Golfmechanische model

[QuarkSV]

Hallo

Ik zit met twee vragen over de oplossingen van de Schrödingervergelijking:

1) Stel dat je de oplossing van de Schrödingervgl voor n=3, l=0 moet bespreken, hoe moet je hier dan aan beginnen? Heb ik goed dat je dan psi, psi² en psi²dV moet bespreken? De fysische betekenis van een oplossing van de Schrödingervgl is toch de waarschijnlijkheid om in een bepaald gebied (orbitaal) een elektron aan te treffen, klopt dit? Indien n=3 dan heb je te maken met een M-schil en dus l=0, l=1 en l=2. Deze geven respectievelijk 3s, 3p, 3d, maar je moet enkel l=0 bespreken dus 3s en verder is m=0.

Wat bedoelen ze dan nog met "bespreek de oplossing van de Schrödingervgl. voor n=3, l=0"? Wat moet er nog bij?

2) Dan vraag ik me af of je hierdoor ook het verschil in energie kunt verklaren tussen 3s en 3p?

[flamey]

1) De vraag is heel breed. Ik zou er dus eigenlijk niet heel veel tijd aan besteden, want je kunt het zo uitgebreid antwoorden als je zelf wilt. Hadden ze de vraag maar duidelijker moeten stellen... Wat je zegt klopt in ieder geval.

2) Als je de golffuncties

\(\psi\)

hebt kun je uit

\(E=<\psi|H|\psi>\)

de energie uitrekenen (H is hier de Hamiltoniaan behorend bij dit probleem). Dus ik zou zeggen dat je hieruit het verschil in energie kan verklaren.

[QuarkSV]

1) Oké, maar het is eerder een inleidende cursus die we krijgen hierover dus kan iets "fundamenteels" vergeten zijn?

2) Zoals ik al zei is het een inleidende cursus en de formules (met die Hamiltoniaan) hebben we (nog) niet gezien. Dus als je ervan uitgaat dat we niet op die manier het verschil in energie moeten kunnen verklaren, hoe zou je het dan wel kunnen? Ik denk zelf dat het antwoord 'nee' is omdat het het hoofdquantumgetal (n) is die de E bepaalt (verbeter me indien ik verkeerd ben) en aangezien dit in beide gevallen 3 is, kun je dat niet.

2 is eigenlijk een vervolg op 1 en ik weet niet of ik goed ben bij 1 dus ik twijfel. Er staat namelijk na vraag 1: "kun je HIERUIT dan het energieverschil tussen 3s 3p bepalen?" dus ik zou de vraag als volgt stellen (mss duidelijker voor jou, aangezien je er meer van kent dan ik): "Kun je uit de fysische betekenis van de oplossingen van de Schrödingervgl. en door iets uit de oplossingen af te leiden, het energieverschil bepalen tussen een 3s en 3p orbitaal?

[flamey]

Ow sorry, ik wist niet dat het een inleidende cursus was .

Ik denk dat het afhangt van de context. Gaat de vraag bijvoorbeeld over een waterstofatoom of over een atoom met meer dan 1 elektron? In het eerste geval heb je namelijk gelijk: de energieniveaus's hangen alleen af van het hoofdkwantumgetal, waardoor de 3s en 3p dezelfde energie hebben.

Bij atomen met meerdere elektronen is het niet meer waar. De energie zal in het algemeen afhangen van de overige kwantumgetallen. Als ik het me goed kan herinneren is de Schrodingervergelijking echter niet meer analytisch op te lossen vanaf het He-atoom en groter. Empirisch kan men wel het verschil tussen 3s en 3p verklaren voor dergelijke atomen. Wordt er iets in jullie cursus verteld over screening?

[QuarkSV]

Geen probleem hoor, ik had het moeten vermelden in mijn eerste post .

Er wordt in onze cursus niets verteld over "screening". Ik weet het volgende: het oplossen van de Schrödingervgl. is niet meer "doenbaar en nuttig" voor atomen verder dan H (He nog net). De oplossing van de Schrödingervgl. laat toe om de "waarschijnlijkheid" te berekenen maar ook de "vorm".

De oplossing vd vgl. heeft dus eigenlijk een goeie kijk op de waarschijnlijkheid om een elektron ergens in een gebied in de ruimte aan te treffen. ψ²dV geeft een maat voor de waarschijnlijkheid om een elektron terug te vinden in volume-element dV. Trekken we dit door dan zien we een maat voor de elektronenladingsdichtheid in volume-element dV. Een orbitaal (90% van de elektronendichtheid is er verdeeld) is één van de oplossingen van de Schrödingervergelijking.

Ik moet in de eerste plaats de vraag oplossen: "Bespreek de oplossingen van de Schrödingervergelijking?" dan "Wat is de fysische betekenis ervan?" en "Wat kan men besluiten uit de oplossingen van de Schrödingervergelijking (vraag ongeveer zelfde denk ik als eerste)?"

Tweede luik: Bespreek een oplossing voor n=3 en l=0 (psi, psi² en psi²dV). Dan wordt er gevraagd: "Kunnen we hierdoor ook het verschil in energie verklaren tussen een 3s en 3p orbitaal?"

Dit klopt toch, dacht ik: "De fysische betekenis van een oplossing van de vergelijking van Schrödinger is de maat voor waarschijnlijkheid/kans, om de oplossing fysisch relevant te maken moet je een aantal restricties invoeren zoals ψ moet genormeerd zijn, moet eindig zijn, moet continu zijn en moet eenwaardig zijn bij alle ruimtelijke coördinaten. Je hebt een puntwaarschijnlijkheid (ψ²) en je hebt een volumewaarschijnlijkheid (ψ²dV). Die laatste staat voor maat voor de kans om een deeltje terug te vinden binnen een volume-element dV. We zagen ook nog bolwaarschijnlijkheid (ψ²V), dit is dan de totale waarschijnlijkheid voor elektron op een bep afstand van de kern.

Wat kan men nu afleiden uit de oplossingen van de Schrödingervergelijking? Volgens mij is dat dan een beetje hetzelfde als ik al vermelde bij "wat is de fysische betekenis?". Niet?

Maar dan vraagt men "bespreek de opl. voor n=3, l=0". Ik zit daar vast omdat ik niet weet wat precies moet verwoorden.

[flamey]

Wat je zegt klopt helemaal . En als je tweede vraag over waterstof gaat is het antwoord daarop ook volledig correct (het gedeelte dat 3p en 3s dan dezelfde energie hebben). Het klopt ook wat je zegt dat je met de golffuncties het verschil in energie kan verklaren (voor elk atoom!) Klein detail: ik zou wel zeggen |ψ|² ipv ψ². Dit omdat ψ complexwaardig is in jouw geval (vandaar de absoluutstrepen). Dit is ook vaak in het algemeen zo.

Voor als je tweede vraag niet per se over waterstof gaat:

Screening is het concept dat electronen die verder van de atoomkern zitten, de invloed van de kern minder voelen. Dit komt omdat elektronen die dichter bij de kern zitten de positieve lading 'afschermen' voor elektronen die verder van de kern liggen. Daarom heeft 3p bijv. een hogere energie dan 3s. Het 3s electron ligt immers dichter bij de kern, en kan zijn energie verlagen vanwege de aantrekkende kracht met de positieve atoomkern. Wel moet je oppassen met dit concept wanneer je orbitalen met verschillend hoofdkwantumgetal gaat vergelijken. Ook moet je in je achterhoofd houden dat dit een beetje 'handwaving' argumenten zijn. Tot slot: bij waterstof is screening niet van belang omdat het maar 1 elektron heeft!

[QuarkSV]

Oké, heel erg bedankt voor je reactie(s). Ik zal de vraag zo oplossen dat ik mogelijk "waterstof-niet waterstof" opsplits. Wat je zegt over "screening", dit hebben we ook gezien in dus het is me niet onbekend, maar we hebben het nooit screening genoemd (weet ook niet waarom).

Nog een slotvraag: stel dat het dus niet persé waterstof is, maar bv zuurstof, koolstof, etc (gelijk wat), dan moet je dus de verklaring geven die je daar geeft met de afstand tot de kern van dichte elektronen ivm "verre" elektronen. Maar kun je nu verklaren door de oplossing te bespreken van n=3 l=0 dat de energie van 3s orbitaal anders is dan de energie van een 3p orbitaal? Je zegt dat ik correct was, maar kun je even kort zeggen of je in het geval je niet waterstof-elementen beschouwd, op basis van de oplossing van de Schrödingervergelijking kunt verklaren dat er een energieverschil is tussen 3s en 3p orbitaal.

Ik raak de draad wat kwijt, als ik mijn antwoord probeer te structureren in één antwoord.

[flamey]

Als je de Schrodingervergelijking zou hebben opgelost dan is het inderdaad gewoon mogelijk. Dit gebeurt dan eigenlijk op soortgelijke wijze als hoe de energieniveau's voor het waterstofatoom zijn afgeleid met de Schrodingervergelijking. Misschien dat dit je helpt:

De Schrodingervergelijking is: Hψ=Eψ, met H de Hamiltoniaanoperator. Dus als je de golffunctie hebt, zal die in het algemeen van de kwantumgetallen n,l en m afhangen. Vergeet m even en dan zou je bijv. n en l kunnen invullen, dan teruginvullen in de Schrodingervergelijking. Dan krijg je iets in de trend van: constante*ψ. Die constante is dus de energie. Je rekent hem dus eigenlijk gewoon uit.

Het is echt een 'stel dat...' vraag, aangezien men geen analytische uitdrukkingen heeft voor de golffuncties voorbij He! Maar als men de golffunctie heeft zou je gewoon bovenstaand recept kunnen gebruiken of die van mijn eerste post.

Fysisch gezien komt het dan toch neer op screening. Stel men heeft ψ. Men kan |ψ|^2 plotten (bijv. r=constant), en dat geeft je orbitaal. Dan zie je dat 3p elektronen verder van de kern liggen dan 3s electronen. Maar onthou dat je zo'n vergelijking niet mag maken wanneer je orbitalen vergelijkt met verschillend hoofdkwantumgetal! Daar bestaan namelijk uitzonderingen op.

[aestu]

De reden waarom de energie en de golffuncties gelabeld zijn door bijvoorbeeld een kwantumgetal l, is omdat in de Hamiltoniaan de operator L^2 tevoorschijn komt. ( met L het impulsmoment). Nu, de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking is een eigenwaardevergelijking H |Psi> = E |Psi> . Als in die H de operator L^2 verschijnt, kan je wel aanvoelen dat die golffunctie |Psi> de eigenfunctie van L^2 zal moeten bevatten. De eigenfuncties van L^2 zijn de sferische harmonieken Y_lm. Deze sferische harmonieken zijn gelabeld door een l en een m. We hebben dat

Y^2 |Y_lm> = l(l+1) |Y_lm>. (in eenheden van de gereduceerde Planckconstante.) Dit zal dus een term l(l+1) opleveren in de energie, m.a.w. de energie gaat ook kunnen gelabeld worden door dat kwantumgetal l dat samenhangt met welke golffunctie ( en dus welke toestand het elektron zich in bevindt ) je bekijkt.