Kansrekening

[EvilBro]

Ik doe jouw experiment en ja je hebt gelijk.

Nee, dat heeft hij niet. Je maakt iets anders van zijn experiment dan dat er staat. Lees nog maar eens goed wat hier staat.

[PeterPan]

Er komt een meisje aan de deur. Dat houdt in dat de hoeveelheid informatie toeneemt.

En dat houdt weer in dat de kansen op jongen/meisje onmogelijk gelijk kunnen zijn. (*)

Bewijs: 2-de alinea van bericht #80. Kans is 1/3.

Uitzondering op (*) is, als de persoon die open doet en de persoon die niet open doet onafhankelijk zijn.

In dat geval neemt de informatie niet toe en had net zo goed een paard open kunnen doen.

Deze situatie komt overeen als we in de 2-de alinea van bericht #80 veronderstellen dat het gezin uit 50000 dochters en evenzoveel zonen bestaat en daarvan twee thuis zijn. Deze interpretatie is ook aanvaardbaar maar heeft niet mijn voorkeur. Kans is nu 1/2.

[EvilBro]

Er komt een meisje aan de deur. Dat houdt in dat de hoeveelheid informatie toeneemt.

Nee, tenminste, de hoeveelheid informatie over het andere kind neemt niet toe. Op het moment dat ik zeg dat mijn oudste kind een dochter is dan zegt dat helemaal niks over mijn jongste. Dat een meisje de deur open doet zegt op precies dezelfde wijze niks over het andere kind. De informatie die je krijgt gaat namelijk over het specifieke kind (dat de deur open doet), niet over het paar. Op het moment dat ik zeg dat ik twee kinderen heb en dat een daarvan een meisje is dan zeg ik wel iets over het paar.

Snap je java wel?

Code: Selecteer alles

public class Test {

/**

 * @param args

 */

public static void main(String[] args) {

int N = 1000000;

// code van EvilBro.

// meeste commentaar rechtstreeks uit PeterPan's post nummer 74.

int aantalJongens = 0;

int aantalMeisjes = 0;

for (int i = 1; i <= N; i++) {

// Neem 2 identieke munten.

long munt1 = Math.round(Math.random()); // 0 = kop, 1 = munt

long munt2 = Math.round(Math.random()); // 0 = kop, 1 = munt

// Kies willekeurig een van de munten uit...

long keuze = 1 + Math.round(Math.random()); // 1 = munt1, 2 = munt2

if (keuze == 1) {

// EvilBro: je gaat munt1 als eerste bekijken.

if (munt1 == 0) {

// Is het kop (meisje), noteer dat de beeltenis van de andere munt.

if (munt2 == 0) {

aantalMeisjes++;

} else {

aantalJongens++;

}

} else {

// Is het echter munt (jongen), dan doe je niets.

}

} else {

// EvilBro: je gaat munt2 als eerste bekijken.

if (munt2 == 0) {

// Is het kop (meisje), noteer dat de beeltenis van de andere munt.

if (munt1 == 0) {

aantalMeisjes++;

} else {

aantalJongens++;

}

} else {

// Is het echter munt (jongen), dan doe je niets.

}

}

// Herhaal dit vele malen. 

// EvilBro: We doen 1000000x.

}

System.out.println("aantal keer dat het niet opendoende kind een meisje was = " + aantalMeisjes);

System.out.println("aantal keer dat het niet opendoende kind een jongens was = " + aantalJongens);

// Je zult zien dat je 2 maal zo veel munt genoteerd hebt dan kop.

System.out.println("" + (100*aantalMeisjes)/(aantalMeisjes + aantalJongens) + "%. Deal with it!");

}

}

[PeterPan]

Even je programma gedraaid. Resultaat:

aantalMeisjes = 250249

aantalJongens = 249608

(100*aantalMeisjes)/(aantalMeisjes + aantalJongens) = 50,064

Dat lag ook in de verwachting. Het programma simuleert de volgende interpretatie:

Stel een stad telt 250000 jongens en 250000 meisjes. De jongens heten A, B, ... , de dochters a,b, ....

2 van die jongeren zijn in een zeker huis.

Met gelijke kans zijn dat:

AB, AC, ...Aa, Ab, ... BA, BC, ..., Ba, Bb, ... enz. enz.

Een meisje doet open.

Stel a doet open, dan bevindt zich in de kamer met gelijke kans A,B,..b,c ...

Stel b doet open, dan bevindt zich in de kamer met gelijke kans A,B,...,a,c,...

...

De kans dat je een meisje in de kamer aantreft 249999/499999. (bijna 1/2).

Andere interpretatie:

Stel een gezin heeft 2 zonen en 2 dochters, De zonen heten A en B, de dochters a en b.

2 van de 4 kinderen zijn naar de film, 2 zijn thuis gebleven.

Wie zijn thuis gebleven? Met gelijke kans:

Aa, Ab,AB,Ba,Bb,ab

Een meisje doet open.

Stel a doet open, dan bevindt zich in de kamer met gelijke kans A,B,b

Stel b doet open, dan bevindt zich in de kamer met gelijke kans A,B,a

In beide gevallen (die met gelijke kans kunnen optreden) is de kans dat je een meisje in de kamer aantreft 1/3.

[EvilBro]

(100*aantalMeisjes)/(aantalMeisjes + aantalJongens) = 50,064

Dat lag ook in de verwachting.

Je zult zien dat je 2 maal zo veel munt genoteerd hebt dan kop.

Go fool the other one...

[pomonoli]

In dit geval zou ik zeggen dat er al gegooid is. De setjes liggen klaar, en van één setje zie je er één.

Van de vier setjes kk, mm, km en mk zijn er drie die minstens één "m" bevatten. In twee van die gevallen zit er nog een k-tje achter, in één geval een m-etje.

als je van de vier setjes er willekeurig één uitkiest en er daarvan één omdraait, heb je in de helft van de gevallen een m-etje te pakken. En daarna heb je dan 50 % kans dat je, als je de tweede ook omdraait, ook een m-etje vindt.

Dit klopt niet, want als je die 4 setjes hebt en de eerste is k, dan zijn er 2 setjes over: kk en km. Kies er daar willekeurig 1 van uit en dan heb je 50% kans op k en 50% op m

[pomonoli]

Ik denk dat Cassanne en ik ons moeten neerleggen bij de wijze waarop dit soort zaken in de kansrrekening meestal wordt geïnterpreteerd. Maar ik blijf ongelukkig met deze zaak. Jullie zeggen dat in een jongetje-meisje huis de kans dat een meisje opendoet 50 % is. Cassanne en ik zeggen dat die kans er niet toe doet, omdat gegeven is dat er een meisje voor mijn neus staat, zodat de kans dat ik voor elk van de drie huizen met minstens een meisje sta al op voorhand 100 % is.

en deze klopt helemaal niet:

als je 4 huizen hebt: j-j, m-m, j-m en m-j.

Dan zijn er 2 opties:

Optie 1: j-m is hetzelfde als m-j, in dit geval zijn er 2 opties over ipv 3 wanneer een meisje opendoet en dat geeft een kans van 50%.

Optie 2: j-m is niet hetzelfde als m-j, dan is het verschil tussen de 2 dat bij m-j het meisje opendoet en bij j-m de jongen opendoet. Dit wil zeggen dat als een meisje opendoet er geen mogenlijkheid meer is op j-m, dus valt hier OOK een optie weg waardoor de kans OOK 50% is.

De kans is dus ALTIJD 50%.

Persoonlijk kan ik er gewoon al niet bij dat jullie j-m en m-j als verschillende opties zien. Behalve als het afhangt van de leeftijd, maar dan zijn de opties: M-m, m-M, J-m, M-j, J-j en j-J (met de oudste als hoofdletter) en dan kom je ook bij 50% uit.

[tomvdhoven]

In een huis wonen twee kinderen. Je weet niet van welk geslacht. Je belt aan en een meisje doet open, hoeveel is de kans dat het andere kind ook een meisje is?

Dit is de stelling.

Er is geen enkel verband tussen het meisje dat opendoet en het tweede kind. Het enige wat word gevraagd is wat het geslacht van het 2e kind, geen enkel verband tussen het 1e en 2e kind. Daarom is het 50% kans dat het een meisje is.

Dit is dus oplosbaar door logisch na te denken.

[hanzwan]

dit is een oud topic,

we werken met een gereduceerd kansmodel, dat wil zeggen dat we bepaalde mogelijkheden eruit halen omdat we met een conditionele kans werken ( P(M2|M1)

Het oude kansmodel, dwz, de mogelijkheden mochten we nog geen conditionele informatie hebben ziet er als volgt uit:

M , M =1/4

M, J = 1/4

J, M = 1/4

J, J =1/4

We weten dat er 1 meisje is, echter, we weten niet of het meisje het jongste of het oudste meisje is, we zouden dus de mogelijkheden kunnen opschrijven als combinaties waarin ook nog is het meisje dat we kiezen varieert.

mm*, m*m, jm* , m*j

In situatie m*m, zijn er 2 meiden en hebben we de oudste aan de deur gekregen. In de situatie jm* is er maar 1 meisje en is ze jonger, we hebben haar aan de deur gekregen.

waarbij mm* + m*m= 1/4

jm* = m*j=1/4



Conditionele Kans regels:

P(M2|M1) = P(M2M1) /P(M1) <---P(M2|M1) niet lezen als: de kans dat het jongere/oudere ook meisje is maar: lezen als:

De kans dat als we er 1 weten de ander ook...

= 1/4 / 3/4 <---- De kans dat er 1 meisje in de groep zit is namelijk 3/4de

=1/3

Dus het goede antwoord lijkt mij inderdaad 1/3, maar misschien interpreteer ik de vraag verkeerd.

@TomvdHoven,

dit is het probleem waar veel mensen de fout in gaan bij conditionele kansrekening. Er zit namelijk wel een verband tussen de kennis die we hebben over het gezin en de verwachting van het 2de kind (in iedergeval in deze vraag)

Van te voren , als we niks weten over beide kinderen zouden we kunnen zeggen dat JM, MJ, MM, JJ alle 4 even waarschijnlijk zijn, als we niet letten op volgorde zouden we zelfs kunnen zeggen dat de kans op 1 jongen en 1 meisje groter is dan MM of JJ (dubbel zo groot). Maar, zodra we weten dat er 1 een meisje is dan verandert ons model, we hebben namelijk extra informatie gekregen, deze informatie verteld ons dat 1 van de 4 mogelijkheden die ik zojuist heb opgeschreven, niet meer mogelijk is , het kan namelijk niet meer zo zijn dat beide kinderen jongens zijn. Dus 'moet' er wel iets met onze kans gebeurt zijn dat het 2de kind ook een meisje is. Dit is de hele insteek van de conditionele kans en hierboven heb ik dit uitgerekend.

[Zieleleek]

Tomvdhoven heeft gelijk als het gaat om twee kinderen die geen familie (hoeven te) zijn. Maar dat is wat te makkelijk; het gaat om zusjes/broertjes. Het (vaak genoemde) juiste antwoord is 1/2. Zet een kopje koffie en lees dit hele topic maar eens

[hanzwan]

Zoals ook PeterPan al zei ligt het goede antwoord aan de manier waarop de vraag wordt geïnterpreteerd/geformuleerd.

Zowel 1/3de als 1/2de is afhangende van de situatie goed. Gebaseerd op de vraagstelling ben ik geneigd voor 1/3de te kiezen. Omdat ik de kans 1/2de , gebaseerd op de manier waarop de vraag gesteld is, waarbij er gegeven wordt dat we 1 kind al weten, 'lelijk' vindt. Gezien de mogelijke antwoorden waar de topic starter uit kon kiezen zou ik uiteindelijk voor 1/2de kiezen, niet omdat het per se juist is maar omdat er in ieder geval nog een model geformuleerd kan worden waar 1/2de als antwoord uit komt rollen. Echter, om ervan overtuigd te zijn dat dat het correcte model is had de vraag in mijn ogen duidelijker/anders geformuleerd moeten worden.

[EvilBro]

Zoals ook PeterPan al zei ligt het goede antwoord aan de manier waarop de vraag wordt geïnterpreteerd/geformuleerd.

En gegeven de formulering zoals die in de eerste post is, is het antwoord 50%.

Zowel 1/3de als 1/2de is afhangende van de situatie goed. Gebaseerd op de vraagstelling ben ik geneigd voor 1/3de te kiezen.

En dat is fout. Gezien de lengte van dit onderwerp ga ik niet meer proberen iemand te overtuigen. Het is immers al diverse malen door diverse mensen uitgelegd. Die mensen die willen blijven volhouden dat het 1/3 moet zijn, moeten zich maar eens afvragen waarom het juiste antwoord dan niet bij de antwoordmogelijkheden zit (en deze vraag komt waarschijnlijk uit officiele lesstof, dus je mag je dan ook afvragen waarom dit nog nooit gecorrigieerd is).

[tomvdhoven]

@hanzwan Waar zie jij het verband tussen de twee kinderen dan? Het enige verband ertussen is dat ze allebei in hetzelfde huis zitten volgens mij

[kee]

Dit soort dingen blijft wel voor discussie en verwarring zorgen. Er was enkele weken geleden weer een dergelijke vraag verschenen http://sciencetalk.nl/forum/index.php?showtopic=143678 waar ik blijkbaar degene was die een beetje moeilijk deed, maar wel terecht volgens mij.

Toch nog even voor de vraag in dit topic:

Aannames:

1) Er staat in de vraag "In een huis wonen twee kinderen. Je belt aan en een meisje doet open." Gezien het vervolg van de vraag met "het andere kind" bedoelen ze "Je belt aan bij een huis. Op dat moment bevinden zich in het huis precies twee personen, namelijk twee kinderen."

2) Een kind doet de deur open, het andere kind blijft 'onzichtbaar'. Elk van de kinderen doet met gelijke kans de deur open.

3) De kans dat de kinderen in het huis twee jongens zijn is 25%, de kans op een meisje en een jongen is 50%, de kans op twee meisjes is 25%.

Dan:

"Er doet een meisje open".

Om welke situaties gaat het nu? De situaties met twee jongens valt af. Van de situaties met een meisje en een jongen valt de helft af, gezien beide kinderen met gelijke kans opendoen. De situaties met twee meisjes blijven allemaal geldig. Van de situaties waarbij een meisje opendoet is nu 50% M-J en 50% M-M, dus 50% kans dat het andere kind ook een meisje is.

[sjasogun1]

Ik zit op het moment zelf met een vergelijkbaar probleem. Volgens mij, een wiskundedocent en een natuurkundedocent komt er 50% uit, maar een andere natuurkundeleraar beweert dat het 66 2/3% moet zijn. Hier is het probleem.

Je hebt 3 doosjes die elk 2 bonbons bevatten. Doos 1 bevat 2 pure bonbons, doos 2 bevat 2 witte bonbons en doos 3 bevat zowel een pure als een witte bonbon.

Je pakt willekeurig een doos een neemt er willekeurig een bonbon uit. Deze bonbon blijkt wit te zijn. Wat is de kans dat de andere bonbon in de doos ook wit is?

Mijn redenatie gaat uit van een experiment dat dit toetst omdat het in die situatie gemakkelijker in te zien is dat het antwoord 50% moet zijn. Neem 2 dozen die elk 1 kleinere doos bevatten, samen met een witte bonbon die los in de doos ligt. Neem willekeurig een van de twee dozen. De eerste bonbon is sowieso wit. Als je het kleinere doosje openmaakt is het ofwel een witte ofwel een pure bonbon. De kans is dus 50%.

Een van mijn natuurkundedocenten redeneert anders. Hij heeft een boomgrafiek opgesteld waaruit een kans van 66 2/3% komt. Hieronder de kansboom.



Een van ons maakt onvermijdelijk een denkfout, maar wie van ons? En wat is de fout?