[statica]

[oktagon]

Als je een doorbuiging berekent voor een centr.puntlast bij een vrij opgelegde ligger zoals :

\(\ f=P*L^3 \div 48 EI\)

en je gaat de eenheden van teller en noemer bekijken,dan zie je

\(\ N*mm^3 \div N*mm^2\)

,dat door deling in een mm maat voor

\(\ f \)

resulteert.

Als ik in een dwarskrachten-diagram (D-lijn) een moment kan berekenen,door van een deel links van een gekozen doorsnede de oppervlakte van dat vlak te berekenen door de gemiddelde hoogte (in N) en horiz.afstand (in mm),kan ik de gevonden waarde weer overbrengen in een momentenlijn (M-lijn).

Stel dat je nu de oppervlakte van een deel of van het totale moment van de M-lijn het gemiddelde moment (in N*mm) vermenigvuldigd met de horizontale afstand vanaf de gekozen doorsnede ( in mm), krijg je een waarde van

\(\ N*mm^2 .\)

Vb. als boven:

\(\ 1/2 * 1/4 PL * 1/2 L N*mm^2 = 1/16 PL^2 (N*mm^2) \)

Die eenheid komt weer overeen met die van de

\(\ EI\)

(stijfheidsfactor) en ik zoek nu de verhouding en het verband tussen die twee factoren.

[robertus58a]

De methode (verhouding,verband) waarnaar je zoekt staat bekend als de "methode van get gereduceerde momenten vlak". De zakking kan bepaald worden vanuit de gereduceerde momentenlijn. NB het gereduceerde moment is gedefineerd als

\(\frac{M}{EI}\)

. De zakking is dan het oppervlakte van de gereduceerde momentenlijn * afstand vh zwaartepunt tot de plaats van de zakking. Voor het betreffende voorbeeld geldt dan:

Opp (driehoek) gereduceerde momentenlijn is :

\(\frac{1}{2}.\frac{1}{4} P L . \frac{1}{2} L = \frac{1}{16} P L^2\)

. De afstand van het zwaartepunt van dit oppervlak tov de ondersteuning:

\(\frac{2}{3} . \frac{1}{2} L = \frac {1}{3} L\)

Zakking van uiteinde tov midden balk is dan Oppervlakte * Zwaartepuntsafstand:

\(\frac{1}{16} P L^2 . \frac{1}{3} L = \frac{1}{48}P L^3\)

[oktagon]

@ Robertus:

Bedankt voor de verdere uitwerking,Robertus;ik was al gevorderd naar L/3 en had ook een onderzoek hiermede op het oog.

Je hebt dus voor de zakking geconcludeerd:

Zakking van uiteinde tov midden balk is dan Oppervlakte * Zwaartepuntsafstand: f=PL^3/48 ; lijkt mooi,maar de officieele formule voor max. doorbuiging luidt f=PL^3/48EI.

Ik vermoed dat er een formule bestaat: EI*f=PL^3/48 voor deze ligger met centrale puntlast en dat was nmm. de aanloop tot de officieele formule door verplaatsing van de EI naar de noemer van de deling en er vindt dus geen vereenvoudiging plaats.

[robertus58a]

Sorry ik ben slordig geweest en had EI vergeten in het gereduceerde moment. Met het gereduceerde moment

\(\frac{1}{4} \frac{P L}{EI}\)

wordt eea dan:

\(\frac{1}{2}.\frac{1}{4} P L . \frac{1}{2} L = \frac{1}{16} P L^2\)

moet zijn:

\(\frac{1}{2}.\frac{1}{4} \frac{P L}{EI} . \frac{1}{2} L = \frac{1}{16} \frac {P L^2}{EI}\)

en het uiteindelijke resultaat voor de zakking:

\(\frac{1}{16} \frac{P L^2}{EI} . \frac{1}{3} L = \frac{1}{48} \frac{P L^3}{EI}\)

.

[oktagon]

En verandert er dus niets!

[robertus58a]

Er verandert wel iets: de formule voor de zakking is nu correct.

lijkt mooi,maar de officieele formule voor max. doorbuiging luidt f=PL^3/48EI.

In je eerste bericht vroeg je om het verband tussen de oppervlakte van een bepaald deel van de momentenlijn (Nmm²) en de zakking (mm). Of begrijp ik dat niet goed. Dat verband is (nogmaals) de afstand van het zwaartepunt van voornoemd oppervlak tot de oplegging gedeeld door EI. Of alleen maar de afstand van het zwaartepunt tot de oplegging indien je uitgaat van het gereduceerd moment (M/EI).

Probeer dit ook maar eens op een eenvoudiger standaard belastingsgeval, bijv. voor een aan 1 zijde ingeklemde balk (EI, L) met een puntlast (P tpv L):

Gereduceerde momentenlijn is een driehoek. Het gereduceerde moment is 0 aan einde oplegging en is

\(\frac{PL}{EI}\)

bij de inklemming. Het oppervlakte van de gereduceerde momentenlijn is dan

\(\frac{1}{2}.(L).(\frac{PL}{EI}) = \frac{1}{2} \frac{PL^2}{EI}\)

. Afstand van het zwaartepunt van deze driehoek tot aan het einde van de balk is

\(\frac{2}{3}L\)

.

Zakking is dan (de alombekende):

\(\frac{1}{2} \frac{PL^2}{EI} . \frac{2}{3}L = \frac{FL^3}{3EI} \)

[oktagon]

@ Robertus:

Bedankt voor de verdere uitwerking,Robertus;ik was al gevorderd naar L/3 en had ook een onderzoek hiermede op het oog.

Je hebt dus voor de zakking geconcludeerd:

Zakking van uiteinde tov midden balk is dan Oppervlakte * Zwaartepuntsafstand: f=PL^3/48 ; lijkt mooi,maar de officieele formule voor max. doorbuiging luidt f=PL^3/48EI.

Ik vermoed dat er een formule bestaat: EI*f=PL^3/48 voor deze ligger met centrale puntlast en dat was nmm. de aanloop tot de officieele formule door verplaatsing van de EI naar de noemer van de deling en er vindt dus geen vereenvoudiging plaats.

Mijn topic vraag was al onder mijn bereik (zie boven),verder moest ik het onderzoek nog doen om tot de ontdekking te komen,dat die in je latere berichten werden uitgewerkt.

Mijn achterliggende gedachte was in feite om op de een of andere manier een verhouding te vinden tussen de teller en de noemer van de doorbuigingsformule;de grafische benadering met oppervlaktevermenigvuldiging is wel duidelijk.

Waar ik dus tot heden op kom is het volgende:

Je gaat uit van een vastgestelde doorbuiging,bijv.

\(\ L/300 \)

en die is gelijk aan

\(\ PL^3/48EI \)

en daarmee kun je het traagheidsmoment berekenen,nl.

\(\ I = 300 PL^2/ 48 E \)

en het getal

\(\300\)

is herkenbaar als deel van f uit de max.toegestane als

\(\ L/250,L/333,L/500,etc\)

;

dit is voor mij wrs. de achterliggende vereenvoudiging geweest voor alle doorbuigingsformules.

Je kunt vervolgens het M-element invoeren -in dit geval van- M=0.25PL en de factor PL = 4M en in de eerder genoemde formule

\(\ I= 300 ML/12E\)

en dan direct je balkprofiel vaststellen,ervan uitgaande dat de toelaatbare spanning niet wordt overschreden

\(\ W= M/sigma\)

!

[oktagon]

Dit deel van tekst: "en het getal 00 is herkenbaar" kon ik niet meer wijzigen,moest zijn 300

[robertus58a]

Je kunt vervolgens het M-element invoeren -in dit geval van- M=0.25PL en de factor PL = 4M en in de eerder genoemde formule

\(\ I= 300 ML/12E\)

en dan direct je balkprofiel vaststellen,ervan uitgaande dat de toelaatbare spanning niet wordt overschreden

\(\ W= M/sigma\)

!

Dit is dan 1 formule voor 1 specifiek geval. Wat is het voordeel om deze formule te gebruiken ipv

\(I=\frac{PL^3}{48Ef}\)

met bijv.

\(f=\frac{L}{300} \)

[oktagon]

Die kun je natuurlijk ook gebruiken ,als je dat makkelijker vind!