[wiskunde] integralen / integreren

[EvilBro]

dus dan is mijn antwoord alsnog niet goed... toch?

Lees nog eens wat TD! schreef...

[TD]

mathematica komt op  

\(\frac{1}{4}e^{2x}(2x(x+5)-3) = \frac{1}{4}e^{2x}(2x^2+10x-3) = e^{2x}(\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{4})\)

dus dan is mijn antwoord alsnog niet goed... toch?

Hoezo? Het voorstel was \(\left( {ax^2 + bx + c} \right)e^{2x}\) en we vonden de a,b,c uit m'n vorige post, dat komt toch neer op \(\left( {\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{4}} \right)e^{2x} \) en dat is precies de laatste uitdrukking van hierboven...

[thomasb]

ja dat is inderdaad wel heel stom van me

[TD]

Je hebt het uiteindelijk gevonden, dat is het belangrijkste

[thomasb]

sorry dat ik zoveel vragen heb... (ik heb t beetje t gevoel dat ik aan t spammen ben...)

wat ik wilde weten is hoe je het best een primitieve van een breuk kan bepalen... (bijvoorbeeld

\(\frac{6x}{x^2+4}\)

) ik zou het dan omschrijven naar een product (

\(6x (x^2+4)^{-1}\)

)... maar het probleem dan is dat je moet partieel integreren (of niet?)

[TD]

Hier moet je opvallen dat de graad van de teller precies één lager is dan die van de noemer, dan kan een substitutie van de noemer wel eens lukken. Probeer dus: stel \(y = x^2+4\).

[thomasb]

mmm... een substitutie zou het makkelijker moeten maken... we hebben die methode op school niet gehad (ik vraag me eigenlijk af waarom niet...) ik heb net ff op internet gezocht maar ik kan die gegevens nog niet echt op deze som toepassen...

ik vroeg me af wat je precies met de x van 6x moet doen... want als je 6x/y laat staan zit je nog steeds met een breuk...

[TD]

Bij een substitutie moet je alles schrijven in functie van de nieuwe veranderlijke, dus als alles met een x (ook de dx) moet in functie van y komen te staan. We hebben:

\(y = x^2 + 4 \Leftrightarrow dy = 2xdx\)

Dus de integraal wordt:

\(\int {\frac{{6x}}{{x^2 + 4}}dx} = \int {\frac{3}{y}dy} \)

Misschien heb je niet expliciet de substitutiemethode gezien, maar wel het feit dat de afgeleide functie gedeeld door de functie zelf als primitieve de (natuurlijke) logaritme van die functie heeft?

[thomasb]

ja ik snap t al wat beter... ik moet hier nog ff mee oefenen merk ik, maar bedankt voor de uitleg! ik snap het principe!

[Math]

\(\int_0^\pi \cos²xdx=\)

Deze bepaalde integraal stond op men toets vandaag. We zijn nog maar net met integraalrekening bezig en hebben nog geen "integratietechnieken" gezien... desondanks stond deze er toch op.

Ik heb wat geknoeid met goneometrische formules maar ik ben er niet uitgekomen. Wie helpt me uit de nood voor deze, waarschijnlijk best simpele voor gevorderden, integraal? De oplossing maakt me niet uit, dat weet men rekenmachine ook, de manier waarop is mijn vraag .

Van Rov, zie hier

[r1kk1m]

De cosinus kwadraat schrijven als een dubbele hoek:

\(\cos²x= (1+\cos(2x))/2\)

Dan krijg je een al iets simpelere integraal:

\(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(2x)dx=\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin(2\pi)) =\frac{\pi}{2}\)

[PeterPan]

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Dus cos²(x) dx = (cos(2x)/2 + 1/2) dx

De afgeleide van sin(2x) = 2cos(2x), dus

(cos(2x)/2 + 1/2) dx = sin(2x)/4 + x/2 + C

[Rov]

Hartelijk bedankt en sorry voor het verkeerd posten van de opgave .

[tyhr]

we zijn op school ook pas bezig met integralen en ik ben er niet al te goed in

ik snap nog eens niet goed wat echt moet doen, laat staan dat ik primitieven ed kan herkennen...

nu was ik op een eenzame zaterdag namiddag bezig met oef te proberen te maken en zit ik vast bij een, eerder simpele, oefening.

int. x / 7+x^4

Ik vond echt niet welke primitieve ik nodig had (voor na de substitutie) dus heb ik gespiekt bij de antwoorden achteraan in de boek

De oplossing zou moeten zijn: 1/(2.7^1/2) . Bgtan (x^2)/(7^1/2) + C

Het werd me dus al snel duidelijk dat ik in de opgegeven oef dmv van substitutie 1/1+x^2 moest herkennen maar het lukt met écht niet.

Als iemand me stap voor stap zou kunnen uitleggen wat ik moet doen, dat zou ik echt enorm hard appreciëren

Alvast bedankt.

[TD]

Let op met het gebruik van haakjes (dat hier dus ontbrak), a/b+c is niet hetzelfde als a/(b+c). Ik neem aan dat je de volgende integraal bedoelt:

\(\int {\frac{x}{{7 + x^4 }}dx} \)

Voor de boogtangens moeten we iets van de vorm "1+f(x)²", laten we eerst die constante al 1 maken door de 7 buiten de integraal te brengen en dan het kwadraat te vormen.

\(\int {\frac{x}{{7 + x^4 }}dx} = \frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \frac{{x^4 }}{7}}}dx} = \frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \left( {\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }}} \right)^2 }}dx} \)

Substitutie: \(\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }} = y \Leftrightarrow x^2 = \sqrt 7 y \Rightarrow 2xdx = \sqrt 7 dy \Leftrightarrow xdx = \frac{{\sqrt 7 }}{2}dy\)

\(\frac{1}{7}\int {\frac{x}{{1 + \left( {\frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }}} \right)^2 }}dx} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\int {\frac{1}{{1 + y^2 }}dy} = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\arctan y + C = \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}\arctan \frac{{x^2 }}{{\sqrt 7 }} + C\)