Schrodinger

[Maja]

Er staat iets in mijn cursus wat ik niet helemaal snap.... Zou iemand mij dit willen uitleggen?

H

\(\psi\)

=W

\(\psi\)

De vergelijking van Schrodinger zegt dus dat de functie

\(\psi\)

zo moet zijn dat het resultaat van de inwerking van H op

\(\psi\)

gelijk moet zijn aan

\(\psi\)

zelf, vermenigvuldigd met de constante W. Deze vergelijking laat gewoonlijk vele verschillende oplossingen toe. Voor een elektron wordt een dergelijke oplossing

\(\psi\)

een orbitaal genoemd. De vergelijking zal echter niet voor gelijk welke waarde van W opgelost kunnen worden. Een waarde van W waarvoor wel een oplossing bestaat wordt een eigenwaarde van de Hamiltoniaan genoemd en de bijhorende golffunctie een eigenfunctie van de Hamiltoniaan.

Snap dus vooral eigenwaarde en eigenfunctie van de hamiltoniaan niet?

En hoe kan W nu weer constant zijn?

[thermo1945]

De eigenwaarden moet je als de oplossingen van de vergelijking zien.

Dat zijn in dit geval een aantal (wel gedefinieerde) energiewaarden (die een spectrum vormen).

[Maja]

Dus omdat de energie dan gekwantiseerd is er geen oplossing voor elke waarde van W?

[thermo1945]

Inderdaad

[Maja]

Oke bedankt!

[ZVdP]

Ik zou het eerder andersom zeggen: omdat er geen oplossing is voor elke W, zeggen we dat energie gekwantiseerd is.

Neem bijvoorbeeld een oneindig diepe potentiaalput tussen 0 en L. De oplossingen hiervan zijn de sinussen die 0 zijn op de rand van de put.

\(\Psi(x)=C\sin{\frac{n\pi x}{L}}\)

met n=1,2,3,4,....

Je kan de energie dan terugvinden door

\(\hat{H}\Psi\)

uit te rekenen en dit levert:

\(E=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\)

Aangezien enkel gehele 'n' oplossingen geven, zijn ook de bijhorende energiewaarden (E₁,E₂,E₃,...) gekwantiseerd.

[Maja]

Ok je hebt dus die formule van schrodinger en dan pas je daar deeltje in doos op toe en dan pas kan je aannemen wat er in dat stukje tekst staat??

Of begrijp ik het nu weer verkeerd?

[aestu]

\(\hat{H} \Psi = E \Psi\)

\(\frac{-\hbar^}{2m} \frac{d^2}{d x^2} \psi = E \psi \)

Dit is een differentiaalvergelijking ( en eigenwaardevergelijking) met als algemene oplossing ( denk aan de harmonische oscillator)

\(\psi (x) = A cos (kx) + B sin(kx) \)

Omdat we bij de oneindig diepe potentiaalput eisen dat

\(\psi(0) = \psi(L) = 0\)

volgt uit de eerste voorwaarde dat A = 0. De tweede voorwaarde zegt dat sin(kL) = 0. Dus kL = n pi, of k = n pi/L. Omdat we E = h²k²/(8pi²m) gesteld hebben en omdat k gekwantiseerd is, is de energie ook gekwantiseerd. Zoals je ziet is het de randvoorwaarde die de kwantisatie van de energie oplegt bij de oneindig diepe potentiaalput.

B wordt bepaald door de eisen dat te golffunctie genormeerd is.