Probleem met oneindigheid en kans

[kee]

Ik begrijp niet hoe je dat concludeert, waarom hangt dat samen?

Een beetje met de natte vinger. Als je de kansen neemt zoals ik die daar voorstelde (10 keer kleiner voor een 10 keer zo groot getal) komt dat overeen met herschaalde kansen zoals de harmonische rij. Er zijn steeds echter ook 10 keer meer getallen met een cijfer meer (10 keer zo groot), dus de kansen voor een getal met een bepaald aantal cijfers zijn steeds gelijk dan (ongeveer).

Of bekijk gewoon de harmonische rij waarop je die redenering maakt om de divergentie aan te tonen (formeel moet dat dan met het maken van een ondergrens en zo, dat is niet zo moeilijk denk ik).

Zoiets (dat werkt natuurlijk ook met iets anders als 10)

som van

9 keer 1/10

90 keer 1/100

enzovoort

dat een ondergrens is, maar dat is dus precies hetzelfde als wat ik eerst zei.

En verder sus eigenlijk gewoon dat "het aantal cijfers" overeenkomt met "de logaritme" en dus ook met de harmonische reeks (die ook ongeveer zo toeneemt als de logaritmische functie: als je steeds 10 keer zoveel termen samenneemt)...

En omdat je met het kiezen van het aantal cijfers opnieuw tussen alle natuurlijke getallen kiest kom je geen stap verder.

Wat ik dan verder zei is dat het doortrekken van die methode (dus nu hetzelfde doen op de keuze van het aantal cijfers enzovoort) wel tot een systeem kan leiden waarbij je intuïtief een willekeurig natuurlijk getal hebt, maar dan moet je ergens een (heel hoge naargelang de toepassing) bovengrens leggen. Het goede aan de methode is dat de kans op kleine natuurlijke getallen relatief hoog blijft in dat geval.

Hoe bedoel je? Atomen zijn discreet (nou ja, sortof, quantummechanische effecten daargelaten) maar hun positie hoeft dat niet per se te zijn.

Dat weet ik wel, maar "hun positie" bijvoorbeeld. Wat zijn ook atomen precies, of kleiner wat zijn protonen/neutronen of nog kleiner, en verder de snaartheorie en zo. Ik bedoel er is een verschil tussen exacte wiskunde en de praktijk waar de wiskunde het model is.

[Rogier]

Een beetje met de natte vinger. Als je de kansen neemt zoals ik die daar voorstelde (10 keer kleiner voor een 10 keer zo groot getal)

Ja maar dan is het geen uniforme verdeling meer. Maar zoals je zelf ook al opmerkt, via een omweg kom je dan alsnog uit bij een uniforme verdeling op (alleen dan voor het aantal cijfers van X in plaats van X zelf) en hou je hetzelfde probleem.

Dat weet ik wel, maar "hun positie" bijvoorbeeld. Wat zijn ook atomen precies, of kleiner wat zijn protonen/neutronen of nog kleiner, en verder de snaartheorie en zo.

Tja, goeie vraag

Als je atomen volgens het klassieke model interpreteert (met protonen en neutronen enzo) dan kun je als de positie van het atoom de gemiddelde positie van zijn kerndeeltjes nemen. Als je atomen quantummechanisch interpreteert, kun je de verwachtingswaarde van de kansfuncties van de kerndeeltjes nemen.

En als het gaat om de positie of oriëntatie van "een lijn" kun je ook wel iets creatiefs verzinnen. Maar welke definitie van hun positie je ook hanteert, vooralsnog is er geen reden om aan te nemen dat die discreet is.

Idem voor de vervaltijd van een radioactief atoom.

Mocht de zaak wél gekwantificeerd zijn (dus als onze ruimtetijd discreet is enzo) dan wordt het een verdeling op een eindige discrete verzameling, dus alsnog geen of .

Ik bedoel er is een verschil tussen exacte wiskunde en de praktijk waar de wiskunde het model is.

Dat zal altijd zo blijven. Maar dan nog, zelfs in theorie zou ik geen procedure kunnen bedenken die een willekeurig rationaal getal tussen 0 en 1 oplevert, of een willekeurig natuurlijk getal. Zelfs niet als we er vanuit mogen gaan dat de natuur zich gedraagt volgens onze wiskundige modellen (d.w.z. ieder redelijk model naar keuze).

[Bartjes]

Wel surjectief, bijvoorbeeld

\(f(x)=\lfloor 1/x \rfloor\)

Ik denk niet dat je zo een uniforme verdeling op N krijgt. Dat is toch wel mijn bedoeling.

[Rogier]

Ik denk niet dat je zo een uniforme verdeling op N krijgt. Dat is toch wel mijn bedoeling.

Ja snap ik, dat was alleen bedoeld als voorbeeld van dit:

Is het mogelijk de keuze van een willekeurig reëel getal tussen 0 en 1 via de een of andere functie om te zetten in een willekeurig (positief) natuurlijk getal?

al is mijn voorbeeld niet bijster "willekeurig" (en inderdaad zeker niet als je daar uniform mee bedoelt).

Bedoelde je trouwens hiermee:

Stel dat we een black box hebben die willekeurige reële getallen tussen 0 en 1 uitwerpt. Vervolgens zetten we daarachter een "omvormer/filter" die de decimale schrijfwijzen van die getallen achterstevoren zet, en alleen die resultaten doorgeeft die natuurlijke getallen zijn.

dat een getal als

\(0.352 = 0.352\bar{0}\)

(dus met een staart van oneindig veel nullen) het natuurlijke getal 253 wordt? En op die manier wordt ieder reëel getal met een eindige decimaalontwikkeling een uniek getal?

(ook dat gaat waarschijnlijk geen werkbare definitie opleveren, om soortgelijke reden als

\(\rr\rightarrow\qq\)

)

[Bartjes]

Ja, mits je een geschikte bijectie hebt (en die bestaan uiteraard). Op de infinitesimale manier lijkt het mij makkelijker een uniforme verdeling op te maken -dat had jij al gedaan- dan op (0,1). Dus andersom is misschien praktischer, daarmee hebben we ook een uniforme kansverdeling voor het rationale interval (weliswaar nog steeds alleen met infinitesimale kansrekening).

Ik wilde bij deze opzet juist uitgaan van een uniforme kansverdeling over een reëel interval, omdat tegenstanders van een uniforme verdeling over de natuurlijke getallen daar geen problemen mee hebben.

"Bijna" betekent in dit geval "het verwachte aantal pogingen is oneindig", dus ik betwijfel of we die constructie als welgedefinieerde rationale kansvariabele kunnen beschouwen?

Daar zit een probleem. Het is wel mogelijk uit één willekeurig getrokken reëel getal tussen 0 en 1 door herverdeling van de cijfers meerdere reële getallen tussen 0 en 1 te maken. Dit proces is eindeloos te herhalen. Dat maakt het al weer iets aannemelijker dat er ergens een rationaal getal tussen zit. Maar in de verschillende oneindigheden ben ik niet zo goed thuis. Het zou dus best zo kunnen zijn, dat we er niet genoeg mee opschieten.

[Bartjes]

Bedoelde je trouwens hiermee:

dat een getal als

\(0.352 = 0.352\bar{0}\)

(dus met een staart van oneindig veel nullen) het natuurlijke getal 253 wordt? En op die manier wordt ieder reëel getal met een eindige decimaalontwikkeling een uniek getal?

Inderdaad.

(ook dat gaat waarschijnlijk geen werkbare definitie opleveren, om soortgelijke reden als

\(\rr\rightarrow\qq\)

)

Het moeilijke punt blijft dat de rationale getallen bijzonder spaarzaam gezaaid zijn. Maar omdat ze gelijkmatig over de reële getallen verspreid liggen, lijkt het mij aannemelijk dat we een uniforme verdeling krijgen. Een bewijs heb ik echter niet. Het zijn nog maar probeersels.

[Erik Leppen]

Daar zit een probleem. Het is wel mogelijk uit één willekeurig getrokken reëel getal tussen 0 en 1 door herverdeling van de cijfers meerdere reële getallen tussen 0 en 1 te maken. Dit proces is eindeloos te herhalen. Dat maakt het al weer iets aannemelijker dat er ergens een rationaal getal tussen zit. Maar in de verschillende oneindigheden ben ik niet zo goed thuis. Het zou dus best zo kunnen zijn, dat we er niet genoeg mee opschieten.

Volgens mij is de kans dat een van tevoren vastgelegde verdeling van de cijfers ergens een rationaal getal gaat opleveren, gelijk aan de kans dat de decimale representatie van het willekeurig gekozen reële getal enig patroon bevat, en die kans lijkt me infinitesimaal klein (dus reëel nul). Maar dat is een gok, want als je oneindig veel opsplitsingen doet dan weet ik niet wat de eigenschap "het hebben van dat patroon" dan wordt.

Stel dat we een black box hebben die willekeurige reële getallen tussen 0 en 1 uitwerpt. Vervolgens zetten we daarachter een "omvormer/filter" die de decimale schrijfwijzen van die getallen achterstevoren zet, en alleen die resultaten doorgeeft die natuurlijke getallen zijn.

Bedoelde je trouwens hiermee:

dat een getal als 0.352 = 0.352000... (dus met een staart van oneindig veel nullen) het natuurlijke getal 253 wordt? En op die manier wordt ieder reëel getal met een eindige decimaalontwikkeling een uniek natuurlijk getal?

Inderdaad.

Wat zou zo'n omvormer dan bijvoorbeeld doen bij een getal als 0,1111111... (1/9) of 0,141592653..... (pi - 3)? Gewoon oneindig geven?

Maar omdat ze gelijkmatig over de reële getallen verspreid liggen

Wat is gelijkmatig verspreid hier? Q ligt dicht in R. Alle "gaten" (de afstand tussen twee "opeenvolgende" rationale getallen) zijn infinitesimaal klein. Als het al bestaat, want "opeenvolgende rationale getallen" is niet zomaar te definiëren volgens mij.

[Bartjes]

Volgens mij is de kans dat een van tevoren vastgelegde verdeling van de cijfers ergens een rationaal getal gaat opleveren, gelijk aan de kans dat de decimale representatie van het willekeurig gekozen reële getal enig patroon bevat, en die kans lijkt me infinitesimaal klein (dus reëel nul). Maar dat is een gok, want als je oneindig veel opsplitsingen doet dan weet ik niet wat de eigenschap "het hebben van dat patroon" dan wordt.

Ik ook niet.

Bedoelde je trouwens hiermee:

dat een getal als 0.352 = 0.352000... (dus met een staart van oneindig veel nullen) het natuurlijke getal 253 wordt? En op die manier wordt ieder reëel getal met een eindige decimaalontwikkeling een uniek natuurlijk getal? - Inderdaad.

Wat zou zo'n omvormer dan bijvoorbeeld doen bij een getal als 0,1111111... (1/9) of 0,141592653..... (pi - 3)? Gewoon oneindig geven?

Het gedachte-experiment bevatte een "omvormer/filter". De onbruikbare "oneindige getallen" worden geblokkeerd.

Wat is gelijkmatig verspreid hier? Q ligt dicht in R. Alle "gaten" (de afstand tussen twee "opeenvolgende" rationale getallen) zijn infinitesimaal klein. Als het al bestaat, want "opeenvolgende rationale getallen" is niet zomaar te definiëren volgens mij.

Het is meer een intuïtieve gedachtegang. Op dit moment heb ik nog geen duidelijke voorstelling of theorie hoe we de willekeurige keuze van een reëel getal tussen 0 en 1 in de willekeurig keuze van een natuurlijk of rationaal getal zouden moeten omzetten. Maar ik vind het een uitdaging om er over na te denken.

[Bartjes]

Zet een rechte streep op een munt en op een tafel, zet de munt op zijn kant op tafel en geef er een flinke draai aan. Als de munt eenmaal tot stilstand is gekomen (en dus plat op tafel ligt) is de hoek tussen de twee strepen uniform verdeeld over

\([0,2\pi)\)

(of [0,360) als je in graden denkt).

Of ga langs een snelweg staan en kijk loodrecht op de rijrichting (eventueel met een laserstraal voor de precisie) en als er een auto in je gezichtslijn staat, kijk je hoever je zichtlijn of de laser de auto raakt in verhouding tot zijn lengte (dus vooraan is 0, halverwege is 0.5, achteraan is 1). Of "hoe ver de auto voorbij is" (in procenten) kun je het ook noemen.

Zoiets: (als er op moment van meting geen auto langskomt, om de 3 minuten blijven herhalen)



Die variabele is uniform verdeeld op [0,1].

Of meet de vervaltijd van een atoomkern van een bepaalde radioactieve isotoop met halveringstijd h. Als deze tijd t is, is

\(X=e^{Ct}\)

uniform verdeeld op (0,1] (waarbij C een of andere vaste constante is die van de halveringstijd afhangt).

Dat we in deze gevallen in de praktijk door onnauwkeurigheden niet de exacte hoek of positie of tijd kunnen meten, doet er verder weinig toe. De kansvariabelen zoals hierboven gedefinieerd zijn uniform verdeeld (even er vanuit gaande dat we in een continu universum leven, en niet in een discrete ruimte met een roostergrootte van 1 plancklengte).

Een soortgelijk praktisch voorbeeld voor een uniform verdeelde stochast op een rationeel interval, of op , lijkt mij onmogelijk.

Of een gevonden getalwaarde in werkelijkheid rationaal of irrationaal is, is lastig uit te maken. Stel dat iemand de door jou beschreven experimenten zou aanhalen als voorbeelden van toevalsexperimenten die rationale getallen (met een zekere foutenmarge) opleveren, hoe zou je dat dan kunnen weerleggen? Voor een proefondervindelijke weerlegging zou een absolute precisie vereist zijn. Of anders zou je verzeild raken in discussies over de aard van ruimte en tijd...

Overigens zou zo iemand met zijn "willekeurige rationale getallen" niets kunnen beginnen. Om ze in willekeurige (positieve) natuurlijke getallen om te zetten is opnieuw een absolute precisie nodig. Met een eindige precisie kan je ook maar een eindig aantal willekeurige (positieve) natuurlijke getallen vinden. Het grote probleem van een praktisch toevalsexperiment dat een willekeurig (positief) natuurlijk getal oplevert, ligt in de monsterlijke grootte van de verwachte uitkomst. Voor ieder positief natuurlijk getal N is de kans dat het gevonden willekeurige getal kleiner dan of gelijk aan N is, infinitesimaal klein. Hoe moet je een dergelijke uitkomst weergeven? Bij een reëel getal vind je het na de zoveelste decimaal wel mooi geweest, maar welk deel moet je bij een willekeurig (positief) natuurlijk getal verwaarlozen? Alleen al het aanduiden van het aantal cijfers is vermoedelijk al onbegonnen werk. Wat betreft praktische opstellingen, maak ik mij dan ook weinig illusies.

[kee]

@Rogier:

Of de ruimte of tijd discreet is, mss wel ik weet het eigenlijk niet (kwantumfysica is wel even geleden). Intuïtief zeg je van niet, maar in de kwantumfysica zijn wel meer verrassingen opgedoken. De atomaire wereld is ook nogal dynamisch (die golffuncties zijn ook dynamisch), niets staat er stil, daar is nog een probleem (zeker als je het dan ook nog eens kwantumfysisch moet gaan bekijken). Het is ook zoals een tijdstip: kan dat wel. Maar eigenlijk is dat meer iets voor het fysicaforum.

Ik blijf erbij dat de reële getallen een wiskundig model zijn, een abstract iets. Dat is precies ook wat Bartjes zegt: de reële getallen hiervoor gebruiken is het ideale model, maar de moeilijkheid (ook hierboven) komt precies ook duidelijk naar voren in het feit dat de rationale getallen dicht zijn in de reële getallen.

Nu voor de uiteindelijke bedoeling: het lijkt me wel duidelijk dat theoretisch er een groot onderscheid is tussen de aftelbare en overaftelbare wereld.

[Bartjes]

Hierboven heb ik al een paar pogingen gedaan vanuit een uniforme kansverdeling over de reële getallen tussen 0 en 1 te komen tot een uniforme kansverdeling (in infinitesimale zin) over de rationale getallen tussen 0 en 1. Door de rationale getallen tussen 0 en 1 bijectief op de positieve natuurlijke getallen af te beelden, kunnen we dan (vermoedelijk) weer tot een uniforme kansverdeling (in infinitesimale zin) over de positieve natuurlijke getallen komen. De bedoeling van deze omweg is een verband te leggen tussen de niet-controversiële uniforme verdeling voor de reële getallen tussen 0 en 1 en de vooralsnog wel controversiële uniforme kansverdeling (in infinitesimale zin) over de positieve natuurlijke getallen. De legitimiteit van het wiskundige idee van een willekeurige trekking van een positief natuurlijk getal zou zo - dunkt mij - aangetoond kunnen worden.

Hoe gaan we dit doen? Het gaat mij bij dit gedachte-experiment vooral om de vraag of de trekking van een willekeurig rationaal getal tussen 0 en 1 in een geïdealiseerde wiskundige zin voorstelbaar is. Men hoeft niet eerst een feilloze Random Number Generator te bouwen om tot de conclusie te komen dat de willekeurige keuze van een reëel getal tussen 0 en 1 als wiskundige voorstelling in de haak is. In die zelfde zin hoop ik te laten zien dat we ons de keuze van een willekeurig rationaal getal tussen 0 en 1 op een wiskundig deugdelijke manier kunnen voorstellen. Omdat ik mij hierbij op een gebied begeef waarvan ik geen specialistische kennis bezit, vraag ik de lezer dit voorstel zeer kritisch te bezien.

Stel u voor dat we een ideale en uitzonderlijke Random Number Generator hebben die op afroep 1 seconde lang willekeurige reële getallen tussen 0 en 1 uitwerpt. Let op: we gaan er van uit dat deze generator voor ieder tijdstip binnen die ene seconde een willekeurig reëel getal uitwerpt. Als kansverdeling voor ieder moment binnen die ene seconde, nemen we de uniforme verdeling aan. Na afloop hebben we dus overaftelbaar veel willekeurige reële getallen tussen 0 en 1. Dan is het aannemelijk dat zich daaronder ook rationale getallen bevinden (van deze stap ben ik niet helemaal zeker, wie rekent dat uit?). Hoe vinden we nu één rationaal getal? Daarvoor gebruik ik een welordening van de tijdstippen binnen die ene seconde. Ik ken helaas geen specifieke welordening, maar er moet er (zoals men kan bewijzen) wel één mogelijk zijn. De tijdstippen waarop er een rationaal getal is uitgeworpen vormen dan een deelverzameling van de verzameling van alle tijdstippen binnen de hele seconde. Volgens de gekozen welordening is er dan een "kleinste" tijdstip waarop een rationaal getal uitgeworpen is. Het op dat tijdstip uitgeworpen rationale getal is dan de uiteindelijke uitkomst van ons experiment.

[Rogier]

Daarvoor gebruik ik een welordening van de tijdstippen binnen die ene seconde. Ik ken helaas geen specifieke welordening, maar er moet er (zoals men kan bewijzen) wel één mogelijk zijn.

Hoe bewijs je dat? Want volgens mij kun je het volgende niet garanderen:

De tijdstippen waarop er een rationaal getal is uitgeworpen vormen dan een deelverzameling van de verzameling van alle tijdstippen binnen de hele seconde. Volgens de gekozen welordening is er dan een "kleinste" tijdstip waarop een rationaal getal uitgeworpen is.

Het zou toch kunnen dat er op alle tijdstippen 0<t<10^-50 (en t=0 niet) rationale getallen worden uitgeworpen? Of (onder andere) op alle momenten van de vorm 1/n met n . Wat is dan het kleinste moment?

[Bartjes]

Hoe bewijs je dat? Want volgens mij kun je het volgende niet garanderen:

Het zou toch kunnen dat er op alle tijdstippen 0<t<10^-50 (en t=0 niet) rationale getallen worden uitgeworpen? Of (onder andere) op alle momenten van de vorm 1/n met n . Wat is dan het kleinste moment?

Ik gebruik een andere ordening dan de gewone volgorde van vroeger en later, precies om het soort problemen te ontlopen die je hierboven aangeeft. Zie voor het soort welordening dat ik in gedachten heb:

http://en.wikipedia.org/wiki/Well_ordering_theorem

[Bartjes]

Bij het zoeken op internet vond ik het artikel Picking a random integer van Michal Adamaszek. Hij kiest weer een heel andere benadering. Het verhaal gaat mij gedeeltelijk boven de pet, maar het ziet er dergelijk uit.

Zie hier:

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2006-12-62.pdf

[Bartjes]

Na nog wat zoeken op het internet denk ik nu toch een bevredigende oplossing te hebben gevonden. We gaan opnieuw uit van een uniforme kansverdeling over het reële interval [0,1). Maar we nemen nu wel 0 erbij omdat dat voor de huidige opzet beter uitkomt. Het is in deze opzet niet nodig om het willekeurig trekken van een reëel getal (overaftelbaar) oneindig vaak te herhalen. Het enige dat we nodig hebben is een aftelbaar oneindige partitie van [0.1), dat wil zeggen een opdeling van [0,1) in aftelbaar oneindig veel onderling disjuncte deelverzamelingen V_i , waarvan de vereniging weer de oorspronkelijke verzameling [0,1) oplevert. We zorgen ervoor dat de verzamelingen V_i niet-meetbaar (in de zin van de Lebesgue-maat) zijn, zodat er in de klassieke (reële) zin geen kans gedefinieerd is dat het getrokken getal in zo'n deelverzameling V_i valt. Anderzijds moet het op grond van de symmetrische verdeling van de V_i over [0,1) duidelijk zijn dat alle deelverzamelingen V_i een gelijke (infinitesimale) kans maken het getrokken getal te bevatten. Het enige wat we dan nog nodig hebben is een bijectie die aan iedere deelverzameling V_i een (positief) natuurlijk getal toewijst. Omdat er precies aftelbaar oneindig veel V_i zijn is dat geen probleem.

De bewuste partitie van [0,1) kan worden gevormd uitgaande van de zogenaamde Vitali-verzameling V. Zie:

http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Displa...amp;page=record

Voor ons is daarbij vooral lemma 3 van belang.

Zoals ik al eerder schreef, liggen deze zaken buiten mijn eigenlijke vakgebied. Daarom zou het fijn zijn als iemand met kennis van maattheorie wil bekijken of deze opzet wiskundig gesproken mogelijk is. Dat vervolgens op grond van de klassieke (van de reële getallen uitgaande) waarschijnlijkheidsrekening aan de zo getrokken willekeurige (positieve) natuurlijke getallen geen kans kan worden toegeschreven, is mij wel duidelijk.