j_2} \cdot \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_2}} \otimes dx^{j_1}\otimes dx^{j_2}\)

Beantwoordt dit je vraag?

[Professor Puntje]

Juist - maar die \( \otimes \) zijn dan toch tensorproducten? Dan wil ik weten hoe die operatie precies gedefinieerd is, en waarom je zo een coördinaatvrije tensor als multi-lineaire functionaal krijgt.

[Math-E-Mad-X]

Juist - maar die \( \otimes \) zijn dan toch tensorproducten?

Ja.

Dan wil ik weten hoe die operatie precies gedefinieerd is,

Gewoon... op dezelfde manier zoals je in je eerdere posts de wiskundige tensoren gedefinieerd hebt... Er is hier geen enkel verschil tussen de wiskundige of de natuurkunidge methode.

en waarom je zo een coördinaatvrije tensor als multi-lineaire functionaal krijgt.

Wat bedoel je met 'coördinaatvrij'?

Als je weet hoe je met wiskundige vectoren en co-vectoren een wiskundige tensor kan opbouwen, dan weet je ook hoe je dat met de \(\frac{\partial}{\partial x^i}\) en \(dx^i\) moet doen... Je hebt immers al bewezen dat dat vectoren en co-vectoren zijn.

[Professor Puntje]

Je moet de componenten gewoon schrijven in combinatie met de basis (co-)vectoren. Dus bijvoorbeeld \( T^{i_1 i_2 }_{j_1 j_2} \) wordt:

\(\sum_{i_1, i_2, j_1, j_2} T^{i_1 i_2 }_{j_1 j_2} \cdot \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_2}} \otimes dx^{j_1}\otimes dx^{j_2}\)

Daarmee wordt die tensor geschreven in de tensorbasis \( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_2}} \otimes dx^{j_1}\otimes dx^{j_2} \). De \( dx^{j_1} \) en \( dx^{j_2}\) accepteren als argumenten vectoren uit \(V_p \) , dus dat gaat goed. Maar de \( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \) en \( \frac{\partial}{\partial x^{i_2}} \) hebben als argumenten een speciaal type functies \( f \) van de manifold \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R} \), in plaats van covectoren uit \( V^*_p \). Dus daar moet nog iets recht gebreid worden.

[Math-E-Mad-X]

Maar de \( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \) en \( \frac{\partial}{\partial x^{i_2}} \) hebben als argumenten een speciaal type functies \( f \) van de manifold \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R} \), in plaats van covectoren uit \( V^*_p \). Dus daar moet nog iets recht gebreid worden.

Aahhh... Ik snap je verwarring.

De \( \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \) is inderdaad gedefinieerd als een operator die een functie op M als argument neemt.

Maar dat verandert niks aan het feit dat je hem ook op kunt vatten als een lineaire operator van de duale raakruimte \(T_pM^*\) naar \(\mathbb{R}\) (op dezelfde manier dat je iedere andere vector uit een willekeurige ruimte \(V\) ook op kan vatten als een lineaire operator van \(V^*\) naar \(\mathbb{R}\)).

Het één hoeft het ander niet uit te sluiten.

Een schroevendraaier is per definitie een ding waar je schroeven mee vast of lost draait. Maar dat wil niet zeggen dat hem niet ook als blikopener kunt gebruiken.