Axiale belastingen in staaf

[simops]

Ik heb een probleem met een oefening voor het vak sterkteleer.

De opgave luidt als volgt (tekening en opgave staan nog eens in bijlage):

Een stijl gemaakt in aluminium heeft een diameter van 50mm. De stijl is in A en B ingeklemd en in het midden in C bevindt zich een onvervormbare kraag, waaraan een spiraalveer is bevestigd. De begintoestand van de veer is ontspannen. Bepaal de drukkracht in en de indrukking van de veer als een belasting van P = 50kN op de kraag wordt uitgeoefend. E = 68,9GPa.

Ik veronderstel dat men met drukkracht in de veer de veerkracht bedoelt. Dan besluit ik dus dat ofwel de veerkracht ofwel de indrukking vinden voldoende is om beide antwoorden te geven.

Ik had het krachtevenwicht opgesteld:

\(F_A + F_B - P + F_v = 0\)

En eveneens de relatieve verplaatsingen ten gevolge van de krachten bepaald. Deze moeten samen 0 zijn.

\(\delta_P - \delta_B - \delta_{F_v} = 0\)

\(\dfrac{P 0,25m}{AE} - \dfrac{F_B 0,5m}{AE} - \dfrac{F_v 0,25m}{AE} = 0\)

Maar ik heb nu nog steeds 3 onbekenden en slechts 2 vergelijkingen. Ik zit m.a.w. vast. Kan iemand me verder op weg helpen?

[Schuifmaat]

De staaf bestaat uit 2 helften. In feite zijn dit twee veren die in serie geschakeld zijn, dus met gelijke uitwijking, dus Fa = Fb

De uitwijking ter plaatse van de kraag bepaalt de indrukking van de veer, en tegelijk de indrukking van beide staafhelften.

Fa = Fb = P - Fv

Bepaal de veerindrukking s = F*K

Staafindrukking (en = verlenging) s = Fa / AE

Zo is er wel uit te komen denk ik.

[TeunisTVM]

Mocht je er niet uit komen naar voorgaande reactie kan ik nog wel voor je kijken,

Welke pagina van Hibbler heb je het exact over? De meeste HBO werktuigbouwers krijgen les vanuit hibbler.

Vervolgens zal ik even in mijn boek meekijken, die foto is maar slecht te lezen.

[josias]

Mocht je er niet uit komen naar voorgaande reactie kan ik nog wel voor je kijken,

Welke pagina van Hibbler heb je het exact over? De meeste HBO werktuigbouwers krijgen les vanuit hibbler.

Vervolgens zal ik even in mijn boek meekijken, die foto is maar slecht te lezen.

Hallo,

Weet schuifmaat het wel zeker dat Fb=Fa.

[simops]

Ik ben ook niet zo overtuigd van het feit dat

\(F_a = F_b\)

. Ik heb het toch eens geprobeerd op die manier en dus gewoon de uitrekking omwille van P berekend. En ik kom uit:

\(\frac{P 0.25m}{A E} = 9.23\cdot 10^{-5}m\)

. Echter volgens het boek moet de oplossing 0.039 mm zijn (de veerkracht is dan gemakkelijk te berekenen door te vermenigvuldigen met k).

Doe ik het verkeerd? Of is de werkwijze verkeerd? Ik heb sowieso mijn twijfels bij de werkwijze omdat ik denk dat je niet zomaar kan zeggen dat de indrukking waar P voor zorgt (op een staaf zonder veer) ook de indrukking zal zijn van de veer. De veekracht geeft toch een tegenreactie die zelfs groter wordt als de veer meer ingedrukt wordt?

[TeunisTVM]

De staaf bestaat uit 2 helften. In feite zijn dit twee veren die in serie geschakeld zijn, dus met gelijke uitwijking, dus Fa = Fb

De uitwijking ter plaatse van de kraag bepaalt de indrukking van de veer, en tegelijk de indrukking van beide staafhelften.

Fa = Fb = P - Fv

Bepaal de veerindrukking s = F*K

Staafindrukking (en = verlenging) s = Fa / AE

Zo is er wel uit te komen denk ik.

Je maakt hier twee grote fouten.

Je krachten evenwicht klopt niet.

Dit moet zijn

Fb+Fa-P+Fv=0

Een kracht P veroorzaakt een verplaatsing en die wordt tegengewerkt door 3 veren.

En de uitrekking is niet zoals jij zegt dat is de rek! En rek is relatief dus moet je het nog absoluut maken zoals de TS ook al doet door rek maal lengte te vermedigvuldigen wat de uitrekking op levert.

Ik heb een probleem met een oefening voor het vak sterkteleer.

De opgave luidt als volgt (tekening en opgave staan nog eens in bijlage):

Een stijl gemaakt in aluminium heeft een diameter van 50mm. De stijl is in A en B ingeklemd en in het midden in C bevindt zich een onvervormbare kraag, waaraan een spiraalveer is bevestigd. De begintoestand van de veer is ontspannen. Bepaal de drukkracht in en de indrukking van de veer als een belasting van P = 50kN op de kraag wordt uitgeoefend. E = 68,9GPa.

Ik veronderstel dat men met drukkracht in de veer de veerkracht bedoelt. Dan besluit ik dus dat ofwel de veerkracht ofwel de indrukking vinden voldoende is om beide antwoorden te geven.

Ik had het krachtevenwicht opgesteld:

\(F_A + F_B - P + F_v = 0\)

En eveneens de relatieve verplaatsingen ten gevolge van de krachten bepaald. Deze moeten samen 0 zijn.

\(\delta_P - \delta_B - \delta_{F_v} = 0\)

\(\dfrac{P 0,25m}{AE} - \dfrac{F_B 0,5m}{AE} - \dfrac{F_v 0,25m}{AE} = 0\)

Maar ik heb nu nog steeds 3 onbekenden en slechts 2 vergelijkingen. Ik zit m.a.w. vast. Kan iemand me verder op weg helpen?

Je hebt nu wel 3 onbekende krachten, maar je hebt maar twee onbekende verplaatsingen.

\(\delta_{AC} - \delta_{BC} = 0\)

[TeunisTVM]

Hmm een lastige opgave!

Ik heb zelf nog even gepuzzeld en kom er niet direct uit.

Er moet naar mijn wezen nog een eigenschap zijn die ik niet kan verklaren direct.

Je zit toch met het feit dat A constant is en daardoor dus ook de spanning overal, omdat de staven in serie staan. en daardoor ook Fa en Fb, maar nu bevind ik mij op glad ijs.

(Indien je van bovenstaande uitgaat kan ik wel je antwoord bevestigien)

Helaas kan ik mijn voorgaande bericht niet meer wijzigen.

Schuifmaat indien jij wel zeker bent van je Fa en Fb kan je dat eens helder toelichten?

[Filippus]

Je hebt in totaal 3 evenwichtsvergelijkingen. Eén krachtenevenwicht en twee compabiliteitsvergelijkingen.

Krachtenevenwicht is inderdaad:

\(F_A + F_B - P + F_v = 0.\)

Eerste compabiliteitseis:

\(\delta_P = \delta_B\)

.

De verlenging door kracht P van veer BC moet immers gelijk zijn aan de verlenging van veer BC door de krachten in punt B (dit zijn F_B en F_v!).

Tweede compabiliteitseis:

\(\delta_v = \delta_{BC}\)

.

De verlenging door de veerkracht F_v moet gelijk zijn aan de verlenging van punt C t.o.v. punt B (die ook weer door F_B en F_v wordt veroorzaakt).

Uit de laatste twee vergelijkingen kan je

\(F_v\)

en

\(F_B\)

halen, vervolgens kan je uit de eerste vergelijking

\(F_A\)

berekenen. Hieruit zal trouwens blijken dat F_A en F_B aan elkaar gelijk zijn (maar hier kan je mijns inziens niet a priori vanuit gaan).

Lukt het nu om de juiste uitkomst te vinden?

[simops]

De vergelijking die ik al gevonden had (zie beginpost) klopt dus wel. Deze is denk ik de eerst compatibiliteitseis?

Ik snap echter niet hoe u komt aan de tweede eis:

Tweede compabiliteitseis:

\(\delta_v = \delta_{BC}\)

.

De verlenging door de veerkracht F_v moet gelijk zijn aan de verlenging van punt C t.o.v. punt B (die ook weer door F_B en F_v wordt veroorzaakt).

BC wordt toch ook terug "verkort" door kracht P? Moet hiermee dan ook rekening gehouden worden?

[Filippus]

De vergelijking die ik al gevonden had (zie beginpost) klopt dus wel. Deze is denk ik de eerst compatibiliteitseis?

Jouw krachtenevenwicht was correct, jouw tweede vergelijking niet.

Ik snap echter niet hoe u komt aan de tweede eis:

BC wordt toch ook terug "verkort" door kracht P? Moet hiermee dan ook rekening gehouden worden?

Beschouw de initiële situatie als een superpositie van twee situaties (zie tekening). Hieruit volgt dat de kracht P niet voorkomt in de tweede compabiliteitsvergelijking.

Superpositie 1061 keer bekeken

[simops]

Hoe werkt superpositie precies? Waarom wordt bijvoorbeeld Fa niet meer getekend? En moet de formule voor verlenging dan toegepast worden op elk deel apart? Ik begrijp namelijk niet hoe

\(\delta_B\)

kan voorkomen in de eerste compatibiliteitsvergelijking als Fb niet in de eerste tekening voorkomt. Of is het niet de bedoeling dat

\(\delta_B\)

uitgedrukt wordt in functie van Fb in deze werkwijze.

Ik had de uitdrukking

\(\delta_P = \delta_B\)

als volgt geïnterpreteerd omdat u zei dat de krachten in punt B de zowel de veerkracht als

\(F_B\)

waren.

\(\delta_P = \delta_B\)

\(\delta_F_P = \delta_F_B + \delta_F_v\)

\(\frac{P0,25m}{AE} = \frac{F_B0,25m}{AE} + \frac{f_v0,25m}{AE}\)

En zo kwam ik toch weer uit bij mijn vergelijking, maar blijkbaar klopt deze niet.

Als ik de tekening bekeken had heb ik volgende manier gewerkt:

1ste tekening:

\(\delta_P = \frac{P0,25m}{AE}\)

2de tekening:

\(\delta_B = \frac{F_B0,25m}{AE} + \frac{f_v0,25m}{AE}\)

En deze twee gelijk stellen aan elkaar. Maar dit blijkt opnieuw niet te kloppen omdat ik opnieuw mijn eerste vergelijking uitkom.

Waar gaat het verkeerd?

[Filippus]

F_a wordt niet getekend en komt in geen van beide vergelijkingen voor omdat de inklemming in A behouden blijft.

Eerste compabiliteitsvergelijking:

\(\delta_P = \delta_B\)

.

\(\frac{PL}{AE} = \frac{(F_B + F_v)L}{AE} + \frac{(F_B + F_v)L}{AE + kL}\)

.

\(F_B + F_v = 23119,45\)

N.

In het rechterlid heb je twee termen. De eerste term gaat over het stuk zonder veer. De tweede term gaat over het stuk met veer, hier moet je dus ook rekening houden met de stijfheid van de veer!

Tweede compabiliteitsvergelijking:

\(\delta_v = \delta_{BC}\)

.

\(\frac{F_v}{k} = \frac{(F_B + F_v)L}{AE + kL}\)

.

\(F_B = 2,7057 F_v\)

.

Hier gaat het dus om de verlenging van B t.o.v. C die gecompenseerd wordt door de verlenging door de veerkracht.

Als je het tot hier begrijpt, kan de afwerking geen probleem meer zijn.

[josias]

F_a wordt niet getekend en komt in geen van beide vergelijkingen voor omdat de inklemming in A behouden blijft.

Eerste compabiliteitsvergelijking:

\(\delta_P = \delta_B\)

.

\(\frac{PL}{AE} = \frac{(F_B + F_v)L}{AE} + \frac{(F_B + F_v)L}{AE + kL}\)

.

\(F_B + F_v = 23119,45\)

N.

In het rechterlid heb je twee termen. De eerste term gaat over het stuk zonder veer. De tweede term gaat over het stuk met veer, hier moet je dus ook rekening houden met de stijfheid van de veer!

Tweede compabiliteitsvergelijking:

\(\delta_v = \delta_{BC}\)

.

\(\frac{F_v}{k} = \frac{(F_B + F_v)L}{AE + kL}\)

.

\(F_B = 2,7057 F_v\)

.

Hier gaat het dus om de verlenging van B t.o.v. C die gecompenseerd wordt door de verlenging door de veerkracht.

Als je het tot hier begrijpt, kan de afwerking geen probleem meer zijn.

Hallo Filippus,

Ik had het niet beter kunnen omschrijven, maar aan de andere kant is er ook een beetje inzicht nodig voor degene die problemen hebben met dit

soort opdrachten.

In het boek van Timoshenko (Mechanics of materials) wordt uitvoerig over dit soort problemen geschreven en voorbeelden gegeven.

[Filippus]

Ik had het niet beter kunnen omschrijven, maar aan de andere kant is er ook een beetje inzicht nodig voor degene die problemen hebben met dit

soort opdrachten.

Klopt, maar zoals bij alles geldt "oefening baart kunst".

In het boek van Timoshenko (Mechanics of materials) wordt uitvoerig over dit soort problemen geschreven en voorbeelden gegeven.

Ook een zeer goed boek is Sterkteleer voor Technici van Hibbeler (dat blijkbaaar ook door de TS wordt gebruikt).

[robertus58a]

Ik ben sinds kort op dit forum terechtgekomen en was aangenaam verrast door de vele discussies aangaande het volgende schema:

springbar1 1060 keer bekeken

Uit de laatste reacties blijkt nog steeds verwarring over de oplossing. Uitgaande van het voorgaande schema, kan het besproken probleem gestructureerder opgelost worden door de verschillende onderdelen "los te koppelen", zoals:

springbar2 1061 keer bekeken

Elk van de vier onderdelen moet in evenwicht zijn. (let op rechter steunpunt)

Mbv de twee midddenstukken kan je het probleem oplossen. Door de onderdelen te scheiden is een extra axiale kracht, F, geintroduceerd.

Er zijn nu 4 onbekenden: Fa, Fb, x en F. x (de rek in m) is voor beide onderdelen gelijk. Om deze 4 onbekenden te bepalen heb je 4 vergelijkingen nodig. Deze zijn op te stellen door voor de twee midden stukken de krachten balans en de rek te bepalen:

linker middenstuk

+Fa + F = 0 (1)

(x/L).E = F/A (2)

rechter middenstuk

-F + P –k.x – Fb = 0 (3)

(-F + P – k.x)/A = (x/L).E (4)

Met wat rekenwerk is de oplossing:

Fa: -(A*E*P)/(L*k + 2*A*E)

Fb: -P*((L*k + A*E)/(L*k + 2*A*E) - 1)

x: (L*P)/(L*k + 2*A*E)

F: (A*E*P)/(L*k + 2*A*E)

nb. na invullen van de gegevens is x=0.039e-3m en Fv=200e6*0.039e-3 = 7800 N