Kogelbaan inclusief luchtwrijving

[Puntenslijpertt]

Wij hebben voor natuurkunde een PO opgekregen met de onderzoeksvraag: "Wat is het verband tussen de hoek en de afstand van een afgeschoten pingpongbal?". Niet zo moeilijk, zolang je de luchtwrijving niet meeneemt in de berekening. Het verband zonder luchtwrijving hebben wel al:

s = (vbegin^2 * sin alfa * cos alfa)/g

Met daarin:

s als de afgelegde afstand

vbegin als de beginsnelheid waarmee het voorwerp wordt afgeschoten

alfa als de hoek waaronder het voorwerp wordt afgeschoten

Het spijt me dat de formule er nogal lelijk uitziet, maar dat komt omdat ik hier geen objecten uit Word kan plaatsen. Ik heb de bijlagen bijgevoegd, met daarin de volledige afleiding. Het komt er in ieder geval op neer dat we eerst berekend hebben hoe lang de pingpongbal in de lucht blijft (vbegin is bekend) en dat we vervolgens deze tijd invulden in de formule s = v * dt, met als v de horizontale snelheid.

Dit is echter in vacuum, terwijl de bedoeling is dat de luchtwrijving wél wordt meegenomen in de berekening. We hebben dus een model in coach 6 gemaakt waarin we de hoek alfa varieerden en de afgelegde afstand berekenden. Deze grafiek heeft echter zo'n vorm dat we met functie-fit geen fatsoenlijke grafiek kunnen krijgen die de vorm heeft van onze grafiek.

Het model biedt dus geen uitkomst. Terug dus naar de formules dus. Het punt is dat wij (V5-scholieren) geen idee hebben hoe we net zoals zonder luchtwrijving tot een formule waaruit een verband te herleiden is. Onze vraag is dus of iemand ons dit uit kan leggen (onze wiskundige kennis rijkt zoals gezegd niet veel verder dan die van een V5-scholier, dus aan berekeningen met universitaire wiskunde ed hebben we niet zo veel).

Bij voorbaat dankuwel

[ZVdP]

Ik denk dat er een factor 0.5 ontbreekt in de formules die jullie gebruikt hebben.

Ik kom namelijk op een tweemaal zo grote afstand, s.

Wel, luchtweerstand is niet gemakkelijk.

Afhankelijk van het object zal namelijk de formule moeilijker of makkelijker worden.

Voor kleine objecten, die niet te snel gaan, geldt de wet van Stokes:

\(F_{wrijving}=k_1v\)

Met k een constante.

Voor grotere objecten, of voor snelle:

\(F_{wrijving}=k_2v^2\)

Ik raad jullie aan om de eerste formule te nemen. Die is namelijk veel makkelijker om met de hand op te lossen (ik denk niet dat het zefs mogelijk is met de andere om het volledig analytisch op te lossen)

In hoeverre zijn jullie bekend met differentiaalvergelijkingen?

Zegt bijvoorbeeld het volgende jullie misschien iets voor het afleiden van de vrije val zonder wrijving:

\(ma=F\)

\(\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F}{m}\)

\(\frac{d^2x}{dt^2}=g\)

\(\frac{dx}{dt}=gt+v_0\)

\(x=\frac{gt^2}{2}+v_0t+x_0\)

Hebben jullie zo'n afleiding ooit al gedaan?

Of kunnen jullie differentiëren, en kennen jullie e-machten,

dan kun je het doen op een gelijkaardige manier, waarbij je buiten de zwaartekracht, ook de wrijvingskracht toevoegt.

EDIT:

Ik zie al waarom er een factor 2 verschil is:

Jullie stellen

\(v_{begin,verticaal}-g\Delta t=0\)

en bepalen hieruit

\(\Delta t\)

.

Denk nog eens na waar de verticale snelheid juist 0 is.

[Puntenslijpertt]

Van differentiaalvergelijkingen heb ik nog nooit gehoord. Ik kan heel vaag je uitleg volgen bij het verband zonder luchtwrijving, maar ik kan het zelf niet, laat staan met luchtwrijving. Differentieren kunnen we wel en e-machten kennen we sinds kort, maar echt goed ermee werken kunnen we nog niet.

Je factor 0,5 snap ik niet helemaal, maar als ik zover ik begrijp bedoel je dat de h (niet de v??) 0 is, als vgemiddeld= 0, dus als de g * dt twee keer zo groot is als vbegin,verticaal. Iets anders van een factor 2 kan ik niet verzinnen...

Groeten puntenslijpertt

[ZVdP]

Wel, als je geen differentiaal vergelijkingen kent maar wel kunt differnetiëren, lijkt het me wel nog te doen, als je het ziet zitten natuurlijk.

Bijvoorbeeld volgende differentiaalvergelijking:

\(\frac{dx(t)}{dt}=5t\)

Je zoekt dus naar een functie x(t), die wanneer je hem differentieert naar 't', '5t' geeft.

Wat is dan x(t)?

\(\frac{d^2x(t)}{dt^2}=5t\)

Je zoekt dus naar een functie x(t), die wanneer je hem twee keer differentieert naar 't', '5t' geeft.

Wat is dan x(t)?

(hint: vergeet niet dat de afgeleide van een constante 0 is!)

Zo kan je nu ook het probleem oplossen met wrijving (wel ietsje minder makkelijk )

Je weet waarschijnlijk wel dat de snelheid de afgeleide is van de positie, en de versnelling de tweede afgeleide.

Voor de horizontale richting:

\(F=ma\)

\(-F_{wrijving}=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}\)

\(-k_1\cdot v_horizontaal=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}\)

\(-k_1\frac{dx(t)}{dt}=m\frac{d^2x(t)}{dt^2}\)

De oplossing hiervan geeft je de horizontale afstand in functie van t.

Ken je nu een functie x(t) waarvan de 1e afgeleide hetzelfde is als de tweede afgeleide, op een constante na?

Factor 0.5:

Inderdaar is h=0 als v_gemiddeld=0.

v_verticaal=0 op welk punt van de baan?

Andere mogelijkheid: als je iets 10m/s naar omhoog gooit, welke snelheid heeft het dan wanneer hij neerkomt?

[Puntenslijpertt]

Die differentiaalvergelijking vat ik niet helemaal, daar ga ik nog een keertje goed voor zitten.

Wat je zegt in je edit snap ik in theorie. Ik denk dat: vverticaal = 0 op het hoogste punt van de baan. Dan is de h nog niet 0, maar is dan maximaal. Aangezien er geen luchtwrijving is, is het voorwerp dan op de helft van de tijd in de lucht. Er moet dus gelden dat vverticaal = 2 * g * dt als je wil dat h = 0. Klopt dit?

[ZVdP]

Inderdaad, zonder wrijving duurt de heenweg even lang als de terugweg.

En de tijd die je berekend had was de tijd tot aan de top.

Ik zal er eentje voordoen.

\(\frac{dx(t)}{dt}=5t\)

Je weet dat bij diffentiëren (naar t) van tⁿ, n met 1 verlaagd wordt.

De vraag hier is welke functie 1 keer gedifferentieerd als macht 1 heeft?

Differentiëren van

\(x(t)=t^2\)

levert:

\(\frac{dt^2}{dt}=2t\)

De macht is al juist, nu nog de factor goed krijgen.

Met een beetje nadenken zie je vrij makkelijk dat :

\(x(t)=\frac{5t^2}{2}\)

klopt.

Nu is de afgeleide van een constante steeds nul.

Dus als we schrijven

\(x(t)=\frac{5t^2}{2}+c_1\)

Met c₁ een willekeurige constante, dan voldoet x(t) nog altijd aan de vergelijking. Deze x(t) is dus de uiteindelijke, volledige oplossing.

Uiteindelijk is het gewoon omgekeerd differentiëren.

Maar misschien is het wat te moeilijk om het allemaal te doen, als je dit nog nooit zelf gedaan hebt.

Ik vrees wel dat er geen andere manier bestaat om de formules met de hand af te leiden.

Als je het niet ziet zitten om het zelf af te leiden, wil ik het wel eens volledig uitschrijven. Normaal gezien moet je het dan wel kunnen begrijpen als je kan differentiëren.

Kleine opmerking: ik weet niet welke voorstelling jullie normaal gebruiken voor afgeleiden. Dus voor de duidelijkheid:

\(\frac{df}{dt}=f'=D(f)\)

\(\frac{d^2f}{dt^2}=f''=D^2(f)\)

[Puntenslijpertt]

Je zegt dat dit in feite het omgekeerde is van differentiëren. Bedoel je dat dit eigenlijk primitiveren is? Dat kennen wel namelijk wel, maar niet in deze vorm. En alsnog blijft dan nog het punt dat ik niet weet wat ik hoe moet primitiveren....

Waar ik namelijk tegenaan liep als ik probeerde een verband te formuleren, was dat de luchtwrijving die indirect de snelheid beïnvloedt, ook zelf beïnvloed wordt door die snelheid. Het enige wat ik kon verzinnen was dat er elke keer een kleine tijdstap (dt) moet worden genomen, maar hoe ik dat in een formule moest schrijven weet ik niet. In het model is dat ons wel gelukt, maar uit het model viel ook geen verband af te leiden.

[ZVdP]

Je kan het natuurlijk inderdaad ook benaderen door numerieke formules.

Wat je hiervoor kan doen, is weer vertrekken vanuit F=ma.

Je deelt de beweging op in kleine tijdsintervallen, en doet nu alsof in een tijdsinterval de versnelling constant is, maw een eenparig versnelde beweging.

Het algemeen plan ziet er dus zo uit:

stel x0 en v0 in

loop t

bereken de nieuwe versnelling aan de hand van de inwerkende krachten

bereken de nieuwe snelheid aan de hand van de nieuwe versnelling

bereken de nieuwe positie aan de hand van de nieuwe snelheid

end

Als je de tijdsstap klein genoeg neemt, dan geeft dit redelijke resultaten.

Ik heb gisteren op papier de vergelijkingen analytisch opgelost, met andere woorden een expliciete oplossing voor x(t) en y(t).

Ik weet dat het hier niet echt de bedoeling is om de oplossing voor te schotelen, maar ik denk dat in dit geval de vergelijkingen nog net iets te moeilijk zijn om ze zelf op te lossen, zonder differentiaalvergelijkingen gezien te hebben.

Ik zal ze vanavond proberen in te scannen.

Je zou volgens mij wel in staat moeten zijn om de verschillende tussenstappen te begrijpen.

Op die manier zie je ook vanwaar de uiteindelijke vorm van de grafiek komt.

Maar ik raad zeker aan om het eens op de numerieke manier op te lossen.

Op deze manier kan je natuurlijk ook de vergelijking waar de luchtweerstand kwadratisch afhangt van de snelheid. Je kan beide modellen eens vergelijken.

En je kan het ook vergelijken met de analytische oplossing, maw hoe nauwkeurig zijn de numerieke berekeningen.

Welk model heb je nu gebruikt in Coach6?

[Puntenslijpertt]

Het model in coach werkt perfect. We komen uit op een soort functie die de vorm heeft van een sinus, alleen nu zit de top niet tussen de twee snijpunten met de x-as, maar iets links daarvan. Wij hebben geen idee wat voor soort functie die grafiek is.

Ik heb zelf nog geprobeerd om het gewoon met de hand op te lossen, maar dan zonder die differentiaalvergelijkingen (ik snap nog steeds niet wat je daarmee wil doen en of dat nou primitiveren is). We zaten eerst met het probleem dat we niet wisten hoe we in de formule moesten verwerken dat je de zwaartekracht en de wrijvingskracht bij elkaar moest optellen als het voorwerp omhoog ging en de wrijvingskracht ervan af moest trekken van de zwaartekracht op de terugweg, maar het is me dan toch gelukt.

Ik had verzonnen dat je moest doen:

Fz + v(verticaal)/abs(v(verticaal)) * Fw.

Als de verticale snelheid dan positief is vermenigvuldig je de Fw met factor 1, maar als deze negatief is, bijvoorbeeld 5, krijg -5/5 = -1. Je trekt de Fw er dan van af.

Ik vraag me alleen af wat je wil doen met die differentiaalvergelijkingen (is dat primitiveren). Misschien is dit een domme vraag, maar ik weet gewoon niet wat voor toepassingen zon vergelijking heeft.

[ZVdP]

Mijn excuses voor de onduidelijkheid over de differentiaalvergelijkingen.

We weten dat een deeltje zal bewegen onder invloed van krachten volgens:

\(F=ma\)

Herschrijven we dit, namelijk dat de afgeleide van de snelheid naar de tijd, de versnelling is:

\(F=m\frac{dv}{dt}\)

Vullen we hier is, dat de afgeleide van de positie de snelheid is:

\(F=m\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})=m\frac{d^2x}{dt^2}\)

Deze vergelijking noemen we een differentiaalvergelijking, omdat de onbekende functie beschreven wordt via zijn afgeleiden.

Als we deze vergelijking kunnen oplossen, dan kunnen we expliciet de baan van het voorwerp onder invloed van de krachten beschrijven. Ik dacht dat dit je uiteindelijke doel was, een vergelijking voor de baan. En kijken welke invloed de parameters hebben op de afgelegde afstand.

Deze vergelijking kan je toepassen op allerhande situaties. Je kan er bijvoorbeeld een slinger mee modelleren, door voor F de zwaartekracht, en de spankracht van het touw in te vullen.

Je kan er een vrije val mee modelleren, door er de zwaartekracht in in te vullen.

...

En dus ook een worp met wrijving, door

\(F=F_{wrijving}+F_{zwaartekracht}\)

Het is dus eigenlijk een algemene methode om de beweging van een voorwerp uit te rekenen.

Fz + v(verticaal)/abs(v(verticaal)) * Fw.

Dit is niet altijd correct. Het is enkel correct als Fw altijd positief is.

Stel je Fw=-k*v bijvoorbeeld, moet je die factor er niet bijvoegen, aangezien Fw hier zelf al 'bijhoudt' welk teken hij moet hebben.

Stel je Fw=-k*v², dan moet hij er wel bij, aangezien je informatie over het teken hier verliest door het kwadraat.

De functie die je beschrijft: is dit x(t), x(alpha) of y(x)?

En welk model heb je gebruikt om de wrijving in rekening te brengen (lineair of kwadratisch met de snelheid)?

[ZVdP]

Ik vermoed dat die differentiaalvergelijkingen uiteindelijk misschien toch iets te ver gaan.

Wat we misschien kunnen doen, is dat ik jullie de vergelijkingen voor x(t) en y(t) geef. Eventueel als je dat wil, kan ik je de volledige afleiding ook wel geven, zodat je misschien beter begrijpt waarvan de vergelijkingen afkomstig zijn.

Op deze manier kunnen jullie dan het model dat jullie gebruikt hebben nakijken, zien in hoeverre dit nauwkeurig is. Ook zie je dan welke functies je nodig zal hebben om de curve-fit goed te laten aansluiten met de theoretisch verwachte curve.

Zo kan je in je verslag vermelden hoe de oplossingen gevonden moeten worden (F=ma), maar dat het analytisch oplossen van deze vergelijking buiten de scope van de cursus ligt.

Is dat ok?

[Puntenslijpertt]

Sorry voor het feit dat ik niet altijd even duidelijk ben met wat ik schrijf. Onze onderzoeksvraag is wat het verband is tussen de hoek waaronder het voorwerp wordt afgeschoten en welke afstand het voorwerp dan aflegt, voordat het neerkomt. Voor de luchtwrijvingskracht gebruiken we als model 0,5 * A * cw * p * v^2.

Mijn voorstel is dat ik de afleiding opstuur tot waar ik ben gekomen, als jij me dan wil helpen waar ik vastloop, ok? Ik maak van wat ik heb een Word document, daar kan ik nl de formules goed ik kwijt (kweet niet hoe dat hier moet..).

Alvast bedankt voor alle moeite die je hebt gedaan.

[Lucas N]

Analytisch oplossen is zeker te hoog gegrepen voor 5 vwo.

over de numerieke oplossing:

Ik had verzonnen dat je moest doen:

Fz + v(verticaal)/abs(v(verticaal)) * Fw.

Als de verticale snelheid dan positief is vermenigvuldig je de Fw met factor 1, maar als deze negatief is, bijvoorbeeld 5, krijg -5/5 = -1. Je trekt de Fw er dan van af.

Dit zit in de goede richting, maar is niet goed.

Als je ervan uitgaat dat de Fw kwadratisch van v afhangt, heb je in vector-notatie:

\( \vec{F_w}=- k\cdot v^2\cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \)

Het min-teken geeft aan dat de

\( \vec{F_w} \)

tegengesteld is aan

\( \vec{v} \)

.

De laatste factor zorgt ervoor dat de richting van

\( \vec{F_w} \)

, op dat minteken na, gelijk is aan die van

\( \vec{v} \)

, zonder dat de grootte ervan verandert.

Voor je coach model moet je dit in componenten uitschrijven, omdat je zowel een Fx als een Fy etc in de loop hebt.

Voor de x-component van deze formule krijg je dan:

\( F_{wx}= -k\cdot (v_x^2+v_y^2)\cdot\frac{v_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}} \)

en ook zoiets voor de Fy (met de zwaartekracht erbij).

Het is overigens deze uitdrukking die het probleem lastiger maakt dan zonder wrijving; zonder wrijving ontkoppelen de vergelijkingen voor de x-, en y-componenten. Hier echter zie je dat in de vergelijking voor een x-component ook een y-component opduikt.

Verder adviseer ik de beste beginhoek te vinden door het model gewoon veel keer te laten lopen.

succes

[Puntenslijpertt]

Het is me gelukt om de verticale component uit te schrijven (wil je controleren of hij klopt?). Nu wil ik ook de horizontale component doen, maar ik weet niet hoe ik de gemiddelde horizontale snelheid gedurende de tijd dat hij in de lucht is moet uitschrijven. Kan je me dat uitleggen?

[ZVdP]

Je maakt een cruciale fout:

\(v(t)=v_{begin}sin(\alpha)-at\)

Deze formule is enkel geldig in een bepaald geval. Welk?

Zitten we hier in deze situatie?

Als ik geen rekenfout gemaakt heb, zijn dit de vergelijkingen voor x en y (voor lineaire luchtweerstand):

\(F_{w}=-kv\)

\(k_1=\frac{k}{m}\)

\(v_{x,0}=v_0\cos(\alpha)\)

\(v_{y,0}=v_0\sin(\alpha)\)

\(x(t)=-\frac{v_{x,0}}{k_1}e^{-k_1t}+\frac{v_{x,0}}{k_1}\)

\(y(t)=-\frac{k_1v_{y,0}+g}{-k_1^2}e^{k_1t}+\frac{k_1v_{y,0}+g}{k_1^2}-\frac{gt}{k_1}\)

De vergelijkingen met Fw=kv² zijn niet analytisch oplosbaar. Het feit dat je een analytische fourmule zou uitkomen, zonder benaderingen in te voeren, houdt dus automatisch in dat ze fout is.

Je kan dit enkel numeriek oplossen.