De ketting die van tafel glijdt

[Jan van de Velde]

Van een 8 meter lange ketting ligt 5 m op een horizontale tafel, en hangt 3 m over de rand. Bij het minste duwtje begint de ketting te schuiven.

De statische wrijvingscoëfficiënt is volgens de boekjes dan 3/5 = 0,6.

Maar is dat eigenlijk wel zo? Die 3 m die over de rand hangt hangt stil. Op de schakel die nog juist op de rand hangt moet dan toch een normaalkracht ter grootte van de zwaartekracht op die schakel zelf PLUS een normaalkracht ter grootte van de zwaartekracht op 3 m ketting worden uitgeoefend? Kortom, tussen ketting en tafel werkt de volledige normaalkracht ter grootte van 8 m ketting? Ofwel de wrijvingscoëfficiënt is dan toch slechts 3/8 = 0,38 ?

Googlen levert me alleen oplossingen van het type 3/5. Maar ik kom ook wetenschappelijk onderzoek naar dit soort glijdende kettingen tegen (kan ze helaas niet inzien) wat me doet vermoeden dat een en ander toch wat ingewikkelder ligt.

Iemand die weet hoe?

[die hanze]

de normaal kracht wordt denk ik enkel geleverd door de 5 meter die op tafel licht, de zwaartekracht die ook aan de drie meter touw trekt levert een spanning op de resterende 5 meter horizontaal waarddoor er dus een horizontale wrijvingskracht moet zijn die tegengesteld is aan die horizontale spanning veroorzaakt door Fz die aan de 3 meter ketting trekt.

Dit is geloof ik het verhaal voor Cw= 3/5

Nu ik geloof dat het probleem zit in het feit dat de zwaartekracht die verticaal aan de 3 meter ketting trekt (die 5 meter ketting waar Fz aan trekt laten we buiten beschouwing want die wordt opgehoffen door de normaal kracht van de tafel waar hij op licht wat vrij logisch is) een horizontale spanning veroorzaakt op de 5 meter keting die neerligt.

De tafel rand ver vult dus hierbij de funcite van een katrol die "krachten van richting verandert".

Nu doordat de ketting uit schakels bestaat en niet zo soepel is klopt dit bovenstaande eenvoudige model niet, maar ik geloof dat het met een touw wel zo zou werken.

Je kunt het thuis anders ook gewoon uitproberen, weeg 5 meter ketting, leg dan zoals in jouw vraag staat 5 meter op een weegschaal en laat er 3 meter over de rand hangen en dan weet je meteen hoe de krachten al dan niet van richting vernaderen zoals bij een katrol.

[Jan van de Velde]

de normaal kracht wordt denk ik enkel geleverd door de 5 meter die op tafel ligt,

Dat is leuk en aardig, maar laten we eens stellen dat die ketting een gewicht heeft van 10 newton per meter, dan werkt er in totaal 80 N naar beneden(zwaartekracht), en móet er dus ook 80 N naar boven werken want anders is er geen krachtevenwicht en kan de ketting niet stilliggen.

[eendavid]

3/5 is het correcte antwoord. Modelleer de rand van de tafel als een katrol zonder wrijving. Dan werken de volgende krachten op de ketting:

1. De zwaartekracht
   \(\frac{3}{8}mg\)
   (m is de massa van de ketting) op het loshangende deel van de ketting;
2. In de katrol is er een kracht die een hoek van 45° maakt met een naar boven gerichte verticale (stel dat de ketting aan de linkerkant van de tafel ligt, dus de kracht is naar links gericht), en met totale grootte voldoende groot om de
   \(\frac{3}{8}mg\)
   op te heffen, dus
   \(\sqrt{2}\frac{3}{8}mg\)
   . De som van de reeds vermelde krachten:
   \(\frac{3}{8}mg\)
   naar links gericht;
3. De zwaartekracht op het deel van de ketting dat op tafel ligt, en de deze tegengesteld gerichte normaalkracht, met een grootte
   \(\frac{5}{8}mg\)
   . De netto bijdrage hier is 0.
4. Een wrijvingskracht, naar rechts gericht,
   \(\frac{3}{8}mg=\mu_S\frac{5}{8}mg\)
   . Ergo
   \(\mu_S=\frac{3}{5}\)
   .

[Jan van de Velde]

Modelleer de rand van de tafel als een katrol zonder wrijving.

Die zie ik, dank.

Maar is "zonder wrijving" hier dan niet de cruciale uitdrukking? En dan zal ik voor een reële tafelrand, afgerond of niet, dus toch gelijk hebben?

[Benm]

Tuurlijk, dit zijn van die leuke rekensommen die prachtig werken zolang je voldoende aannames doet.

Bedenk eens een extreme situatie van een ketting met 4 schakels van 2 meter per stuk. In het voorbeeld zou 1 daarvan dus half op, half naast de tafel moeten hangen. De onderste schakel zou dan ook niet recht onder de tafelrand bungelen, maar wellicht 70 verderop. Of dat met de gegeven wrijving zo blijft liggen of niet durf ik niet te zeggen - one way to find out :eusa_whistle:

[eendavid]

Jan heeft in gedachte dat er op de rand een 'puntnormaalkracht' is, die dan ook een 'puntwrijvingskracht' kan leveren (maar dan nog is de 3/8 niet de juiste uitkomst). Het punt hier (dat men eens men met zo'n dingen kan rekenen vaak vergeet door de spanning gewoon continu te onderstellen) is dat er bij zo'n grote normaalkracht voor zo'n kleine oppervlakte saturatie optreedt, en de wrijvingskracht groeit niet meer lineair met de normaalkracht. Andersgezegd: het is een zeer goede benadering de spanning van het touw continu te nemen (en dat is het essentiele aspect dat ik gebruikte in de vorige post).

Dat lijkt wat theoretisch gezwets, maar het is echt belangrijk voor de intuïtie. Immers, als je naar het deel van de ketting kijkt dat op tafel ligt, dan begint de ketting plotseling opzij te bewegen. Er zijn dus duidelijk horizontale krachten in het spel, en deze ontstaan door een mechanisme analoog aan dat van de wrijvingsloze katrol.

[Jan van de Velde]

als je naar het deel van de ketting kijkt dat op tafel ligt, dan begint de ketting plotseling opzij te bewegen. Er zijn dus duidelijk horizontale krachten in het spel, en deze ontstaan door een mechanisme analoog aan dat van de wrijvingsloze katrol.

Daar ga ik niet tegenin, ik vraag me alleen af of ik dat als een WRIJVINGSLOZE katrol mag beschouwen.

Het punt hier (dat men eens men met zo'n dingen kan rekenen vaak vergeet door de spanning gewoon continu te onderstellen) is dat er bij zo'n grote normaalkracht voor zo'n kleine oppervlakte saturatie optreedt.

Ah, hiermee heb ik het gevoel verder te komen. Ik moet dus gaan zoeken in de richting van een (sterk) afnemende wrijvingscoëfficiënt bij hoge drukken. Met zo'n gedachte heb ik inderdaad nooit eerder gewerkt.

Dat saturatie-effect zal ongetwijfeld materiaal-afhankelijk zijn, maar in welke orden van grootte van druk moet ik dan gaan denken?

[eendavid]

Daar heb ik totaal geen idee van. Ik probeer alleen maar een voeling te geven voor waarom deze situatie heel weinig afhankelijk is van de details van de rand (wat voor iemand zonder interesse voor theorie vanzelfsprekend is: of ik dat klein randje nu helemaal glad maak of niet zal wel een beetje maar niet teveel invloed hebben op dit experiment).

[Jan van de Velde]

Ik moet dus gaan zoeken in de richting van een (sterk) afnemende wrijvingscoëfficiënt bij hoge drukken.

http://www.epi-eng.com/mechanical_engineer...nd_friction.htm

1.At low velocities, the friction is independent of the velocity of rubbing. As the velocity increases, the friction decreases. In other words, the force required to overcome friction and start a body into motion is greater than the force required to sustain the resulting motion. That fact is reflected in the existence of two different coefficients of friction for each material pair: the static coefficient and the dynamic coefficient.

2.For low contact pressures (normal {perpendicular} force per unit area), friction is directly proportional to the normal force between the two surfaces. As the contact pressure increases, the friction does not rise proportionately, and when the pressure becomes very high, friction increases rapidly until seizing takes place.

3.For a constant normal force, the friction, in both its total amount and its coefficient, is independent of the surface area in contact (as long as the pressure is not high enough to enter the seizing region).

mag ik uit dat rode deel de volgende relaties Fw/p resp µ/p concluderen, of begrijp ik dat verkeerd?

[attachment=5104:wrijving...ffici_nt.png]

[eendavid]

Na nog wat zoekwerk vrees ik dat het zelfs erger is: de correcte interpretatie is zoiets.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0,4,0,10,300,300,600,600,'max(1,(x-1)^3+1)')</script><!--graphend-->

Dus zonder dip. Dus er schort misschien iets met de saturatie-uitleg. Ofwel zit de clou in de 'until seizing takes place'.

[Jan van de Velde]

Ja, punten 2 en 3 uit mijn linkje lijken bij nader inzien een beetje met elkaar in tegenspraak.

Maar om met deze voorlopige beschouwing even terug te gaan naar "mijn" glijdende ketting: dit maakt 3/5 alleen maar onwaarschijnlijker.

Zinvol onderwerp voor een PWS/eindwerk ? VWO-ers of wewia's in de zaal die nog een onderwerp zoeken?

[eendavid]

Ik heb werkelijk geen idee waarom je die conclusie trekt. Er zijn misschien een aantal extreme situaties te bedenken waarin de 3/5 niet correct is, maar onder normale omstandigheden is de spanning in zo'n systeem toch echt continu.

[Jan van de Velde]

Ik heb werkelijk geen idee waarom je die conclusie trekt.

Die 3/5 is volgens jou gebaseerd op een tafelrand beschouwd als een wrijvingsloze katrol. Maar ik zie geen wrijvingsloze tafelrand.

Het enige dat ik me op dit moment nog kan voorstellen is een situatie als een schakel op de tafelrand die als hefboom fungeert tussen het hangende en het liggende deel van de ketting:

tafelrand 1186 keer bekeken

Ga ik de schakels echter een beetje opschuiven dan lijkt het krachtenspel heel anders te worden.

En als ik bovenstaande situatie als statisch beschouw (de ketting glijdt nog niet) dan moet er op de hoek van de tafel een behoorlijke kracht worden uitgeoefend die aanleiding móet geven tot aardig wat extra wrijvingskracht.

tafelrand_2 1183 keer bekeken

[eendavid]

De tekening die je hier schetst is dezelfde tekening als deze voor de wrijvingsloze katrol... Wat ik zeg is zeer eenvoudig: doordat de standaardredenering mbt het verhogen van 'echt contactoppervlak' niet meer opgaat, is je redenering niet correct. De aard van de rand zal onder normale omstandigheden slechts een kleine invloed hebben. Je kan dit zelf heel makkelijk nagaan door wat olie op de rand te smeren.