Transitieve logica

[theoriegeladen]

Ik vraag me af of uit de samengestelde propositie: "als A, dan B" een C is af te leiden zonder deze direct zelf te poneren.

[mathfreak]

Stel A⇒B = D, dan geldt volgens het principe ex falso sequitur quodibelet dat ¬D⇒(D⇒C). Het is dus mogelijk om, als A⇒B niet waar is, een willekeurige propositie C te poneren zodat (A⇒B)⇒C.

[ypsilon]

ex falso sequitur quodibelet

Ex falso quodlibet =D>

Stel A⇒B = D, dan geldt volgens het principe ex falso sequitur quodibelet dat ¬D⇒(D⇒C). Het is dus mogelijk om, als A⇒B niet waar is, een willekeurige propositie C te poneren zodat (A⇒B)⇒C.

Je uitleg verwart me nogal. Het Ex falso stelt dat als D én ¬D waar zijn elke C afgeleid kan worden, of dus ¬D⇒(D⇒C). Op zich betekent ¬D niet dat elke C geponeerd kan worden. Dat is alleen als A⇒B tegelijk waar en onwaar is.

Als A⇒B waar is en het tegendeel onwaar, kun je daar niet zomaar een C aan toevoegen.

[Phys]

Ex falso quodlibet =D>

Hoezo?

Volgens de Engelse Wiki kan het beide

The principle of explosion is also known as ex falso quodlibet, ex falso sequitur quodlibet (EFSQ for short), ex contradictione (sequitur) quodlibet (ECQ for short), and ex falso/contradictione (sequitur) (Latin: "from falsehood/contradiction (follows) anything", literally "... what pleases").

[mathfreak]

Ex falso quodlibet =D>

Dat was inderdaad de juiste uitdrukking.

Je uitleg verwart me nogal. Het Ex falso stelt dat als D én ¬D waar zijn elke C afgeleid kan worden, of dus ¬D⇒(D⇒C). Op zich betekent ¬D niet dat elke C geponeerd kan worden. Dat is alleen als A⇒B tegelijk waar en onwaar is.

Als A⇒B waar is en het tegendeel onwaar, kun je daar niet zomaar een C aan toevoegen.

Veronderstel dat A waar is en B onwaar, dan is A⇒B, dus D onwaar. In dat geval volgt uit D iedere willekeurige C. Ik had er inderdaad bij moeten vermelden dat je daar van uitging.

[ypsilon]

Veronderstel dat A waar is en B onwaar, dan is A⇒B, dus D onwaar. In dat geval volgt uit D iedere willekeurige C. Ik had er inderdaad bij moeten vermelden dat je daar van uitging.

Maar opnieuw: op zich volgt er geen willekeurige C uit de onwaarheid van D. Daarvoor moet D tegelijk ook waar zijn.

[Phys]

't Ging me niet om de "sequitur"

Ah, nu zie ik het pas =D>

[mathfreak]

Maar opnieuw: op zich volgt er geen willekeurige C uit de onwaarheid van D. Daarvoor moet D tegelijk ook waar zijn.

Dat is in strijd met de wet van de uitgesloten derde, die stelt dat een bewering slechts waar of niet waar kan zijn, maar niet beide. Volgens mijn woordenboek Filosofie is ¬A⇒(A⇒B) een welgevormde uitdrukking die geldig is in de klassieke logica, met de toevoeging "als A onwaar is, dan volgt uit A iedere willekeurige B". Dit betekent dus dat ¬A waar moet zijn.

[ypsilon]

Ik zag net toen ik het postte dat ik zelf slordig was, maar er liep iets fout en ik kon niet meer wijzigen. Je had natuurlijk gelijk met de formulering in je laatste bericht: Als D onwaar is, volgt uit D eender welke C (i.e. volgt uit het voor waar aannemen van D dat eender welke C ook voor waar aangenomen moet worden).

[theoriegeladen]

Ik heb even gezocht op wiki. Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt. En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

[ypsilon]

Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt.

Het is geen axioma, het ex falso kan bewezen worden, en is ook intuïtief begrijpbaar. Als je een onwaarheid voor waar aanneemt, kun je bewijzen wat je wil. Dat wordt (voor D gegeven) uitgedrukt door:

¬D⇒(D⇒C)

Het enige wat hier gebeurd is, is het toepassen van dit principe nadat we A⇒B gelijkgesteld hebben aan D.

Als we dan dit krijgen:

A

¬B

Dan volgt daaruit dat A⇒B onwaar is (want als A, dan altijd B) en dus is D onwaar (en dan gewoon het ex falso toepassen).

En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

Let op! Als (A⇒B) = D dan is D niet noodzakelijk onwaar als ¬A en B.

[mathfreak]

Ik heb even gezocht op wiki. Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt. En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

De implicatie A⇒B, die ik gemakshalve D heb genoemd, is alleen onwaar als A waar is en B onwaar. In alle andere gevallen is A⇒B dus altijd waar, zelfs als A en B beide onwaar zijn. Jouw vraag was of je uit A⇒B een C kon afleiden zonder deze zelf te poneren. Het antwoord luidt: ja, mits A⇒B onwaar is, dus mits A waar en B onwaar is.

[theoriegeladen]

Het is geen axioma, het ex falso kan bewezen worden, en is ook intuïtief begrijpbaar. Als je een onwaarheid voor waar aanneemt, kun je bewijzen wat je wil. Dat wordt (voor D gegeven) uitgedrukt door:

Ok. Was er al bang voor dat dit niet het goede woord was voor wat ik bedoel. Maar hoe heet een dergelijke propositie dan en hoe pas je die toe? Wat bepaalt wanneer wij deze regel mogen toepassen of mogen wij dat naar believen zelf bepalen?

De regel is in kwestie is dus: ¬D-->D-->C

Let op! Als (A⇒B) = D dan is D niet noodzakelijk onwaar als ¬A en B.

Omdat er meer atomen zijn die mbv B D kunnen impliceren?

De implicatie A⇒B, die ik gemakshalve D heb genoemd, is alleen onwaar als A waar is en B onwaar.

Dus als B waar is, is D altijd waar? Als ¬A dan is de redenering toch ook onwaar?

[ypsilon]

Ok. Was er al bang voor dat dit niet het goede woord was voor wat ik bedoel. Maar hoe heet een dergelijke propositie dan en hoe pas je die toe? Wat bepaalt wanneer wij deze regel mogen toepassen of mogen wij dat naar believen zelf bepalen?

Je kan dit altijd toepassen (of het zin heeft is een andere vraag). Een heel eenvoudig voorbeeld is: Ik kan niet vliegen (dit is ¬D). Als we nu even aannemen dat ik wél kan vliegen (D), dan kunnen we ook aannemen dat ik vuur kan spuwen ( C ).

De regel is in kwestie is dus: ¬D-->D-->C

Let op met de notatie. Hier lijkt te staan "Als ¬D dan D, als D dan C".

Terwijl de regel stelt "Als ¬D, dan volgt (elke willekeurige) C uit D".

Omdat er meer atomen zijn die mbv B D kunnen impliceren?

Dit snap ik niet... Waar tover je die atomen plots vandaan?

Dus als B waar is, is D altijd waar? Als ¬A dan is de redenering toch ook onwaar?

Dit is gewoon een toepassing van een paar logische basisregels. Wat we gedaan hebben is (A⇒B) herschreven als D. Dat komt op hetzelfde neer als (2x3) vervangen door 6. Als (A⇒B) vals is, is D dat ook. En (A⇒B) is alleen vals als A optreedt en B niet.

Vervang gewoon door een zin met inhoud i.p.v. de symbolen, dan wordt het vast duidelijker:

"Als je mijn hoofd afkapt (A), ben ik dood (B)."

Dit is een regel die geen uitzonderingen toelaat. Ik kan echter wél dood gaan (B) zonder dat je mijn hoofd afkapt (¬A). Als dat geobserveerd wordt, wordt de regel daardoor nog niet weerlegd.

Ik kan niet blijven leven (¬B) als als je mijn hoofd afkapt (A). Als je dat toch zou observeren, dan klopt de redenering niet.

Wordt het al helder?

Verborgen inhoud

Ik ging eerst het voorbeeld plaatsen "Als het regent, ben ik nat", maar dan beginnen mensen er paraplu's en bushokjes bij te sleuren en dan moet je nog beginnen uitleggen dat die zich niet logisch laten uitdrukken etc.

@mathreak: Als je me nog op fouten/slordigheden zou betrappen, geef een gil. Ik ben niet super onderlegd in logica, dus het wil nogal eens voorkomen.

[Phys]

Verborgen inhoud

Ik ging eerst het voorbeeld plaatsen "Als het regent, ben ik nat", maar dan beginnen mensen er paraplu's en bushokjes bij te sleuren en dan moet je nog beginnen uitleggen dat die zich niet logisch laten uitdrukken etc.

Verborgen inhoud

Alternatief: 'als ik in de zee spring, word ik nat'.