Ordinale getallen voorbij de welordening van r?

[Bartjes]

Een vraag waar ik nog mee zit is het volgende:

Je kan de verzameling der reële getallen welordenen. Er zou dus een ordinaal getal mee moeten corresponderen. Of niet?

Met andere woorden:

Loopt de rij ordinaal getallen voort voorbij het ordinaal getal dat het ordetype van een welordening van de verzameling der reële getallen aangeeft?

[PeterPan]

De verzameling

\(\rr\)

is niet welgeordend.

Voor een welgeordende verzameling geldt dat elke deelverzameling een kleinste element heeft.

De verzameling der ordinaalgetallen is overaftelbaar (gelijkmachtig met

\(\rr\)

).

Elk beginstuk uit die verzameling (dwz elke deelverzameling daarvan met een bovengrens) is echter aftelbaar.

[Bartjes]

De verzameling

\(\rr\)

is niet welgeordend.

Voor een welgeordende verzameling geldt dat elke deelverzameling een kleinste element heeft.

Daarom schreef ik ook dat

\(\rr\)

welgeordend kan worden. Dat vereist dus een andere ordening dat die de reële getallen als reële getallen al toekomt.

[PeterPan]

Je kan de verzameling der reële getallen welordenen. Er zou dus een ordinaal getal mee moeten corresponderen. Of niet?

Zoals ik al zei zou

\(\rr\)

dan aftelbaar moeten zijn.

[Bartjes]

Zoals ik al zei zou

\(\rr\)

dan aftelbaar moeten zijn.

Het staat je natuurlijk vrij er een alternatieve verzamelingenleer op na te houden. Maar zeg ons dan a.u.b. welke dat is, zodat we weten hoe we je uitspraken moeten interpreteren.

[PeterPan]

Bij mij moet je niet zijn voor een alternatieve verzamelingsleer.

Bestudeer dit maar eens goed.

[PeterPan]

Misschien is wat extra uitleg nodig.

We beginnen met de ordinaalgetallen zoals hier besproken:

\(1,2,3,...,\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots,2\omega, 2\omega+1,\cdots,3\omega,\cdots, \cdots, n\omega, \cdots\)

Deze rij heeft de eigenschap dat elke niet-lege deelverzameling een kleinste element bevat en dat de rij totaal geordend is.

We spreken dan van een welgeordende verzameling.

Iemand anders zegt dat hij ook een welgeordende verzameling heeft (dwz elke niet-lege deelverzameling ervan heeft een kleinste element).

Dan geldt het volgende: Zijn verzameling is een beginstuk van mijn verzameling. (netter gezegd, ze zijn isomorf (zie definitie

\(\sim\)

)).

Dus als je 2 welgeordende verzamelingen hebt (dit kunnen wilde, exotische verzamelingen zijn) dan is de een altijd orde-isomorf met een beginstuk van de andere verzameling.

Een welgeordende verzameling is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen van hierboven.

[Bartjes]

Ik probeer het toch echt te begrijpen. En je verhaal over de ordinaalgetallen heb ik inderdaad bestudeerd. Het was verhelderend, op één punt na. Ik heb dat punt ook daar al aan de orde gesteld. Maar omdat dat toen in verwarring eindigde, heb ik mijn vraag hier nog maar eens gesteld.

We hebben al eerder onenigheid over de status van het keuze-axioma gehad. Vandaar mijn opmerking over een alternatieve verzamelingenleer. Zoals je uit eerdere discussies inmiddels zal begrijpen, bedoel ik daar niets onvriendelijks mee. Het keuze-axioma is equivalent met de volgende stelling:

http://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem

Het zou dus goed kunnen zijn dat je ook bedenkingen hebt bij het bestaan van een welordening voor

\(\rr\)

. Maar laat ik niet te veel veronderstellen.

Ben je het er mee eens dat er een welordening van

\(\rr\)

bestaat (uiteraard voor een daarop toegesneden orderelatie)?[/i]

[Phys]

Volgens mij moeten jullie duidelijker zijn in welke axioma's je precies aanneemt (oftewel, welke verzamelingenleer jullie gebruiken).

Met de axioma's van ZFC inclusief het keuze-axioma is aan te tonen dat

\(\rr\)

een welordening heeft.

[Dat betekent niet dat die welordening expliciet te geven is (met een formule). Sterker nog, het is consistent met ZFS+keuze-axioma+veralgemeende continuümhypothese dat zo'n formule niet te geven is. Een review van het artikel waarin dat wordt aangetoond is hier te vinden.]

[Bartjes]

Volgens mij moeten jullie duidelijker zijn in welke axioma's je precies aanneemt (oftewel, welke verzamelingenleer jullie gebruiken).

Ik ga uit van ZFC. Wel denk ik dat er aan ZFC nog iets wezenlijks ontbreekt, omdat de Continuumhypothese er niet door beslist wordt.

[PeterPan]

Ik zie het misverstand.

Mijn uitgangspunt, de rij

\(1,2,3,...,\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots,2\omega, 2\omega+1,\cdots,3\omega,\cdots, \cdots, n\omega, \cdots\)

betreft de ordinaalgetallen.

Met welgeordende verzamelingen in mijn voorgaande verhaal en de vergelijking met de deelverzamelingen van de ordinaalgetallen betreffen slechts de construeerbare welgeordende verzamelingen (dus zonder keuze-axioma).

In je post gooi je ordinaalgetallen en welgeordende verzamelingen op een hoop, en ik was er zelf ook niet op bedacht dat daar misverstand over zou kunnen ontstaan.

Mijn opmerking dat

\(\rr\)

niet wel te ordenen is niet correct. In de verwarring getrapt die ikzelf heb opgeroepen.

Zie ook hier

[Bartjes]

Hier staat ook veel over ordinaal getallen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Ordinaal getallen duiden de "ordening" van welgeordende verzamelingen aan, zoals kardinaal getallen het "aantal elementen" van verzamelingen aanduiden. Ordinaal getallen en welgeordende verzamelingen zijn dus verwante zaken. Met iedere welgeordende verzameling moet een ordinaal getal corresponderen. Vandaar mijn verwarring ten aanzien van

\(\rr\)

.

Wel verbaast het me dat we in de wiskunde niet méér over het met

\(\rr\)

corresponderende (kleinste) ordinaal getal horen. Heeft het een teken? Wat is er van bekend?

[PeterPan]

Hier staat ook veel over ordinaal getallen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

Ordinaal getallen duiden de "ordening" van welgeordende verzamelingen aan, zoals kardinaal getallen het "aantal elementen" van verzamelingen aanduiden. Ordinaal getallen en welgeordende verzamelingen zijn dus verwante zaken. Met iedere welgeordende verzameling moet een ordinaal getal corresponderen. Vandaar mijn verwarring ten aanzien van

\(\rr\)

.

Dat kun je zo formuleren, maar deze formulering kan verwarrend werken. Zie mijn laatste link. Daarin staat deze eigenschap aangetoond.

Wel verbaast het me dat we in de wiskunde niet méér over het met

\(\rr\)

corresponderende (kleinste) ordinaal getal horen. Heeft het een teken? Wat is er van bekend?

\(\omega+1\)

.

Zie nogmaals mijn laatste link.

[Bartjes]

\(\omega+1\)

.

Zie nogmaals mijn laatste link.

Het gaat mij niet om het niveau in het Von Neumann Universum waarop de reële getallen mogelijk worden (als deelverzamelingen van

\(\nn\)

), maar om het (kleinste) ordinaal getal dat orde-isomorf is met een welordening van de verzameling der reële getallen. Daarvoor lijkt het mij op zijn minst nodig dat dit ordinaal getal (als verzameling beschouwd) gelijkmachtig met

\(\rr\)

is.

Maar ik kan het mis hebben.

[PeterPan]

\(\omega + 1\)

dan geldt:

Een welgeordende deelverzameling van

\(\rr\)

is aftelbaar, of overaftelbaar. Is hij overaftelbaar, dan is hij orde-isomorf met de (transfinite)-ordinaalgetallen.

Als we het keuzeaxioma accepteren, dan bestaat er dus een koppeling tussen elk element van

\(\rr\)

en een ordinaalgetal, zodat

\(\rr\)

de verzameling van ordinaalgetallen is.