We gaan uit van de geïdealiseerde situatie dat we een perfecte Random Number Generator hebben die reële getallen uit het interval [0,1) uitwerpt. We veronderstellen een uniforme kansverdeling. Wat we nu zullen laten zien is dat er een speciale functie
\(f\)
van [0,1) in N+ bestaat, die de uitgeworpen reële getallen omzet in positieve natuurlijke getallen. Het speciale van deze functie zal daaruit bestaan dat de verzameling reële getallen X = {x \(\in\)
[0,1) \(\mid\)
\(f\)
(x) = N} voor ieder positief natuurlijk getal N de zelfde vorm heeft. Met 'de zelfde vorm' bedoelen we hier dat de verzamelingen X voor alle positieve natuurlijke getallen N door translatie (met een "bochtje") uit elkaar verkregen kunnen worden. Omdat de RNG met een uniforme kansverdeling op [0,1) reële getallen x uitwerpt, is dan het optreden van een positief natuurlijk getal N als beeld \(f\)
(x) voor ieder positief natuurlijk getal N even aannemelijk.We zullen ons bepalen tot een bewijs van het bestaan van de functie
\(f\)
. Het zou natuurlijk mooier zijn wanneer we een concrete functie konden aanwijzen, maar het is zeer de vraag of dat (menselijkerwijs) mogelijk is. Laat V(x) de verzameling van alle reële getallen y uit [0,1) zijn waarvoor y - x rationaal is. V(x) levert dus voor sommige x de zelfde verzameling op. Vervolgens vormen we de verzameling D van alle V(x) met x uit [0,1). De verzameling D bevat dus deelverzamelingen uit [0,1).
Bovendien zitten alle reële getallen x uit [0,1) in minstens één verzameling in D. Immers, laat x
\(\in\)
[0,1). Dan zit V(x) in D. Maar omdat 0 een rationaal getal is, zit dan x in V(x).Verder zit geen enkel reëel getal uit [0,1) in méér dan één verzameling in D. Laat x in V(y) en in V(z) zitten. Dan zijn de verschillen x - y en x - z beide rationaal. Het verschil (x - y) - (x - z) is dan ook rationaal. Dat wil zeggen z - y is rationaal.
Stel dat t in V(y) zit. Dan is t - y rationaal. Zodat dan ook (t - y) - (z - y) rationaal is. Dat wil zeggen: t - z is rationaal. Derhalve zit t dan ook in V(z).
Stel nu dat t in V(z) zit. Dan is t - z rationaal. Zodat dan ook (t - z) + (z - y) rationaal is. Dat wil zeggen: t - y is rationaal. Derhalve zit t dan ook in V(y). We vinden dus: V(y) = V(z). Dit betekent dat geen enkel reëel getal uit [0,1) in méér dan één verzameling in D zit.
We hebben dus bewezen dat ieder reëel getal x uit [0,1) in een verzameling in D zit, en dat geen enkel reëel getal x uit [0,1) in méér dan één verzameling in D zit.
Laat nu de verzameling V uit iedere verzameling in D precies één reëel getal bevatten. Omdat alle V(x) in elk geval x bevatten, zijn alle verzamelingen in D niet-leeg. Volgens het keuze-axioma, uit de verzamelingenleer, moet er daarom zo'n verzameling V bestaan. We noemen deze verzameling V de (of beter gezegd: een) Vitali-verzameling. Vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Giuseppe Vitali (1875 - 1932).
Nu definiëren we x + V als de verzameling van sommen x + y met y uit V, waarbij we voor het geval dat de som 1 of groter wordt er 1 vanaf trekken. De verzameling V wordt zo op de getallenrechte als het ware over een afstand x naar rechts verschoven, waarbij het deel dat voorbij het interval [0,1) schuift ter linkerzijde weer bij het interval binnenkomt. Door deze symmetrische opzet is het bij alle x uit [0,1) even aannemelijk dat een door onze RNG uitgeworpen reëel getal r binnen x + V valt.
Omdat de verzameling van de rationale getallen uit [0,1) en de verzameling der positieve natuurlijke getallen beide precies aftelbaar oneindig veel elementen bevatten, kunnen we de rationale getallen uit [0,1) met behulp van de positieve natuurlijke getallen (bijectief) nummeren. We krijgen dan:
q1, q2, q3, ... , qn, ... .
Hiermee corresponderen dan de niet-lege deelverzamelingen van [0,1):
q1 + V, q2 + V, q3 + V, ... , qn + V, ... .
Zit ieder reëel getal x uit [0,1) in minstens één zo'n verzameling qn + V? In elk geval zit x in V(x). En uit V(x) is een element y gekozen dat in V zit. Er zit in V dus een reëel getal y waarvoor het verschil y - x rationaal is. Laat nu q = x - y. Dan geldt er: x
\(\in\)
q + V.Omdat x en y beide uit [0,1) komen, ligt q in het interval (-1,1).
Voor q
\(\in\)
[0,1) is q + V een van de qn + V.Voor q
\(\in\)
(-1,0) valt x + 1 = (q + 1) + y in het interval [1,2). Daarom geldt dan :x = {(q + 1) + y} - 1
\(\in\)
(q + 1) + V.Bovendien gaat men eenvoudig na dat q + 1 dan een rationaal getal uit [0,1) is. Dus ook hier is (q + 1) + V een van de qn + V.
In beide gevallen zit het reële getal x uit [0,1) dus in minstens één van de verzamelingen:
q1 + V, q2 + V, q3 + V, ... , qn + V, ... .
Kan een reëel getal x uit [0,1) ook in meerdere van de verzamelingen q1 + V, q2 + V, q3 + V, ... , qn + V, ... zitten? Stel dat x in qn + V en in qm + V zit. Dan zijn er y en z in V zodanig dat qn + y gelijk is aan x of x + 1 en qm + z gelijk is aan x of x + 1. Dus zou het verschil y - z rationaal moeten zijn. Zowel y als z zitten dus in V(z). Omdat er uit iedere verzameling in D voor V maar één element wordt gekozen moet dus gelden: y = z. Dan moet qn + z gelijk zijn aan x of x + 1 en qm + z gelijk zijn aan x of x + 1. Dus kunnen qn en qm hoogstens een geheel getal verschillen. Maar omdat ze beide in [0,1) liggen, moeten ze dan wel gelijk zijn. Derhalve kan ieder reëel getal x uit [0,1) maar in één verzameling qn + V voorkomen.
We kunnen nu onze speciale functie
\(f\)
van [0,1) in N+ definiëren. Voor alle reële getallen x uit [0,1) verstaan we onder het beeld \(f\)
(x) van x volgens \(f\)
de index n van de unieke verzameling qn + V waarin x zit.Als we de uitgeworpen reële getallen x van onze ideale RNG als argumenten voor
\(f\)
gebruiken, krijgen we dus als beelden \(f\)
(x) positieve natuurlijke getallen. Gezien de symmetrische opzet van het geheel moeten verder alle positieve natuurlijke getallen als uitkomst even aannemelijk zijn. Een reële kans kan aan de afzonderlijke positieve natuurlijke getallen echter niet worden toegeschreven. Daartoe zou de aftelbaar oneindige som S = k + k + k + ... + k + ... voor een zeker reëel getal k uit [0,1] gelijk aan 1 moeten zijn. Binnen het systeem van de reële getallen is dat niet mogelijk. Als we deze kans met een getal willen aangeven moeten we een infinitesimaal getal gebruiken.
