(on)bepaaldheid van plaats

[Bartjes]

Kwantummechanisch wordt de plaats van een deeltje beschreven met waarschijnlijkheidsverdelingen. Meer zou er volgens de gebruikelijke interpretatie ook niet over de plaats te zeggen zijn, totdat de plaats van het deeltje gemeten wordt. Is dit juist?

Als ik het bovenstaande goed begrepen heb, zit ik met een probleem. Het gravitatieveld van een deeltje is afhankelijk van de plaats van het deeltje. Wanneer men over extreem nauwkeurige apparatuur zou beschikken zou men de plaats van het deeltje daarom aan de hand van zijn gravitatieveld kunnen meten voordat de meting met meer gebruikelijke apparatuur plaats heeft. Maar daardoor zou de waarschijnlijkheidsverdeling waardoor het deeltje beschreven wordt moeten veranderen. De uitkomst van een latere meting met de daarvoor gebruikelijke apparatuur zou daarom afhankelijk moeten zijn van een al dan niet eerder verrichte meting op basis van het gravitatieveld van het deeltje. Probleem is echter dat het gravitatieveld van het deeltje in al de beschouwingen die ik gezien heb volkomen wordt genegeerd. Hier is volgens mij iets niet in de haak.

Wie kan eenvoudig(!) uitleggen waar ik de mist in ga?

[xjasperx]

Kwantummechanisch wordt de plaats van een deeltje beschreven met waarschijnlijkheidsverdelingen. Meer zou er volgens de gebruikelijke interpretatie ook niet over de plaats te zeggen zijn, totdat de plaats van het deeltje gemeten wordt. Is dit juist?

Als ik het bovenstaande goed begrepen heb, zit ik met een probleem. Het gravitatieveld van een deeltje is afhankelijk van de plaats van het deeltje. Wanneer men over extreem nauwkeurige apparatuur zou beschikken zou men de plaats van het deeltje daarom aan de hand van zijn gravitatieveld kunnen meten voordat de meting met meer gebruikelijke apparatuur plaats heeft. Maar daardoor zou de waarschijnlijkheidsverdeling waardoor het deeltje beschreven wordt moeten veranderen. De uitkomst van een latere meting met de daarvoor gebruikelijke apparatuur zou daarom afhankelijk moeten zijn van een al dan niet eerder verrichte meting op basis van het gravitatieveld van het deeltje. Probleem is echter dat het gravitatieveld van het deeltje in al de beschouwingen die ik gezien heb volkomen wordt genegeerd. Hier is volgens mij iets niet in de haak.

Wie kan eenvoudig(!) uitleggen waar ik de mist in ga?

Hoe nauwkeuriger je door meting van het gravitatieveld van een deeltje zijn positie bepaalt, hoe meer onzekerheid er over de snelheid van het deeltje zal bestaan. Dit heeft tot gevolg dat er ook meer onzekerheid zal bestaan over de positie van het deeltje bij een volgende meting (met gebruikelijke meetapparatuur).

[Bartjes]

Hoe nauwkeuriger je door meting van het gravitatieveld van een deeltje zijn positie bepaalt, hoe meer onzekerheid er over de snelheid van het deeltje zal bestaan. Dit heeft tot gevolg dat er ook meer onzekerheid zal bestaan over de positie van het deeltje bij een volgende meting (met gebruikelijke meetapparatuur).

Goed! Volgende vraag: Je hebt twee opstellingen, één waarbij de gravitationele meting wordt gedaan en één waarbij dat niet gebeurt, verder zijn ze gelijk. Vind je dan ook verschillende kansverdelingen van de uitkomsten voor de gebruikelijke metingen bij die twee opstellingen?

Indien ja, dan zie ik een probleem in die zin dat de gravitationele interactie van deeltjes met de omgeving in huis-tuin-en-keuken-situaties steeds verwaarloosd wordt zonder dat dat kennelijk tot merkbare fouten leidt...

[Math-E-Mad-X]

Hey Bartjes, je bent niet de enige met dit probleem hoor! Sterker nog: dit is het grote probleem in de theoretische natuurkunde. Wat we nodig hebben is een theorie die quantumzwaartekracht beschrijft.

Het klopt dat gravitatie genegeerd wordt in alle beschouwingen die jij gezien hebt. De gravitatie is namelijk zo klein dat je die zonder problemen kunt verwaarlozen. De hoeveelheid gravitatie die één deeltje uitoefent is namelijk met onze apparatuur veel te klein om te kunnen meten.

Pas op het moment dat je over zwarte gaten en de big bang gaat praten, heb je het over objecten die zo klein en tegelijkertijd zo zwaar zijn dat je zowel quantumfysica als gravitatie nodig hebt.

Goed! Volgende vraag: Je hebt twee opstellingen, één waarbij de gravitationele meting wordt gedaan en één waarbij dat niet gebeurt, verder zijn ze gelijk. Vind je dan ook verschillende kansverdelingen van de uitkomsten voor de gebruikelijke metingen bij die twee opstellingen?

Indien ja, dan zie ik een probleem in die zin dat de gravitationele interactie van deeltjes met de omgeving in huis-tuin-en-keuken-situaties steeds verwaarloosd wordt zonder dat dat kennelijk tot merkbare fouten leidt...

Het antwoord is dus "ja" en nu weet je ook waarom dat in een huis-tuin-en-keuken omgeving verwaarlosd wordt. ](*,)

[Bartjes]

Dank voor de uitleg. Als ik het goed begrijp kun je uit dit gedachte-experiment dus ook afleiden dat bepaalde gravitationele meetapparatuur niet kan bestaan, omdat als die apparatuur wel mogelijk was er rekening met de gravitationele interactie gehouden zou moeten worden (wat hier nog niet het geval is).

Dat is dan toch een beginnetje van een theorie?

[Math-E-Mad-X]

Dank voor de uitleg. Als ik het goed begrijp kun je uit dit gedachte-experiment dus ook afleiden dat bepaalde gravitationele meetapparatuur niet kan bestaan, omdat als die apparatuur wel mogelijk was er rekening met de gravitationele interactie gehouden zou moeten worden (wat hier nog niet het geval is).

Dit volg ik niet helemaal. Op zich is er theoretisch gezien niks mis met het idee van een apparaat dat gravitatie op quantum schaal meet. Alleen hebben we zo'n apparaat helaas nog niet uitgevonden.

Het punt is alleen dat voor gravitatie (voor zover we weten) dezelfde wetten moeten gelden als voor andere krachten op quantum schaal. Dat wil zeggen: ook voor het gravitatieveld zou een bepaald soort onzekerheidsrelatie moeten gelden. Dus als je de impuls van een deeltje meet, is zijn positie onzeker en daarmee is ook de precieze vorm van het zwaartekrachtsveld dat hij veroorzaakt onzeker.

[Bartjes]

Dit volg ik niet helemaal. Op zich is er theoretisch gezien niks mis met het idee van een apparaat dat gravitatie op quantum schaal meet. Alleen hebben we zo'n apparaat helaas nog niet uitgevonden.

Als er een apparaat zou bestaan waarmee we de positie van een deeltje aan de hand van zijn gravitatieveld zouden kunnen meten, zouden we de gravitationele interactie van het deeltje met de omgeving niet meer mogen verwaarlozen want dan zou het al dan niet plaats vinden van een gravitationele meting effect hebben op de uitkomsten van de uiteindelijke meting met meer gebruikelijke apparatuur. Er zou in de omgeving van het deeltje immers wel eens zo'n gravitationeel meetapparaat opgesteld kunnen staan. Maar de ervaring leert dat we de gravitationele interactie van een deeltje met de omgeving wel mogen verwaarlozen. Dus kan het bedoelde apparaat (in een huis-tuin-en-keuken-omgeving) niet bestaan.

[ZVdP]

Vervang de zwaartekracht door de elektrische en alles wordt wel meetbaar.

Ik meen mij te herinneren dat mijn QM-professor verteld heeft dat wanneer je bijvoorbeeld twee elektronen hebt rond een atoomkern, dat men de wisselwerking (de potentiële energie term in de Hamiltoniaan) van elektron 1 op elektron 2 beschrijft alsof de lading van elektron 1 uitgesmeerd is volgens de waarschijnlijkheidsdichtheid van elektron 1.

De kracht van 1 op 2 wordt dan volgens mij iets zoals:

\(\bold{F}_{1 op 2}( \bold{r_2} )=\iiint \frac{kq|\Psi_1(\bold{P})|^2}{|\bold{r_2}-\bold{P}|^2}\bold{1}_{P-r}}dV\)

Ik weet niet in hoeverre dit ook overeenstemt met de werkelijkheid, maar dit zou wel betekenen dat wanneer je een meting doet van de elektrische/zwaartekracht dit positiebepaling inhoudt, aangezien je een integraal over de ruimte meet.

[Bartjes]

Ik weet niet in hoeverre dit ook overeenstemt met de werkelijkheid, maar dit zou wel betekenen dat wanneer je een meting doet van de elektrische/zwaartekracht dit positiebepaling inhoudt, aangezien je een integraal over de ruimte meet.

Men gaat er vanuit dat de gravitationele interactie van een deeltje met de omgeving in normale omstandigheden verwaarloosd kan worden, kennelijk omdat het om verwaarloosbaar kleine krachten gaat. Maar als men over extreem nauwkeurige gravitationele meetapparatuur zou beschikken zou men in principe de plaats van het deeltje kunnen meten, en dat zou een groot effect op het latere meetresultaat met de gebruikelijke meetapparatuur moeten hebben. Zo begrijp ik het althans.

Ik vraag mij nu af of wij daar iets interessants uit kunnen concluderen. En volgens mij is dat inderdaad zo, en wel dat het bedoelde gravitationele meetapparaat niet kan bestaan. Als een dergelijk meetapparaat zou kunnen bestaan zou men immers de gravitationele interactie met de omgeving niet mogen verwaarlozen omdat zich daar een dergelijk gravitationeel meetapparaat zou kunnen bevinden. Het alternatief is dat de verwaarlozing van de gravitationele interactie met de omgeving onterecht is. - Of maak ik hier een denkfout?

[ZVdP]

Ik weet niet of het zo is dat wanneer je (extreem) nauwkeurig een veld zou kunnen berekenen, dat je daardoor het deeltje zou kunnen localiseren.

Volgens mij zou het ook kunnen dat, ook al meet jou zeer nauwkeurig, je altijd het veld uitgemiddeld over de huidige waarschijnlijkheidsdichtheid meet. Dus zonder dat het deeltje hierdoor in een eingefunctie van de plaatsoperator vervalt.

Ik twijfel er wel aan, aangezien ik dacht dat je een detector (bij een double-slit experiment) kon maken door gebruik te maken van het effect dat een passerend elektron heeft op een spoel.

Bovendien volg ik de volgende redenering niet:

Als een dergelijk meetapparaat zou kunnen bestaan zou men immers de gravitationele interactie met de omgeving niet mogen verwaarlozen omdat zich daar een dergelijk gravitationeel meetapparaat zou kunnen bevinden

Ik zie niet goed in waarom de 'mogelijkheid tot' een invloed zou hebben.

[Bartjes]

Ik ga er van uit dat het niet uitmaakt of de gegevens van het gravitationele meetapparaat door een of meer menselijke waarnemer(s) worden bekeken, het gaat om de fysische act van het meten. Als deze fysische act van het meten inderdaad van invloed is op de resultaten die je bij de uiteindelijke meting met de gebruikelijke apparatuur krijgt, kan er geen nauwkeurige (statistische) voorspelling gedaan worden van die uiteindelijke meetresultaten zonder rekening te houden met het feit of er onderweg al dan niet een gravitationele meting is verricht. De ervaring wijst echter uit dat de gravitationele interactie met de omgeving in normale omstandigheden zonder meer verwaarloosd kan worden. Tot deze gravitationele interactie met de omgeving behoort echter ook het al dan niet plaats hebben van de gravitationele meting. De invloed van die meting zou dus ook verwaarloosbaar moeten zijn. Maar wanneer er een min of meer precieze plaatsbepaling mogelijk is, moet het effect daarvan aanzienlijk zijn. Dit leidt dus tot een tegenstrijdigheid die zich laat oplossen door het ontkennen van de onderstelling dat het bedoelde extreem nauwkeurige gravitationele meetapparaat kan bestaan.

Je zou ook kunnen aannemen dat de verwaarlozing van de gravitationele interactie met de omgeving fout is. Maar daar wijst - voor zover ik weet - niets op.

[ZVdP]

Ik vrees dat ik nog steeds niet volg.

Dus stel dat je door een accurate meting de golffunctie kan wijzigen, dan heeft dit inderdaad invloed op volgende metingen; logisch want de golffunctie is gewijzigd.

Maar wanneer die eerste nauwkeurige meting niet gebeurt, maakt het toch niet uit voor de volgende metingen of de eerste meting theoretisch gezien mogelijk zou zijn; enkel maar of die plaatsvindt of niet. Wanneer we dus zo'n meting niet doen, dan is er toch geen gevolg voor volgende metingen.

Of bedoel je nog iets anders?

[Math-E-Mad-X]

Je zou ook kunnen aannemen dat de verwaarlozing van de gravitationele interactie met de omgeving fout is. Maar daar wijst - voor zover ik weet - niets op.

Kijk, een verwaarlozing is in principe natuurlijk altijd 'fout' simpelweg omdat je bepaalde informatie weggooit. Maar wat ik bedoel is dat de fout die veroorzaakt wordt door het verwaarlozen van gravitatie vele malen kleiner is dan de fout die bijvoorbeeld ontstaat doordat je meetapparatuur altijd wat ruis geeft en doordat je proefopstelling nooit perfect is. Exacte metingen zijn nooit mogelijk.

Als je een apparaat zou hebben dat zo extreem nauwkeurig is dat je de positie van een deeltje kan bepalen op basis van zijn gravitatieveld, dan geldt inderdaad dat we gravitatie niet meer mogen verwaarlozen omdat gravitatie dan een duidelijk meetbare grootheid zou zijn.

Kortom: de vraag of het 'fout' is om gravitatie te verwaarlozen, hangt af van de vraag of we een apparaat hebben dat nauwkeurig genoeg is om het gravitatieveld van een enkel deeltje te bepalen.

[Bartjes]

Kortom: de vraag of het 'fout' is om gravitatie te verwaarlozen, hangt af van de vraag of we een apparaat hebben dat nauwkeurig genoeg is om het gravitatieveld van een enkel deeltje te bepalen.

Daar zit 'm de crux! Als we als ervaringsfeit (oftewel "empirische generalisatie") accepteren dat de gravitationele interactie van een deeltje met de omgeving in "normale" omstandigheden altijd verwaarloosbaar is, moet dat ook zo zijn wanneer het bedoelde gravitationele meetapparaat deel uitmaakt van die omgeving. Maar dat leidt tot een tegenstrijdigheid, dus moet het dan wel zo zijn dat de natuur de constructie van een dergelijk apparaat verbiedt.

[ZVdP]

Ik zou concluderen dat de stelling ' dat de gravitationele interactie van een deeltje met de omgeving in "normale" omstandigheden altijd verwaarloosbaar is' gewoon niet meer opgaat op het moment dat we zo'n toestel maken, ipv te stellen dat zo'n toestel niet zou kunnen bestaan.

Waaruit zou je kunnen concluderen dat die verwaarlozing altijd zou moeten gelden?