Q-e-d: olympische competitie mei 2007

[Klintersaas]

Op de website van Q-E-D staat in de olympische competitie van mei 2007 een vraag die me intrigeert:

Los op naar

\(x \in \rr^+_0\)

:

\(x^{x^{2007}} = 2007\)

[/i]

Ik heb al enkele zaken geprobeerd met logaritmen, maar aangezien dit een onderdeel is van de olympische competitie vrees ik dat er een of ander bijzonder inzicht of eventueel een speciale functie nodig zal zijn om tot de oplossing te komen. Iemand?

[PeterPan]

Precies 1 oplossing, namelijk

\(x = \sqrt[2007]{2007}\)

.

[Safe]

Wat heb je met log geprobeerd?

[Klintersaas]

Wat heb je met log geprobeerd?

\(x^{x^{2007}} = 2007 \Leftrightarrow \log_x\left(x^{x^{2007}}\right) = \log_x{2007} \Leftrightarrow x^{2007} = \log_x{2007} \Leftrightarrow \cdots\)

...en dergelijk gepruts, maar het heeft niet geholpen.

PeterPan, met een beetje inzicht is inderdaad te zien dat

\(\sqrt[2007]{2007}\)

een oplossing is, maar hoe bepaal je dat algebraïsch?

[Phys]

PeterPan, met een beetje inzicht is inderdaad te zien dat

\(\sqrt[2007]{2007}\)

een oplossing is, maar hoe bepaal je dat algebraïsch?

Iets minder prutsen (maar nog steeds niet volledig algebraïsch):

Stel

\(y=x^{2007}\)

(1), zodat

\(x^y=2007\)

(2).

Dan volgt uit (1) dat

\(x=y^{\frac{1}{2007}}\)

, en uit (2) dat

\(x=2007^{\frac{1}{y}}\)

.

Dus

\(y^{\frac{1}{2007}}=2007^{\frac{1}{y}}\)

.

Je ziet direct dat y=2007 voldoet, zodat

\(x=2007^{\frac{1}{2007}}=\sqrt[2007]{2007}\)

.

[PeterPan]

Verhef linker en rechter lid tot de macht 2007.