[wiskunde] integralen / integreren

[TD]

Heb je partiële integratie gezien?

[thomasb]

ja heb ik gezien... maar daar snapte ik niet zo veel van (+ dat we het niet hoeven te kunnen...) kan het niet gewoon op de 'normale' manier? of is dat erg omslachtig?

[TD]

De 'normale' manier om dit soort functies op te lossen is door middel van partiële integratie, omdat je een product van een rationale functie met een logaritme hebt.

Zie wikipedia: partiële integratie voor uitleg en voorbeelden (o.a. voorbeeld 3, waar de primitieve van ln(x) bepaald wordt).

[thomasb]

ja! volgens mij is het gelukt!

lnx * 2x dx = [ lnx * x^2 ] - [int]1/x * x^2 dx

= [ lnx * x^2 ] - [int]x dx

= x^2 lnx - 1/2 x^2

[TD]

Prima!

(psst: vergeet de integratieconstante niet)

[thomasb]

maar wat nou als ik lnx en 2x omdraai (zoals in mijn eerste vraag)

dus 2x * lnx , want dan wordt ie een stuk lastiger en kom ik er niet meer uit...:

de f is nu dus 2x en de dg lnx

2x lnx

= f * g - g * df = ( 2x * xln(x) -x ) - (xln(x) - x * 2)

= ( 2x^2 ln(x) - x ) - ( 1/2 x^2 * xln(x) - x * x^2 )

= en dan? dan wordt t wel erg ingewikkeld... ik weet ook niet of t bovenstaande wel klopt...

[TD]

De regel van partiële integratie hoef je niet letterlijk te nemen dat de eerste f moet zijn en de tweede g, dat is net wat je kan kiezen. Vermenigvuldiging is immers commutatief, dus 2x*ln(x) = ln(x)*2x.

Vaak zal het zo zijn dat partiële integratie enkel werkt bij een specifieke keuze van f en g, soms gaat het allebei: even gemakkelijk of moeilijker via één van beide keuzes.

[thomasb]

ok, bedankt voor de uitleg!

[Antoon]

Ik vond deze site, misschien dat mensen die graag willen leren intergreren hier wat aan hebben, als ze geen echt gerichte vragen hebben maar gewoon willen leren intergreren dus.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase...con.html#intcon

[thomasb]

ik zit nu met een probleem bij het primitiveren van

\(5x\sqrt(3x^2-1)\)

het leek me dat ik eerst 5x moest primitiveren (=

\(2.5x^2\)

) en dat dan maal de primitieve van

\(\sqrt(3x^2-1) = \int (3x^2-1)^\frac{1}{2} = \frac{2}{3} (3x^2-1)^1^\frac{1}{2}\)

maar dat klopt niet... (volgens mij moet ik de ketting regel ook nog compenseren...)

wie kan me verder helpen?

[EvilBro]

Begin met substitutie:

\(u = 3 x^2 - 1\)

\(du = d(3 x^2 -1) = 6 x dx\)

dus:

\(\int 5 x \sqrt{3 x^2 -1} dx = \int \frac{5}{6} \sqrt{u} du = \frac{5}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + c = \frac{5}{9} (3 x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + c\)

[thomasb]

ik hoor net dat we niet zo uitgebreid op integreren ingaan... maar toch bedankt want ik snap m wel!

[thomasb]

een andere primitieve die ik wel moet kunnen:

\( \int(x^2+6x+1)e^2^x = (ax^2+bx+c)e^2^x = F(x)=> F'(x) = (2ax +b)e^2^x + (ax^2+bx+c)e^2^x * 2 \)

\( = (2ax +b)e^2^x + (2ax^2 + 2bx + 2c)e^2^x = (2ax^2 + (2a + 2b)x + b + 2c)e^2^x = f(x) = (x^2+6x+1)e^2^x \)

=> invullen: 2a = 1 => a =

\( \frac{1}{2}\)

2a + 2b = 6 = 1 + 2b => b =

\(2\frac{1}{2}\)

c =

\(\frac{1}{2}\)

=>

\(F(x) = (x^2 + 2 \frac{1}{2}x + \frac{1}{2})e^2^x\)

maar volgens mij klopt dat niet... ziet iemand de mistap die ik heb gemaakt?

[TD]

Bijna, a is inderdaad 1/2 en b 5/2, maar c is (1-b)/2 = (1-5/2)/2 = -3/4.

[thomasb]

mathematica komt op

\(\frac{1}{4}e^{2x}(2x(x+5)-3) = \frac{1}{4}e^{2x}(2x^2+10x-3) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{4})\)

dus dan is mijn antwoord alsnog niet goed... toch?