Ik vind het in dit soort gevallen fijn om te werken met een paar voorbeelden, gewoon om te kijken wat er concreet gebeurt
1 Pl-getallen
Een pl-getal is ofwel eventueel constant (dat zijn de "eindige" cijferrijtjes), ofwel exponentieel stijgend (de oneindige rijtjes).
voorbeeld: het pl-getal "...1111" is de functie die n stuurt naar
\(\frac{10^{n + 1} - 1}{9}\).
Het klinkt mij logisch om pl-getal te beschrijven als
-eindig (beter: "geheel"?): als ze naar links op een gegeven moment alleen nullen hebben
-rationaal: als ze naar links op een gegeven moment periodiek worden
2 Pseudoquotient:
Het pseudoquotient van ...5555 en ...3333 is de limiet van 6/4, 56/34, 556/334, 5556/3334, ... en dat lijkt inderdaad naar 5/3 te neigen. intuïtief is pq(...5555, ...3333) = {5/3}
Als x eindig is en y oneindig, dan is pq(x, y) de limiet van een rij waarbij de teller op-den-duur-constant is en de noemer stijgt, dus dat wordt {0}.
andersom, als x oneindig en y eindig, dan wordt het {+oneindig}
Interessant wordt het bij beide oneindig. Neem x de omgekeerde decimalenreeks van pi: ...62951413 en y = ...11111111. pq(x, y) is de verzameling verdichtingspunten van
3/1,
13/11,
413/111,
1413/1111,
51413/11111,
951413/111111,
2951413/1111111,
62951413/11111111,
Het vermoeden is dat pi normaal is:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Normaal_getal Onder die aanname kun je volgens mij afleiden dat elk punt tussen 0 en 9 een verdichtspunt is van deze rij (d.w.z. de rij is dicht (
https://nl.wikipedia.org/wiki/Dicht_(wiskunde) in [0, 9]. Dus dan zou pq(x, y) het hele interval zijn.
Omgekeerd, pq(...1111111, ...62951413) wordt, vermoed ik, het "omgekeerde interval" [1/9, +oneindig].
Mijn vermoeden is dat hetzelfde gebeurt voor alle "normale" pl-getallen x en alle "rationale" pl-getallen y.
3 Panorama:
als x eindig is, dan als z eindig is dn is pq(x, z) = (x/z) (gezien als quotiënt van gewone natuurlijke getallen) en als z oneindig is dan is pq(x, z) = 0. Dan is pan(x) een functie die eindige z stuurt naar {x/z} en oneindige z naar {0}.
Als x bijvoorbeeld de "achterstevoren pi-reeks" hierboven is dan is als z eindig is, pq(x, z) = {+oneindig} en als z oneindig is maar een patroon heeft, pq(x, z) een interval en als z oneindig is en geen patroon heeft dan kunnen er allerlei dingen gebeuren.
Het lijkt me hier interessant om pan(x) te proberen concreet te beschrijven voor
- eindige x
- rationale x
- normale x
en voor elk van die 3 gevallen, pan(x)(z) te beschrijven voor
- eindige z
- rationale z
- normale z
en te kijken wat je krijgt in elk van die 3 x 3 gevallen.
(4) gl-getallen
een verzameling van N naar R is een getallenrij.
schrijf het pl-getal ...dcba als {a, b, c, d, ...}
Dan is {a, b, c, ...} + {x, y, z, ...} = {a + x, b + y, c + z}, dus de eenheid voor optelling is {0, 0, 0, ...} = ...0000 = 0.
Dan is {a, b, c, ...} * {x, y, z, ...} = {ax, by, cz} dus de eenheid voor vermenigvuldiging is {1, 1, 1, ...} = ...1111. (interessant: dat is de y die ik als noemer gebruikte in het pq-voorbeeld)
(5) hele linkse getallen
volgens mij is het enige dat je toevoegt het teken. Je zou [t...dcba] dus kunnen schrijven als t{a, b, c, d, ...} oftewel {ta, tb, tc, td, ...}
(ik weet niet of "hele" getallen een handige naam is)
Bij 6 heb ik het vermoeden dat je deelring gegenereerd door Hl de hele ring is. Maar zonder enig bewijst verder.
Ik zie wat je doet als een soort quotiënt van getallenrijtjes definiëren waarbij je de "significantie" van de "digits" omdraait, waardoor je rij soms geen limiet heeft en je moet uitwijken naar de "verzameling verdichtingspunten". Het is de vraag waar dat toe leidt, mijn beeld erbij is dat met die pq() functie je getallen die onregelmatig zijn, soort van "uitsmeert" naar intervallen, ongeacht of die onregelmatige getallen als noemer of als teller optreden, en tenzij ze toevallig samenvallen (omdat pq(x, x) gelukkig wel altijd {1} is).
Vooral de bijzondere rol van ...1111 als eenheid van vermenigvuldiging, maar wel als exponentieel stijgende functie, vind ik wat contraïntuïtief.
Hoop dat je wat hebt aan mijn gedachtenspinsels/observaties
