Bra's en Ket's

[Professor Puntje]

Is er behalve rigged Hilbert spaces nog een andere wiskundige onderbouwing van de QM mogelijk? En werkt de algebraïsche QM zonder deltafuncties?

Ik heb geen idee. Maar waarom zou je die deltafuncties kwijt willen?

Omdat ze niet in de hilbertruimten zitten. Je zou de hilbertruimten wiskundig gesproken moeten uitbreiden (met distributies o.i.d.) voordat je daarin met deltafuncties kunt werken. Of je moet een andere oplossing zoeken.

[Math-E-Mad-X]

Op zich is het helemaal niet zo moeilijk om van die dirac functies af te komen.

In plaats van de dirac functie kun je gewoon een willekeurige kwadratisch integreerbare functie kiezen die gepiekt is rondom het punt waar je het puntdeeltje wil hebben. Daarmee kun je de berekeningen uitvoeren die je wil doen. Vervolgens doe je dit nog een keer, maar dan met een iets smallere functie. En daarna nog een keer met een nog smallere functie, etcetera. Je hebt dan een reeks uitkomsten waarvan je de limiet kunt nemen, en die limiet is het gewenste resultaat.

Uiteraard moet je die berekeningen niet letterlijk allemaal gaan uitvoeren, want dan blijf je eeuwig bezig. Het is vooral een proces wat je in gedachten moet nemen elke keer dat je een Dirac functie tegen komt. Die Dirac functie is dus gewoon niets anders dan een verkorte notatie voor dit omslachtige proces.

In het begin lijkt dit misschien erg omslachtig allemaal, maar daar wen je heel gauw aan en al snel zal je die Dirac functie gewoon accepteren en er niet eens meer over nadenken. En ik kan je sowieso garanderen dat dit eenvoudiger is dan om helemaal een nieuwe formulering van de QM aan te gaan leren.

[Professor Puntje]

@ Math-E-Mad-X

Dat is ook hoe ik mij die delta-functies in de praktijk voorstel. Vaak verschillen de voorstellingen die we van wiskundige objecten hebben nogal van hun formele definities. Vergelijk ook de reële getallen. Maar zowel de voorstellingen als de formule definities zijn van waarde: de voorstellingen voor praktijkwerk en de formele definities als onderbouwing en om op terug te vallen in lastige situaties.

[Math-E-Mad-X]

Ja, dat snap ik, en als jij het leuk vindt om je helemaal te gaan verdiepen in de formele wiskundige onderbouwing van de Dirac functie dan moet je dat vooral doen.

Maar er zijn hele goeie redenen waarom die wiskunde meestal overgeslagen wordt door de natuurkundigen. Je kunt nou eenmaal niet alles weten dus soms moet je keuzes maken. Als je je continu laat afleiden door wiskundige details dan zal je in de natuurkunde maar weinig vooruitgang boeken.

Bovendien ben ik band dat je, als je je dieper in de wiskunde gaat verdiepen, opnieuw tegen nog meer onbevredigende details aan zult lopen, waardoor je nog verder afgeleid wordt. Het is gewoon volstrekt ondenkbaar voor één enkel persoon om de QM helemaal vanaf de grondbeginselen van de logica en de verzamelingen theorie op te kunnen bouwen (waar jij wel naar toe lijkt te willen).

Goed, uiteindelijk moet je het natuurlijk helemaal zelf weten, en doe vooral wat jij zelf interessant vindt, maar ik denk echt dat je het jezelf een stuk makkelijk maakt als je gewoon probeert om jezelf aan te leren 'als een natuurkundige te denken'.

[Math-E-Mad-X]

Een ander punt is dat men in de wiskunde soms symbolen gebruikt die op zichzelf helemaal niet gedefinieerd zijn als een zelfstandig object, maar die binnen een uitdrukking wel een goed gedefinieerde betekenis hebben.

Bijvoorbeeld \(\partial f\) is niet gedefinieerd (voor zover ik weet), maar \(\frac{\partial f}{\partial x}\) wel.

Of een ander voorbeeld: soms gebruikt men de notatie \(f^{-1}(Y)\) voor het inverse beeld van Y onder de functie f. Oftewel, de verzamaling punten x zodanig dat \(f(x) \in Y\). Zelfs as f helemaal geen inverteerbare functie is. In dat geval is \(f^{-1}\) dus helemaal niet gedefinieerd, maar de uitdrukking \(f^{-1}(Y)\) is dat wel.

Hoewel de Dirac functie geloof ik wel precies te definieren valt via distribtuties, is dit ook een andere manier om er tegen aan te kijken.

[Professor Puntje]

Ja - je hebt gelijk. Het is gewoon niet te doen om alles tot op de bodem na te pluizen. Onderstaand artikel geeft een aardig overzicht van waar je dan allemaal tegenaan loopt:

https://stanford.library.sydney.edu.au/ ... es/qt-nvd/

Met recht een doos van Pandora! Maar het zou nog wel leuk zijn als ik een boek kan vinden dat het verhaal uit het artikel wat uitgebreider vertelt. Dat kan ik dan lezen, en als waarschuwing nog weer eens inzien wanneer ik weer eens te diep wil graven.

[mathfreak]

Bijvoorbeeld ∂f is niet gedefinieerd (voor zover ik weet),

Het symbool ∂ wordt in de topologie ook gebruikt om de rand van een topologische verzameling weer te geven, net zoals π n in de algebraïsche topologie wordt gebruikt voor het weergeven van een fundamentaalgroep.

[sensor]

In deze discussie gaat het meer om de grondslagen van de Bra's en Ket's dan de toepassing van deze mooie notatie. Los van de grondslagen is het toch ook een elegante en compacte manier van beschrijven. Inwendige producten van matrixen of operatoren en vectors kun je ook veel ingewikkelder noteren.
Er zijn veel voorbeelden van toepassingen zoals beschrijving Bell states.