Oneindige decimale getallen?

[Professor Puntje]

Dan is {a, b, c, ...} * {x, y, z, ...} = {ax, by, cz} dus de eenheid voor vermenigvuldiging is {1, 1, 1, ...} = ...1111. (interessant: dat is de y die ik als noemer gebruikte in het pq-voorbeeld)

Klopt dat wel? Het pl-getal ...11111 komt namelijk niet overeen met de rij 1,1,1,1,... maar met de rij 1, 11, 111, 1111, ...

[Professor Puntje]

Het lijkt me hier interessant om pan(x) te proberen concreet te beschrijven voor
- eindige x
- rationale x
- normale x
en voor elk van die 3 gevallen, pan(x)(z) te beschrijven voor
- eindige z
- rationale z
- normale z
en te kijken wat je krijgt in elk van die 3 x 3 gevallen.

Goed voorstel.

[Professor Puntje]

Ik heb nu ook het lemma over verdichtingspunten aan de pdf toegevoegd waarmee die de actuele stand van de theorie weergeeft. Zie:

LinkseGetallen2

(156.64 KiB) 82 keer gedownload

De volgende stap wordt het onderzoek van eindige, rationale en normale pl-getallen, zoals door Erik Leppen voorgesteld.

[Professor Puntje]

Interessante video over normale reële getallen:

[Professor Puntje]

(9) DEFINITIE. We noemen een pl-getal ...a_n...a₂a₁a₀ precies dan eindig als er een natuurlijk getal N bestaat zodat a_k = 0 voor k > N. Een pl-getal dat niet eindig is noemen we oneindig.

[Professor Puntje]

(10) DEFINITIE. De definitie van de nomenclatuur voor periodieke pl-getallen bestaat uit vier delen:

i. We noemen een pl-getal ...a_n...a₂a₁a₀ precies dan repeterend als er een natuurlijk getal N en een positief natuurlijk getal p bestaan zodat voor alle natuurlijke getallen k en i geldt dat a_N+k.p+i = a_N+i .

ii. Onder de periodestart pest(x) van een repeterend pl-getal x = ...a_n...a₂a₁a₀ verstaan we de kleinste waarde van het natuurlijke getal N zodat er een positief natuurlijk getal p bestaat waarbij voor alle natuurlijke getallen k en i geldt dat a_N+k.p+i = a_N+i .

iii. Onder de periodelengte perl(x) van een repeterend pl-getal x = ...a_n...a₂a₁a₀ verstaan we de kleinste waarde van het positieve natuurlijke getal p zodat voor alle natuurlijke getallen k en i geldt dat a_{pest(x)+k.p+i} = a_pest(x)+i .

iv. Onder de periode van een repeterend pl-getal x = ...a_n...a₂a₁a₀ verstaan we het eindige rijtje cijfers a_pest(x) a_pest(x)+1 a_pest(x)+2 ... a_{pest(x)+perl(x)-1} .

[Professor Puntje]

(11) DEFINITIE. Laat x = ...a_n...a₂a₁a₀ een pl-getal zijn. Voor het gemak noteren we de verzameling van alle eindige rijtjes w = w₀ w₁ w₂ ... w_k van cijfers gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} als \( \mathbb{W} \). Verder schrijven we S(x,w,n) voor het aantal malen dat het rijtje w uit \( \mathbb{W} \) bestaande uit |w| cijfers als deelrij in de (uit x afgeleide) rij van n cijfers a₀ a₁ a₂ ... a_n-1 voorkomt. Tenslotte noemen we x precies dan normaal indien voor alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) van |w| cijfers geldt dat:

\(\)

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{S}(x,w,n)}{n} \,\, = \,\, \frac{1}{10^{|w|} } \)

[Professor Puntje]

(12) DEFINITIE. Laat x = ...a_n...a₂a₁a₀ een pl-getal zijn. Voor het gemak noteren we ook hier de verzameling van alle eindige rijtjes w = w₀ w₁ w₂ ... w_k van cijfers gekozen uit {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} als \( \mathbb{W} \). Dan noemen we x precies dan rijk indien alle rijtjes uit \( \mathbb{W} \) ergens in de uit x afgeleide rij a₀ a₁ a₂ … a_n … voorkomen.

[Professor Puntje]

(13) STELLING. Alle normale pl-getallen zijn ook steeds rijke pl-getallen.

BEWIJS. Laat x = ...a_n...a₂a₁a₀ een normaal pl-getal zijn. We schrijven weer S(x,w,n) voor het aantal malen dat het rijtje w = w₀ w₁ w₂ ... w_k uit \( \mathbb{W} \) bestaande uit |w| cijfers als deelrij in de (uit x afgeleide) rij van n cijfers a₀ a₁ a₂ ... a_n-1 voorkomt. Dan geldt op grond van definitie (11) voor alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) van |w| cijfers dat:

\(\)

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{S}(x,w,n)}{n} \,\, = \,\, \frac{1}{10^{|w|} } \)

\(\)

Er is dan ook een bij x en w horend positief natuurlijk getal N zodat voor alle n > N geldt dat:

\(\)

\( | \frac{\mathrm{S}(x,w,n)}{n} - \frac{1}{10^{|w|} } | < \frac{1}{2 \cdot 10^{|w|} } \)

\(\)

\( - \frac{1}{2 \cdot 10^{|w|} } < \frac{\mathrm{S}(x,w,n)}{n} - \frac{1}{10^{|w|} } < \frac{1}{2 \cdot 10^{|w|} } \)

\(\)

\( \frac{1}{2 \cdot 10^{|w|} } < \frac{\mathrm{S}(x,w,n)}{n} < \frac{3}{2 \cdot 10^{|w|} } \)

\(\)

\( \frac{n}{2 \cdot 10^{|w|} } < \mathrm{S}(x,w,n) < \frac{3 \, n}{2 \cdot 10^{|w|} } \)

\(\)

In het bijzonder geldt dan voor \( n = 2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} \) dat n > N. Waardoor we krijgen:

\(\)

\( \frac{2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} }{2 \cdot 10^{|w|} } < \mathrm{S}(x,w,2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} ) < \frac{3 \cdot 2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} }{2 \cdot 10^{|w|} } \)

\(\)

\( \mathrm{N} < \mathrm{S}(x,w,2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} ) < 3 \mathrm{N} \)

\(\)

Hieruit zien we dat voor een normaal pl-getal x het aantal malen S(x,w,n) dat een rijtje w uit \( \mathbb{W} \) bestaande uit |w| cijfers als deelrij in de (uit x afgeleide) rij van n cijfers a₀ a₁ a₂ ... a_n-1 voorkomt voor het geval dat \( n = 2 \cdot 10^{|w|} \cdot \mathrm{N} \,\, \) steeds een positief natuurlijk getal is. En dit gaat op voor alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \). Dus voor normale pl-getallen x komen alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) ook minstens één maal als deelrij in de bij x horende oneindige rij cijfers a₀ a₁ a₂ ... a_n ... voor. Op grond van definitie (12) volgt dan dat alle normale pl-getallen ook steeds rijke pl-getallen zijn. \( \Box \)

[Professor Puntje]

(14) STELLING. Niet alle rijke pl-getallen zijn normale pl-getallen.

BEWIJS. Het volstaat een voorbeeld te geven van een rijk pl-getal dat geen normaal pl-getal is.

Laat \( (g_i)_{i=0}^{\infty} \) de volgende oneindige rij zijn: 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0, 7, 0, 8, 0, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 4,, ...

Deze rij bevat achtereenvolgens alle eindige decimale rijtjes die hier voor de duidelijkheid vet zijn gedrukt met daar tussengevoegd rijtjes nullen waarbij er steeds precies zoveel nullen zijn tussengevoegd als het direct links daarvan staande eindige decimale rijtje termen (oftewel cijfers) heeft. Het is duidelijk dat alle rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) ergens als deelrij van de oneindige rij \( (g_i)_{i=0}^{\infty} \) voorkomen. Het pl-getal g = ...g_n ... g₂g₁g₀ is dus een rijk pl-getal.

We bekijken nu het rijtje (dat we hier 'u' noemen) bestaande uit slechts één term namelijk 0. De relatieve frequentie \( \frac{\mathrm{S}(\mathrm{g},\mathrm{u},n)}{n} \) van u wordt met ieder rijtje tussen geplaatste nullen op een waarde groter dan of gelijk aan 0,5 teruggezet. De relatieve frequentie van u kan voor n nadert naar oneindig dus niet naar \( \frac{1}{10^{|u|}} = 0,1 \) naderen, wat wel zou moeten als g een normaal getal was. Dus is g geen normaal getal. \( \Box \)

[Professor Puntje]

(15) LEMMA. Voor al de repeterende pl-getallen x = ...a_n...a₂a₁a₀ geldt dat de uit x afgeleide oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) nooit meer dan pest(x) + perl(x) verschillende deelrijtjes w van onderling gelijke lengte |w| uit \( \mathbb{W} \) kan bevatten.

BEWIJS. Laat x = ...a_n...a₂a₁a₀ een repeterend pl-getal zijn en w een rijtje uit \( \mathbb{W} \) . Dan kunnen we x voor pest(x) = r en perl(x) = s ook schrijven als:

... a_r+s-1...a_r+2a_r+1a_r a_r+s-1...a_r+2a_r+1a_r a_r+s-1...a_r+2a_r+1a_r...a₂a₁a₀

De uit x afgeleide oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) wordt dan:

a₀, a₁, a₂, ... , a_r, a_r+1, a_r+2, ... , a_r+s-1, a_r, a_r+1, a_r+2, ... , a_r+s-1, a_r, a_r+1, a_r+2, ... , a_r+s-1, ...

Er zijn oneindig veel indices i waarop je deelrijen w met een gekozen vaste lengte |w| in \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) zou kunnen laten beginnen, maar alleen een start bij één van de indices i=0, 1, 2, ... , r, ... , r+s-1 levert eventueel verschillende deelrijen op. Voor hogere indices krijg je wegens het repeterend zijn van x slechts meer van hetzelfde. Er komen in \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) dus in elk geval niet meer dan pest(x) + perl(x) verschillende deelrijen w met een vaste lengte |w| voor. Het maakt voor dit bewijs ook niet uit hoe groot of klein we de lengte |w| van de deelrijen w kiezen zolang die gekozen lengte maar een positief natuurlijk getal is. \( \Box \)

[Professor Puntje]

Graag weer wat reacties! De theoriebouw gaat nu weliswaar gestaag voort, maar een dergelijke monoloog is niet erg inspirerend...

Bijvoorbeeld: heeft hier iemand een idee hoe je pl-getallen grafisch zou kunnen voorstellen? Is er een of ander alternatief voor de gebruikelijke getallenlijn denkbaar waarop pl-getallen passen? Zoiets zou de intuïtie bij het redeneren over zulke getallen kunnen ondersteunen.

[Professor Puntje]

(16) COROLLARIUM. Geen enkel repeterend pl-getal is een rijk pl-getal.

BEWIJS. Het aantal verschillende rijtjes w uit \( \mathbb{W} \) met lengte |w| is 10^|w|, dus neemt dat aantal exponentieel met de lengte |w| toe. Voor een rijk pl-getal x = ...a_n...a₂a₁a₀ kan er dus geen van |w| onafhankelijke reële bovengrens zijn aan het aantal verschillende rijtjes w van gelijke lengte die als deelrijtje in de uit x afgeleide oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) voorkomen. Maar op grond van lemma (15) weten we dat er voor een repeterend pl-getal x = ...a_n...a₂a₁a₀ wel een van |w| onafhankelijke reële bovengrens bestaat voor het aantal verschillende deelrijtjes van gelijke lengte die in de uit x afgeleide oneindige rij \( (a_i)_{i=0}^{\infty} \) voorkomen. Dus zijn repeterende pl-getallen nooit rijke pl-getallen. \( \Box \)

[Professor Puntje]

(17) COROLLARIUM. Geen enkel repeterend pl-getal is een normaal pl-getal.

BEWIJS. Stel dat er een repeterend pl-getal x bestaat dat tevens normaal is. Dan zou dit repeterende pl-getal x wegens stelling 13 ook een rijk pl-getal zijn. Dus zou er dan een repeterend pl-getal x zijn dat tevens een rijk pl-getal is. Maar dat laatste is volgens corollarium 16 onwaar. Dus is geen enkel repeterend pl-getal een normaal pl-getal. \( \Box \)

[OOOVincentOOO]

Hallo PP,

De wiskunde betreffende het onderwerp is mij als amateur te ingewikkeld. Er komen te veel begrippen en definities voorbij. Zodat het moeilijk is een totaal beeld te krijgen. Laten we maar zeggen een intuitieve voorstelling is moeilijk te vormen met mijn beperkte wiskunde kennis.

Het filmpje kon ik echter goed volgen. Maar zoals vaak met een college die is goed te volgen totdat je het zelf gaat proberen. Het stukje betreffende de divisorfunctie: \(\sigma_{1}\) en normale getallen vond ik interessant, omdat dat aansluit bij mijn eigen project: "Wave Divisor Function".

Wellicht ga ik eens proberen over "normale" getallen in te lezen. Maar voor mij lijkt het een te moeilijk topic.

Hoe ik het nu begrijp in eigen woorden. Stel men normaliseerd ieder getal systeem voor waarden tussen: -min ... + max.. De verwachtingswaarde ligt dan op 0. Een normaal getal kun je zien als een: "random walk / Brownse beweging" waarbij de cumulatieve som/gemiddelde van de cijfers convergeerd naar 0. Let wel op de variantie van Random walk neemt steeds toe zodat numeriek testen erg moeilijk/onmogelijk is. Het grappige is dat voor even getal systemen de verwachtings waarde 0 niet tot de verzameling behoort.