Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity

[Professor Puntje]

Op de waarnemingshorizon zelf kan geen bolschil meer geconstrueerd worden, zelfs niet als een geïdealiseerde constructie. 

Waarom niet?

Ben net de reden voor die onmogelijkheid in het boek tegen gekomen. Stel je een vanuit rust van heel ver weg in een zwart gat vallende regendruppel voor. Het lokale frame dat met die regendruppel is verbonden heet in het boek het rain frame en de bijbehorende metriek de rain metric. Vanuit die metriek kun je berekenen in welke richting voorwaarts en achterwaarts vanuit de regendruppel uitgezonden lichtstraaltjes zullen bewegen. Zodra de regendruppel de horizon van het zwarte gat is gepasseerd bewegen zowel de voorwaarts als de achterwaarts vanuit de druppel uitgezonden lichtstraaltjes voorwaarts. Een deeltje (van een vaste bolschil) dat zich op of binnen de horizon op een vaste r-coördinaat zou bevinden zou dus vanuit het rain frame bezien met een snelheid gelijk aan of groter dan die van het licht moeten bewegen, wat voor een ponderabel deeltje binnen een (lokaal) inertiaalstelsel onmogelijk is. Dus kan er op de horizon zelf en daarbinnen onmogelijk een materiële bolschil geconstrueerd worden.

[Professor Puntje]

Ter illustratie nog een diagram uit het boek:

[Professor Puntje]

Ben nu bijna aan het hoofdstuk over de precessie van Mercurius' perihelium toe gekomen. Als opstapje nog een aardige oefening:

Vraagstuk. Gegeven een niet roterend en ongeladen zwart gat met massa M en een daaromheen cirkelend object met massa m. Leid een uitdrukking af voor het verschil Δr = r_E - r_N tussen de straal (= r-coördinaat) van een stabiele cirkelbaan rond het zwarte gat volgens Einstein (r_E) en volgens Newton (r_N) als functie van het impulsmoment L van het rond het zware gat cirkelende object.

[Professor Puntje]

We beginnen met de newtoniaanse aanpak. De potentiële energie U(r) van ons object met massa m draaiend om het zwarte gat is:

\(\)

\( \mathrm{U}(r) = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} \)

\(\)

En de kinetische energie E_k van ons object met massa m en snelheid v is:

\(\)

\( \mathrm{E}_k = \frac{1}{2} \mathrm{m} v^2 \)

\(\)

De constante totale energie E_tot van het object is dan:

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = \mathrm{U}(r) + \mathrm{E}_k \)

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} + \frac{1}{2} \mathrm{m} v^2 \)

\(\)

De snelheid v kunnen we ontbinden in een radiale component v_r en een transversale component v_t . Zodat:

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} + \frac{1}{2} \mathrm{m} v_r^2 + \frac{1}{2} \mathrm{m} v_t^2\)

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} + \frac{1}{2} \mathrm{m} v_r^2 + \frac{1}{2} \frac{r^ 2 \mathrm{m}^2 v_t^2}{r^2 \mathrm{m}}\)

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} + \frac{1}{2} \mathrm{m} v_r^2 + \frac{\mathrm{L}^ 2}{2 r^2 \mathrm{m}}\)

\(\)

\( \mathrm{E}_{tot} = \frac{1}{2} \mathrm{m} v_r^2 + \left [ \frac{\mathrm{L}^ 2}{2 r^2 \mathrm{m}} - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} \right ] \)

\(\)

Het deel tussen rechte haken noemen we de effectieve potentiële energie (volgens Newton) V_N(r). Dus:

\(\)

\( \mathrm{V}_N(r) = \frac{\mathrm{L}^ 2}{2 r^2 \mathrm{m}} - \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

Stabiele cirkelbanen treden op voor die waarden van r waarvoor V_N(r) een lokaal minimum heeft.

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Vanuit (1) vinden we:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = - \frac{\mathrm{L}^ 2}{r^3 \mathrm{m}} + \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r^2} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = \left ( - \frac{\mathrm{L}^ 2}{r \mathrm{m}} + \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \right ) \cdot \frac{1}{r^2}\)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = 0 \Leftrightarrow - \frac{\mathrm{L}^ 2}{r \mathrm{m}} + \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = 0 \Leftrightarrow \frac{\mathrm{L}^ 2}{r \mathrm{m}} = \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = 0 \Leftrightarrow \frac{r \mathrm{m}}{\mathrm{L}^ 2} = \frac{1}{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \mathrm{V}_N(r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{\mathrm{L}^ 2}{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

\(\)

De functie V_N(r) heeft wegens (2) dus maar één stationair punt, en wel voor \( r = \frac{\mathrm{L}^ 2}{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \).

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Om te zien of de in (2) gevonden waarde voor r die we voorlopig even r* noemen, ook het gezochte lokale minimum oplevert bepalen we de tweede afgeleide van V_N(r) voor r = r*:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N(r) = \frac{3 \mathrm{L}^ 2}{r^4 \mathrm{m}} - 2 \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \mathrm{m}}{r^3} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N(r) = \left ( \frac{3 \mathrm{L}^ 2}{r \mathrm{m}} - 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \right ) \cdot \frac{1}{ r^3 } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N(r) = \left ( \frac{3 \mathrm{L}^ 2}{\mathrm{m}} r^{-1} - 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \right ) \cdot \frac{1}{ r^3 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N \right )(r^*) = \left ( \frac{3 \mathrm{L}^ 2}{\mathrm{m}} (r^*)^{-1} - 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \right ) \cdot \frac{1}{ (r^*)^3 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N \right )(r^*) = \left ( \frac{3 \mathrm{L}^ 2}{\mathrm{m}} \frac{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^ 2} - 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \right ) \cdot \frac{1}{ (r^*)^3 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N \right )(r^*) = (3 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} - 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}) \cdot \frac{1}{ (r^*)^3 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N \right )(r^*) = \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \cdot \frac{1}{ (r^*)^3 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} r^2} \mathrm{V}_N \right )(r^*) > 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

Op basis van (2) en (3) concluderen we dat V_N(r) precies één lokaal minimum heeft, en wel voor r = r*. Dus is r* inderdaad de gezochte newtoniaanse waarde r_N van een stabiele cirkelbaan:

\(\)

\( r_N = \frac{\mathrm{L}^ 2}{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Ik zal deze opgave nog afronden, maar daarna wordt dat denk ik toch te bewerkelijk. Dat worden dan zulke lange afleidingen dat niemand dat meer gaat lezen.

Wat me nog wel leuk lijkt is om lezers met vragen over de theorie van het boek verder te helpen (voor zover mij dat lukt uiteraard). Dus stel hier in dit topic gerust al je vragen daarover.

[Professor Puntje]

Dan nu de aanpak vanuit Einsteins ART:

\(\)

\( c^2 \mathrm{d} \tau^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) c^2 \mathrm{d} t^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ 1 - \frac{r_s}{r}} - r^2 \mathrm{d} \phi^2 \)

\(\)

\( 1 = (1 - \frac{r_s}{r}) \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d} \tau^2 } \, - \, \frac{\frac{\mathrm{d} r^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 }}{ 1 - \frac{r_s}{r}} - r^2 \frac{\mathrm{d} \phi^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( 1 - \frac{r_s}{r} = (1 - \frac{r_s}{r})^2 \frac{\mathrm{d} t^2}{ \mathrm{d} \tau^2 } \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 } - r^2 (1 - \frac{r_s}{r}) \frac{\mathrm{d} \phi^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( 1 - \frac{r_s}{r} = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m} c^2} \right )^2 \, - \, \frac{\mathrm{d} r^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 } - r^2 (1 - \frac{r_s}{r}) \frac{\mathrm{d} \phi^2}{ c^2 \mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^4 = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, - \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } - c^2 r^2 (1 - \frac{r_s}{r}) \frac{\mathrm{d} \phi^2}{ \mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^4 = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, - \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } - (1 - \frac{r_s}{r}) \frac{c^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \mathrm{m}^2 r^4 \frac{\mathrm{d} \phi^2}{ \mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^4 = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, - \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } - (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^2 \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^4 + (1 - \frac{r_s}{r}) \, c^2 \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, - \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r}) \, \left ( c^4 + c^2 \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \right ) = \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, - \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, = \, c^2 \frac{\mathrm{d} r^2}{\mathrm{d} \tau^2 } \, + \, c^2 \, (1 - \frac{r_s}{r}) \, \left ( c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \right ) \)

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, = \, (c \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau } )^2 \, + \, \left [ c \, \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \, \sqrt{ c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} } \right ]^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

\(\)

Het deel tussen rechte haken noemen we de effectieve potentiaal (volgens Einstein) V_E(r). Dus:

\(\)

\( \mathrm{V}_E(r) = c \, \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \, \sqrt{ c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

\( (\mathrm{V}_E(r))^2 = c^2 \, (1 - \frac{r_s}{r}) \, \left ( c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \right ) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

En:

\(\)

\( \left ( \frac{\mathrm{E}}{\mathrm{m}} \right )^2 \, = \, (c \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau } )^2 \, + \, ( \mathrm{V}_E(r) )^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

\(\)

Voor r ≤ r_s bestaan er sowieso geen stabiele cirkelbanen, dus hoeven we enkel de gevallen voor r > r_s te bekijken. Verder zien we dat alleen die cirkelbanen met straal r stabiel zijn waarvoor (V_E(r))² een lokaal minimum heeft.

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Wegens (7) hebben we:

\(\)

\( (\mathrm{V}_E(r))^2 = c^2 \, (1 - \frac{r_s}{r}) \, \left ( c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} \right ) \)

\(\)

\( (\mathrm{V}_E(r))^2 = c^2 \, ( c^2 + \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^2} - \frac{r_s}{r} \, c^2 - \frac{\mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2 r^3} ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = c^2 \, ( 0 - \frac{2 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^3} + \frac{r_s}{r^2} \, c^2 + \frac{3 \mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2 r^4} ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = c^2 \, ( \frac{r_s}{r^2} \, c^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^3} + \frac{3 \mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2 r^4} ) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

En verder:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = ( r_s c^2 r^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2 r}{\mathrm{m}^2} + \frac{3 \mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2} ) \cdot \frac{c^2}{r^4} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow r_s c^2 r^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2 r}{\mathrm{m}^2} + \frac{3 \mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2} = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow r^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2 r}{\mathrm{m}^2 r_s c^2 } + \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^2 } = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow \left (r - \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r_s c^2 } \right )^2 - \left ( \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r_s c^2 } \right )^2 + \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^2 } = 0 \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow \left (r - \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r_s c^2 } \right )^2 = \left ( \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r_s c^2 } \right )^2 - \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^2 } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow \left (r - \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2} c^2 } \right )^2 = \left ( \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{c^2} c^2 } \right )^2 - \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^2 } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow \left (r - \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2 } \right )^2 = \left ( \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \right )^2 - \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^2 } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = 0 \Leftrightarrow \left (r - \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2 } \right )^2 = \left ( \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \right )^2 \cdot \left (1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } \right ) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (10) \)

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Voor (10) onderscheiden we (bij r > r_s) drie gevallen:

\(\)

\( \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } > 1 \,\, \Rightarrow \,\,(\mathrm{V}_E(r))^2 \, \mbox{heeft geen stationair punt} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (11) \)

\(\)

\( \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } = 1 \,\, \Rightarrow \,\,(\mathrm{V}_E(r))^2 \, \mbox{heeft één stationair punt} \, r_0 = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2 } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (12) \)

\(\)

\( \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } < 1 \,\, \Rightarrow \,\,(\mathrm{V}_E(r))^2 \, \mbox{heeft twee stationaire punten:} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (13) \\
\, r_+ = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} + \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \\
\, r_- = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} - \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Uitgaande van (9) vinden we:

\(\)

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = c^2 \, ( \frac{r_s}{r^2} \, c^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 r^3} + \frac{3 \mathrm{L}^2 r_s}{\mathrm{m}^2 r^4} ) \)

\(\)

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} = ( r^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^4 r_s } r + \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^4} ) \cdot \frac{r_s c^4}{r^4} \)

\(\)

Hierin stelt \( r^2 - \frac{2 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^4 r_s } r + \frac{3 \mathrm{L}^2}{\mathrm{m}^2 c^4 } \) een dalparabool als functie van r voor. Bijgevolg is het tekenverloop van \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} \) in de gevallen (12) en (13) als volgt:

Bij (12) heeft \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} \) één nulpunt en is het tekenverloop van positief naar nul naar positief. Dus \( (\mathrm{V}_E(r))^2 \) verandert daar van stijgend, via stationair, opnieuw naar stijgend. Dat levert voor r dus geen stabiel evenwichtspunt op.

Bij (13) heeft \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left \{ (\mathrm{V}_E(r))^2 \right \} \) twee nulpunten en is het tekenverloop van positief naar nul (bij het kleinste nulpunt voor r_-), naar negatief, en weer naar nul (bij het grootste nulpunt voor r₊), en vervolgens weer naar positief. Dus \( (\mathrm{V}_E(r))^2 \) verandert van stijgend, via stationair (bij r_-) naar dalend, naar stationair (bij r₊) en weer opnieuw naar stijgend. Bij r_- hebben we dus een lokaal maximum, en bij r₊ een lokaal minimum. Enkel r₊ levert ons dus een stabiel evenwicht voor r op.

Dus de stabiele straal r_E (r-coördinaat) "volgens Einstein" is:

\(\)

\( r_E = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} + \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (14) \)

\(\)

Dit onder de voorwaarden dat r > r_s en \( \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } < 1 \).

\(\)

(Wordt vervolgd.)

[Professor Puntje]

Wegens (4) en (14) concluderen we nu dat:

\(\)

\( \Delta r = r_E - r_N \)

\(\)

\( \Delta r = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} + \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \, - \, \frac{\mathrm{L}^ 2}{\mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \)

\(\)

\( \Delta r = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \, - \, \frac{\mathrm{L}^ 2}{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \)

\(\)

\( \Delta r = \frac{\mathrm{L}^2}{ 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}^2} \cdot \left ( \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \, - \, 1 \right ) \,\,\,\,\,\,\, (15) \)

\(\)

Of anders geschreven:

\(\)

\( \frac{\Delta r}{r_N} = \frac{ \sqrt{1 - \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } } \,\, - \, 1 }{2} \,\,\,\,\,\,\, (16) \)

\(\)

\( \frac{\Delta r}{r_N} = \frac{ \sqrt{1 - \frac{6\, r_s}{r_N} } \,\, - \, 1 }{2} \,\,\,\,\,\,\, (17) \)

\(\)

Dit alles onder de voorwaarden dat r > r_s en \( \frac{12 \mathrm{G}^2 \mathrm{M}^2 \mathrm{m}^2}{\mathrm{L}^2 c^2 } < 1 \).

[Gast]

Je kunt inmiddels bijna een boek schrijven met de antwoorden (of een deel ervan) en te koop zetten

[Professor Puntje]

De voornaamste verdienste van mijn hier gegeven uitwerkingen bestaat - vermoed ik - daarin dat ik met de gebruikelijke SI-eenheden werk, wat voor beginners en amateurs veel beter te volgen is dan de geometrische eenheden die het boek zelf gebruikt. Niet iedereen wil een professional worden, en dan vormen die geometrische eenheden een onnodig obstakel. Voor de rest vind ik Exploring Back Holes veruit het beste semi-populaire boek over de ART dat ik ken.

Er moet ook een pdf bestaan met antwoorden, maar daar is lastig aan te komen. Ik heb dat ergens op internet gelezen, maar ik weet niet meer waar.

[Professor Puntje]

Heeft niemand hier vragen over?

De tweede editie is gratis te downloaden: https://archive.org/details/exploringbl ... s/mode/2up