Maximale kardinaliteit op één dimensie

[Vladimir Lenin]

Ik zit met volgende vraag

Is het mogelijk om meer dan aleph1 op een dimensie te krijgen of niet

met andere woorden bestaat er zoiets als superrëele getallen met een kardinaliteit van aleph2 of hoger

als je immers de reële getallen zou schalen met aleph1 zou je weer een discrete waarde moeten uitkomen of niet

Op het internet is er precies niet veel over te vinden

de vraag dus: bestaan er supercontinue getallen

[Bartjes]

Supercontinue getallen (in de zin van "dichtere" opvullingen van de getallenlijn) bestaan zeker, en wel in verschillende soorten en maten. Onderstaand twee bekende vormen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers

Maar voor je vraag over de machtigheid van de reële getallen zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

[PeterPan]

Ja volgens Bartjes, nee volgens Dedekind.

[Bartjes]

Ja wat? En nee wat?

[TD]

Is het mogelijk om meer dan aleph1 op een dimensie te krijgen of niet

Let wel: de kardinaliteit van is

\(2^{\aleph_0}\)

, het is "nog maar de vraag" of dit

\(\aleph_1}\)

is (CH).

[Vladimir Lenin]

Nou of je het nu aleph1 noemt of [wiki=en]beth number[/wiki] doet er op zich niet veel toe, de vraag is meer of er getallen zijn die dichtere opvulling hebben, dus van een orde groter zijn daar

\(\aleph_1^2=\aleph_1\)

kan je niet zeggen dat complexe getallen dichter gespreid zijn, ze zijn alleen een dimensie hoger.

[TD]

Nou of je het nu aleph1 noemt of [wiki=en]beth number[/wiki] doet er op zich niet veel toe

Dan wordt het wel verwarrend, want met aleph's duiden we iets anders aan dan met beth's.

[Vladimir Lenin]

Ik zie het verschil niet, kan iemand dat eens uitleggen

aleph en beth zijn toch orders in oneindigheid

[TD]

\(\aleph_0 = \beth_0\)

maar dan houdt het op, tenzij je de (veralgemeende) continuümshypothese aanneemt, dan ook nog voor 1 (of alle ordinalen).

De kardinaliteit van is

\(2^{\aleph_0} = \beth_1\)

, maar dit is (zonder CH) niet zomaar

\(\aleph_1\)

.

[PeterPan]

Wat bedoel je met 1 dimensie? Er is een een-eenduidig verband tussen punten op een lijn en de verzameling van reële getallen. Als je met 1 dimensie bedoelt een totaal geordende verzameling (dwz alle "getallen" liggen als een ketting geordend), dan kan ik je melden dat ELKE verzameling totaal te ordenen is.

[Vladimir Lenin]

Wel de complexe getallen zijn bijvoorbeeld een verzameling van

\(\aleph_1\)

als je aanneemt dat

\(\#\rr=\aleph_1\)

want

\(\aleph_1^2=\aleph_1\)

maar dan in twee dimensies (het complex vlak dus). We zien dus dat

\(\rr\subset\cc\)

maar dat soort generalisatie bedoel ik niet, ik zou willen weten of er een generalisatie bestaat die gewoon de getallen dichter spreidt.

[TD]

Wel de complexe getallen zijn bijvoorbeeld een verzameling van

\(\aleph_1\)

als je aanneemt dat

\(\#\rr=\aleph_1\)

Ik snap niet waarom je dat toch zou aannemen, dat maakt het alleen verwarrend. De kardinaliteit ís

\(2^{\aleph_0}\)

of als je dat lang vindt om te noteren, is "c" ook gebruikelijk. Het is net een subtiliteit of dit ook

\(\aleph_1\)

is.

[Vladimir Lenin]

Ik snap niet waarom je dat toch zou aannemen, dat maakt het alleen verwarrend. De kardinaliteit ís

\(2^{\aleph_0}\)

of als je dat lang vindt om te noteren, is "c" ook gebruikelijk. Het is net een subtiliteit of dit ook

\(\aleph_1\)

is.

Ok dan, de cardinaliteit van de complexe getallen is

\(\left(2^{\aleph_0}\right)^2=2^{2\aleph_0}=2^{\aleph_0}\)

Ik zoek het bestaan van een generalisatie in de vorm van

\(2^{2^{\aleph_0}}\)

waarbij de kardinaliteit dus echt verandert en niet in een dimensie hoger gaat.

[317070]

Ok dan, de cardinaliteit van de complexe getallen is

\(\left(2^{\aleph_0}\right)^2=2^{2\aleph_0}=2^{\aleph_0}\)

Ik zoek het bestaan van een generalisatie in de vorm van

\(2^{(2^{\aleph_0})}\)

waarbij de kardinaliteit dus echt verandert en niet in een dimensie hoger gaat.

De klasse/verzameling die alle verzamelingen bevat die enkel reële getallen bevatten, heeft bijvoorbeeld kardinaliteit

\(2^{(2^{\aleph_0})}\)

. Bedoel je dit? Ik kan er wel niet meteen een ordening voor bedenken...

[PeterPan]

Je kunt de getallen in

\(\cc\)

als volgt ordenen:

\(x<y\)

als

\(\Re(x)<\Re(y) \vee (\Re(x)=\Re(y) \wedge \Im(x)<\Im(y))\)

.

Met de juiste projectie op de rechte lijn, die ik nu maar

\(\rr\)

zal noemen, kun je

\(\cc\)

inbedden in

\(\rr\)

.

De notatie

\(2^{2\aleph_0}\)

gebruik ik alleen als ik de lolbroek wil uithangen.

\(2^{\aleph_0}\)

is een symbolische uitdrukking.