Divisor functie (priem) getallen als "golffunctie"

[OOOVincentOOO]

Ken je onderstaande tabel al?

https://authors.library.caltech.edu/434 ... me%201.pdf

Daar is veel in te vinden.

En heb je ook een exacte formule voor N? Dat maakt het voor ons makkelijker om mee te denken over de gezochte fouriergetransformeerde.

\( N(\mathbb{X}) = \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)}\)

N(X).png

Definitie is gegeven al in eerste post. Ook in samenvatting welke ik naar jouw advies gemaakt had.

In algebra sommetjes op te lossen ben ik niet zo geinteresseerd dat heb ik genoeg gedaan tijdens mijn studie.

Gr,

Vince

[Professor Puntje]

Ah! Eens kijken of we daar een uitdrukking voor kunnen vinden.

\( N(\mathbb{X}) = \frac{\ln (L)}{\ln \left (\cos \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \right )} \)

met:

\( L = \cos^ {N(\mathbb{X})} \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \)

Nu is het even de vraag of het argument van de natuurlijke logaritme in de noemer hier wel steeds positief is. Maar laten we daar even van uitgaan. Dan heb je als definitie van \( N(\mathbb{X}) \) dat:

\( N(\mathbb{X}) = \frac{\ln \left (\cos^ {N(\mathbb{X})} \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \right )}{\ln \left (\cos \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \right )} \)

\( N(\mathbb{X}) = \frac{N(\mathbb{X}) \cdot \ln \left (\cos \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \right )}{\ln \left (\cos \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \right )} \)

\( N(\mathbb{X}) = N(\mathbb{X}) \)

En dat klopt!

Maar het probleem met je formules is dat je \( N(\mathbb{X}) \) al moet invullen om \( N(\mathbb{X}) \) te kunnen uitrekenen. Dat lijkt me wat lastig. Of begrijp ik het verkeerd?

[OOOVincentOOO]

Hallo pp,

Ik heb de basics van de wave divisor functie nog maar een keer samengevat (knipsel uit Jupyter notebook) in dit:

Basic Divisor Functie

(79.35 KiB) 97 keer gedownload

Complete interactieve document:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Volgens mij is het basisprincipe je nog niet helemaal duidelijk. Waarschijnlijk heb ik dat dan niet duidelijk geformuleerd.

Deze formulatie heeft zeer veel eigenschappen. Probeer maar eens onder andere de volgende limiet te bepalen. En ja ik maak gebruik van oa. Wolfram Alpha om de oplossingen te vinden. Natuurlijk controleer ik de antwoorden zorgvuldig.

\( N(\mathbb{X}) \approx \lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty} \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)} = - \frac{2 \mathbb{X}^2 \log(L)}{\pi^2 \Delta x^2}\)

Maar ik ben blij dat er al iemand reageert. Voor verdere uitleg verwijs ik je naar vorige posts, ik ben al heel wat jaren bezig met de topic je vragen behoren dan eigenlijk tot mijn eerste topic posts.

Ik had liever dat de focus op mijn laatste post was.

Voor de laatste post ga ik ervan uit dat de eigenschappen van de divisor functie begrepen zijn.

Gr,

VIncent

Fourier Transform Wave Divisor Function.

Al een heel wat maanden verzoek ik een methode de Fourier transformatie van de wave divisor functie te bepalen. Hier volgt een methode plus een simulatie in Jupyter notebook.

De wave divisor functie bestaat uit een pulse outline gemoduleerd met een hoog frequent signaal:

\( \Re(\sigma_{0})=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right) \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}}x \right)\)

N bepaald de pulse breedte en is zo gedefineerd dat alle pulsen de gelijke breedte hebben met: \(L\) pulseheight op positie \(\Delta x\). \(N\) moet een positief even geheel getal zijn om positieve pulsen te verkrijgen:

\( N(\mathbb{X}) \approx \lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty} \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)} = - \frac{2 \mathbb{X}^2 \log(L)}{\pi^2 \Delta x^2}\)

De eerste term \(cos^{N}\) kan vereenvoudigd worden dit is de puls outline. De pulse outline vormt een Gauss achtige curve rond de oorsprong voor: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\):

\(O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)= e^{a x^{2}}\)

\(a=\frac{\log(L) \space}{\Delta x^{2}}=constant\)

De hoogfrequent term \(HF(\mathbb{X})\) geeft een linear verband met \(\mathbb{X}\) voor: \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\).

\( HF(\mathbb{X})= \cos \left( \frac{N\pi}{\mathbb{X}} x \right) \approx \cos (b x)\)

\(b(\mathbb{X}) = \frac{N}{\mathbb{X}}\pi \approx \alpha \mathbb{X} = constant \cdot \mathbb{X}\)

Dus voor \(\mathbb{X} \rightarrow \infty \) de wave divisor functie banaderd:

\(\Re(\sigma_{0})\rightarrow \sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty}e^{a x^{2}} \cos (b x) \)

De wave divisor functie bij oneindig kan Fourier getransformeerd worden naar het frequency domein. De volgende definitie van de Fourier transformatie is gebruikt:

\(\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \space e^{-2 \pi ix \xi} \space dx\)

Met behulp van Wolfram Alpha is de oplossing bepaald. Het frequentie spectrum voor een individuele divisor golf bestaat uit een Gauss achtige curve gespiegeld in de y-as.

\(\hat{\sigma}_{0}(\xi)= \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{-a}} \left( e^{(b-2 \pi \xi)^{2} /4a} + e^{(b+2 \pi \xi)^{2} /4a} \right)\)

Ieder getal heeft minimaal een divisor wave. Door de lineaire eigenschappen van de Fourier transformatie kunnen de spectra van de divisors van een getal opgeteld worden. Een simulatie is gemaakt in onderstaand Jupyter notebook. De simulatie geeft de waveform in het time domain en het frequentie spectrum. Ook kan is er een audio transformatie zodat met het signaal kan horen.

https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... udio.ipynb

Selecteer na het laden (kan enkele minuten duren) van de pagina menu: [Cell] ->[Run All] om notebook interactief te maken.

Groeten,

Vincent

[Professor Puntje]

Helaas gaat het volgens mij bij de definitie van N al mis. Een voorbeeld om de kern van de zaak duidelijk te maken:

\( \mbox{p}(x) = \frac{ \ln \left (3^{p(x)} \right ) }{ \ln(3)} \)

Is dat een deugdelijke definitie van de functie y = p(x) ? En zo ja - hoe bereken je dan de waarden van p(x) voor verschillende waarden van x? Volgens mij gaat dat niet.

En verder als je de limiet neemt voor \( \mathbb{X} \rightarrow \infty \) dan kan in de uitkomst van die limiet \( \mathbb{X} \) niet meer als variabele voorkomen. De gevonden limiet klopt dus niet, wat Wolfram Alpha ook mocht zeggen.

Maar goed - ik begrijp dat je verder wilt ongeacht of de basis van je theorie voor anderen te volgen is. Daarom zal ik niet verder in de weg lopen. Veel succes verder.

[OOOVincentOOO]

Beste PP,

Ik snap niet wat je bedoeld. Hier is de algebra maar stapje voor stapje zoals vroeger op school:

Gegeven:
De divisor functie kan voorgesteld worden als:
\(\sigma_{0}=\sum_{\mathbb{X}=2}^{\infty} cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}} x \right)\)

Gevraagd:
Bepaal de waarde \( N(\mathbb{X})\) voor iedere \(\mathbb{X}\) zodat de pulse breedte voor iedere golf gelijk zal zijn. Bepaal \(N(\mathbb{X})\):

Oplossing:
\(L=cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right) \)
\(log(L)=log(cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right)) \)
\(log(L)=N \cdot log(cos \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right)) \)
\(N(\mathbb{X})=\frac{log(L)} {log(cos \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right)} \)

Ik zou een boek moeten schrijven als ik alle algebra op dergelijke manier zou moeten uitwerken.

Je wil zo graag zien dat ik een fout maak. Ik maak talloze fouten maar hier volgens mij niet, dan was ik het al veel eerder tegengekomen. Ik zal het erop houden dat ik alles slecht formuleer.

(jammer dat de focus nu weer op iets anders is. Maar ik zal ermee moeten leven)

Gr,

Vince

[Professor Puntje]

Zijn L en \( \Delta x \) een vooraf bepaalde constanten?

[OOOVincentOOO]

Yep die bepalen de pulsbreedte van iedere golf.

Voor kleinere waarden van \(\mathbb{X}\) zullen de pulzen qua vorm nog een beetje van elkaar varieren. Indien \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\) gaat wordt een eindvorm bereikt rond de oorsprong.

Deze eindvorm (outline) is cruciaal voor:

• Het bepalen van de error in de Wave Divisor Functie (random walk over een arcsine distributie).

• Het bepalen van de Fourier transformatie.

Gr,

Vince

[Professor Puntje]

Dus als ik het goed begrijp is de functie \( N(\mathbb{X}) \) voor gegeven constanten \( \Delta x \) en \( L \) gedefinieerd als het kleinste positieve even natuurlijke getal \( N(\mathbb{X}) \) zodanig dat:

\( L \, \geq \, \cos^ {N(\mathbb{X})} \left (\frac{\pi}{\mathbb{X}} \Delta x \right ) \)

De functie \( N(\mathbb{X}) \) wordt dus bepaald door de vooraf gekozen constanten \( \Delta x \) en \( L \) en heeft als onafhankelijke variabele of argument het getal \( \mathbb{X} \) . Graag corrigeren als dit niet klopt.

Ik begrijp dat het vervelend is om weer tot het begin terug te keren, maar als de basis eenmaal voor iedereen duidelijk is heb je ook veel meer kans op zinnige reacties.

[OOOVincentOOO]

Hallo PP,

N is inderdaad een postief even integer. De limiet voor \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\) zullen l inderdaad de waarden \(L\) en \(\Delta x\) bereiken.

Echter de waarde N kun je als een continu getal in de buurt van de oorsprong. Hier is cos^N altijd positief. En kan ook de limiet bepaald worden (de pulse outline).

Men stelt dus een wave divisor functie bij een bepaalde pulse breedte \(L\) en \(\Delta x\).

Ik raad je aan het notebook door te nemen:

https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... 02.4.ipynb

Hier zijn allerlei interactive grafieken waar je kan zien wat er allemaal gebeurt.

Als je het echt wil begrijpen moet je ermee bezig zijn. Handen vies maken en aan de slag met de formules.

Maak een spreadsheet of iets dergelijks. Begin met cos^N en bouw dan verder uit naar de uiteindelijke vorm cos^N*cos(N/X).

Stuur mij een persoonlijk bericht als je een voorbeeld spreadsheetje wil hebben ofzo.

Groeten,

Vincent

[Professor Puntje]

Ik heb toch een andere voorstelling van iets echt begrijpen. Voor mij betekent dat de definities en begrippen zo scherp in beeld krijgen dat er geen misverstand meer mogelijk is en van daaruit verder redeneren. Ik vrees dat we op de huidige manier niet verder komen, en stap maar weer eens op.

[OOOVincentOOO]

Beste PP,

Als je iets wil onderzoeken moet je toch een combinatie toepassen van:

Iets definiëren en dan toetsen aan de praktijk. Je kunt niet alleen blijven zitten met definities dan kom je nergens.

Dat is mijn aanpak.

Inderdaad, dan verschillen onze methoden te veel van elkaar. ( <<<<<<<<<<0>>>>>>>>>> )

Gr,

Vince

[Professor Puntje]

Wat tot nog toe ontbreekt is een heldere door jou als initiator van deze theorie geautoriseerde definitie van de te onderzoeken functie. Zolang die definitie ontbreekt weten de meeste lezers hier (inclusief mijzelf) niet wat ze met dit topic aanmoeten, of hoe ze je vragen zouden kunnen beantwoorden. Ik had gehoopt dat mijn voorgestelde definitie van een paar berichtjes terug (of indien nodig een correctie daarvan) de zaak vlot zou kunnen trekken, en de mogelijkheid tot inbreng van anderen zou openen. Maar als je een dergelijke strenge definitie niet interessant vindt dan kan ik er verder niets mee en houdt het voor mij ook op. Jammer, maar helaas.

[OOOVincentOOO]

Divisor functie. Zie topic naam.

[OOOVincentOOO]

Hallo @PP,

Je hebt een goed puntje te pakken! Ik had een slordige schrijffout gemaakt. Zie foto:

Zoals je eerder vertelde kan het niet de limiet zijn voor \(\mathbb{X} \rightarrow \infty\).

Ik zou het op de volgende manier beter geformuleerd hebben:

\(\large N(\mathbb{X}) = \frac{\log(L)}{\log \left( \cos \left( \frac {\pi}{\mathbb{X} } \Delta x \right) \right)} \approx - \frac{2 \mathbb{X}^2 \log(L)}{\pi^2 \Delta x^2} \space (\mathbb{X} \rightarrow \infty)\)

Een van de interessant limieten is:

\(\large O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)\)

Deze limiet heeft mij vorig jaar heel veel hoofdbrekens bezorgt. Op de plaats van \(N\) moet je dan de formule van hem invullen. Leuke puzzel, toen wist ik nog niet dat \(N \propto \mathbb{X}^{2}\) .

===============================
Het blijft aan lezer te denken of alles onzin als ik een fout maak. Voor de rest resultaten blijven nog steeds hetzelfde. Ook van de Fourier transformatie mij laatste werkstukje.

Fourier Transformatie:
https://mybinder.org/v2/gh/oooVincentoo ... udio.ipynb

Vincent

[Professor Puntje]

Een van de interessant limieten is:

\(\large O(x)=\lim_{\mathbb{X} \rightarrow \infty}\cos^{N} \left( \frac{\pi}{\mathbb{X}}x \right)\)

Deze limiet heeft mij vorig jaar heel veel hoofdbrekens bezorgt. Op de plaats van \(N\) moet je dan de formule van hem invullen. Leuke puzzel, toen wist ik nog niet dat \(N \propto \mathbb{X}^{2}\) .

Ik heb daar vanavond wat uurtjes aan besteed en denk de oplossing te hebben gevonden, maar het is nu te laat om het bewijs nog op fouten te controleren. Ik hoop daar morgen wel de tijd voor te vinden. Heb je die limiet zelf ook al opgelost?