Relatieve impulsmomentvector

[ottocruyt]

Hey,

ik heb een vraag over mijn cursus mechanica.

daar wordt weergegeven hoe de verandering van de impulsmomentvector kan ontbonden worden in 2 termen,

(dL/dt)_rel + omega X L =dL/dt ( = som van momenten)

ik begrijp deze formule niet echt, en de uitleg die er bijstaat is maar wazig.

omega X L is de sleepverandering en de andere term de relatieve verandering van de impulsmomentvector.

ik begrijp ook het praktisch nut van deze vergelijking niet.

als er iemand is die mij kan helpen hierbij, zou zeer dankbaar zijn

[eendavid]

Dit lijkt te gaan over de afgeleide van het impulsmoment zoals waargenomen in een roterend stelsel. Stel dat in een inertiaalstelsel het impulsmoment

\(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\)

is. Wat is het impulsmoment dan in een stelsel dat met hoeksnelheid

\(\omega\)

beweegt? De grootheden zoals waargenomen in het roterend stelsel worden aangeduid met een accent. We kiezen een assenstelsels waarbij de z-as parallel ligt met

\(\mathbf{w}\)

(anders zien de vergelijkingen in de tussenstap er moeilijker uit).

\(x'=\cos(\omega t) x + \sin(\omega t)y\)

\(y'=-\sin(\omega t) x + \cos(\omega t)y\)

\(z'=z\)

Voor de vectoren geldt natuurlijk gewoon

\(\mathbf{r}=\mathbf{r'}\)

Als we dit afleiden naar de tijd zien we iets interessants:

\(\frac{dx'}{dt}=\cos(\omega t) \frac{dx}{dt} + \sin(\omega t)\frac{dy}{dt}-\omega\sin(\omega t)x + \omega \cos(\omega t)y\)

\(\frac{dy'}{dt}=-\sin(\omega t) \frac{dx}{dt} + \cos(\omega t)\frac{dy}{dt}-\omega\cos(\omega t)x - \omega \sin(\omega t)y\)

\(\frac{dz'}{dt}=\frac{dz}{dt}\)

,

wat compact herschreven kan worden naar

\(\frac{d\mathbf{r'}}{dt}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}-\mathbf{\omega}\times \)

, of in de notatie die jij gebruikte:

\(\mathbf{v}_{rel}=\mathbf{v}-\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\)

.

Ik vermoed dat dit je bekend is?

Volledig analoog geldt dat, als je

\(\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{L}\)

definieert, kan worden aangetoond (gewoon de componenten van

\(\mathbf{r}\)

vervangen door die van

\(\mathbf{L}\)

in het voorgaande) dat

\(\frac{d\mathbf{L'}}{dt}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}-\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}\)

. Let wel op:

\(\mathbf{L}_{rel}\)

is dan niet

\(m\mathbf{r}\times\mathbf{v}_{rel}\)

, maar

\(m\mathbf{r}\times\mathbf{v}_{rel}+m\mathbf{r}\times\left(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}\right)\)

! Dit komt verdacht dicht bij de formule die jij geeft (daar staat een ander teken, ofwel is dat een tekenconventie ofwel een tekenfout), maar het is met de uitleg die je geeft niet 100% zeker dat het hierover gaat.

[ottocruyt]

ok dankjewel, ik denk dat dat het ongeveer duidelijk maakt. heb ondertussen ook al een voorbeeldoefening gevonden, waarin de formule effectief wordt gebruikt.

dank u!