x^n als functie van Combinaties

[tempelier]

Lastig is het omdat hier na te lopen:

Hij zegt o.a. dit:

Tempeller en Xilvo,

De letter "k" die ik in mijn tweede formule gebruik .... is een willekeurig getal.

[Xilvo]

Hij zegt o.a. dit:

Tempeller en Xilvo,

De letter "k" die ik in mijn tweede formule gebruik .... is een willekeurig getal.

Ik zou er niet zonder meer van uitgaan dat hij daarmee ook niet-gehele of negatieve getallen bedoelt.

[tempelier]

Ik ben daar wel van uit gegaan, anders was zijn hele opmerkingen overbodig.

[mathfreak]

Het wiskundig teken “som van “ kan ik niet reproduceren via Word, sorry

Word beschikt over een eigen vergelijkingseditor waaarmee je in Word wiskundige formules kunt samenstellen.
Welke waarden beschouw je voor x? Zijn dat alleen positief gehele waarden?

[Human]

Aan allen,

Effen oppassen wat ik nu schrijf........ mijn studie document is 10 jaar oud.
Ik ben voor x, k en n altijd uitgegaan van de natuurlijke gehele getallen, ook de 0 (nul).
Ik vermoed dat de formule mogelijks ook correct is voor negatieve x ..... als combinaties van negatieve waarden bestaan.

Tem******,
Staat mijn formule in "Wijdemes Middel Algebra " ?
ik meen dat U suggereerde in uw reactie dat dat zo was / is.
Als dat zo is, en U bewijst dat, dan buig ik nederig het hoofd hoor ....... einde verhaal voor het "nieuw" of "niet nieuw".

Ik wacht op een bewijs van juistheid van de hoofdformule en de voorlopig twee bijkomende formules.
vooraleer is verder ga met de vierde bijkomende formule en de vijfde "stelling"

[Human]

OOOVincentOOO

U was al een heel eind op weg met een bewijs.
U stelde zich enkel nog vragen hoe ik aan de "verschillen" kwam meende ik uit te maken uit uw reactie.
Heel graag uw hoog gewaardeerde analyse / bewijs tot nu toe.

Bij voorbaat van harte dank.

[OOOVincentOOO]

Met een beetje gepuzzel en wat hulp van Wolfram Alpha kom ik op het volgende (ik snap niet helemaal waarom WA de som neemt tot oneindig) ik neem hem gewoon tot de maximale term:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 5En+series

$$x^{n}= \sum_{a=0}^{n} {n \choose a}(-1+x)^{a}$$

Verder uitbouwen:

$$x^{n}= \sum_{a=0}^{n} {n \choose a} \sum_{b=0}^{c} {a \choose b} (-2+x)^{b}$$

En verder:

$$x^{n}= \sum_{a=0}^{n} {n \choose a} \sum_{b=0}^{c} {a \choose b} \sum_{c=0}^{d} {b \choose c} (-3+x)^{c}$$

Dit kan men blijven herhalen tot:

$$x^{n}= \sum_{a=0}^{n} {n \choose a} \sum_{b=0}^{c} {a \choose b} \sum_{c=0}^{d} {d \choose c} ... \sum_{a_p=0}^{c_p} {d \choose e} (-q+x)^{a_p}$$

...

Volgens mij moet op een of andere manier Uw series verband houden met hetgeen ik heb gevonden. Maar ik weet nog niet precies hoe. Daar moet ik over nadenken. Maar anderen zijn wellicht handiger en sneller dan ik.

In plaats van \(x\) kan men ook schrijven: \(x=a+b\) om de binomiaal formule te verkrijgen:

$$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k}b^{(n-k)}$$
$$x^{n}=\left(\frac{x}{2} +\frac{x}{2} \right)^{n}= \frac{x^{n}}{2^{n}} \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1+x)^{k} $$

Dit zijn alle aanwijzingen wat ik tot dusver heb.

Ik heb er wel nog naar gekeken, Maar die geneste binomiaal structuur is moeiljk te begrijpen. Ik heb in de formules niet alle haakjes geschreven anders word het volledig onleesbaar. Algebra heb ik jaren niet meer getrained of geoefend. Dus het gaat erg langzaam.

nb. Uit Uw berichten kon ik vanaf de eerste post opmaken dat U het heeft over natuurlijke getallen. Ondanks U niet alles perfect omschrijft was dit op te maken uit Uw berichten met o.a. FLT.

Misschien dat ik komende dagen nog wat probeer.

[Professor Puntje]

Het is een lastige formule om te bewijzen. Ik heb het net ook even geprobeerd maar kwam er niet uit. Misschien probeer ik het later nog eens...

[tempelier]

Aan allen,

Effen oppassen wat ik nu schrijf........ mijn studie document is 10 jaar oud.
Ik ben voor x, k en n altijd uitgegaan van de natuurlijke gehele getallen, ook de 0 (nul).
Ik vermoed dat de formule mogelijks ook correct is voor negatieve x ..... als combinaties van negatieve waarden bestaan.

Tem******,
Staat mijn formule in "Wijdemes Middel Algebra " ?
ik meen dat U suggereerde in uw reactie dat dat zo was / is.
Als dat zo is, en U bewijst dat, dan buig ik nederig het hoofd hoor ....... einde verhaal voor het "nieuw" of "niet nieuw".

Ik wacht op een bewijs van juistheid van de hoofdformule en de voorlopig twee bijkomende formules.
vooraleer is verder ga met de vierde bijkomende formule en de vijfde "stelling"

Dat staat hij niet.
Wel een andere formule voor berekeningen van rekenkundig rijen/reeksen van hogere orde.
xⁿ is tot zo'n rij/reeks te herleiden zoals je zelf al had gevonden.

[Human]

Ik val wellicht in herhaling maar de agebraische spitsvondigheid die ik toepaste was dat ik de "oneindige" rij "eerste verschillen" uitdrukte als functie van de "eindige" rij "basisverschillen" (de eerste schuine kolom)
Deze "eindige " rij "basis verschillen" zijn UNIEK voor elke macht.

tempeller,

Het boek heb ik niet maar die staat te koop op Marktplaats.
Ik vermoed dat U die heeft.
Op welke bladzijde aub ?

[tempelier]

De bladzijde geven heeft geen zin.
Dat komt omdat er verschillende drukken zijn die nogal afwijken.

In mijn druk is het hoofdstuk 4 waar deze rijen/reeksen worden behandeld.

[Professor Puntje]

Net even gekeken, dat hoofdstuk zou voor dit topic inderdaad interessant kunnen zijn.

[Human]

Tempeller,

Het is geen reeks ... maar een formule voor x^n

Professor Puntje,

Kan een paar foto's of een paar scans aub

[Professor Puntje]

Ik denk nu dat we het beter in de richting van pseudo-machten kunnen zoeken. Zie: http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/ ... wtbi46.pdf

Je kunt de formule zodanig herschrijven dat x^m gelijk wordt gesteld aan een polynoom in pseudo-machten. Helaas kan ik over pseudo-machten verder niet erg veel vinden...

[Professor Puntje]

Als iemand hier nog een tip heeft voor een boek over discrete wiskunde of combinatoriek waarin pseudo-machten uitgebreid behandeld worden dan hoor ik dat graag. Dat zou voor dit topic ook interessant zijn.