Berekening van afstand via reeksen?

[wfhvw]

Hallo,

Als zeer geinteresseerde oudere leek probeer ik te begrijpen wat de essenties van de e-macht en de sinus figuur zijn. Dit alles zoveel mogelijk zonder formules te gebruiken. De essenties van de e-macht heb ik op deze manier voor mijzelf geheel doorgrond en beschreven zonder een enkele formule te gebruiken. Na het begrijpen van de essenties is het afleiden van de formules min of meer bijzaak. Nu probeer ik hetzelfde met de sinus te doen.

Ik vermoed dat een in de ruimte zwevend voorwerp via een veer of elastiek verbonden aan een denkbeeldig oorsprong punt bij aanbrengen van een willekeurige snelheid een sinus vormige afstands grafiek laat zien als de tegenkracht van de veer recht evenredig is aan zijn uitgerekte lengte.

Ik probeer, door de tijd in oneindig kleine stukjes te verdelen, de berekening voor afstand en snelheid voor iedere t uit te rekenen. Ik verwachtte een bepaalde schoonheid in de resultaat formules te zien maar dit blijkt niet het geval te zijn. Althans als ik geen verschrijvingen heb gemaakt en die kans is heel erg één gedeeld door zeer klein...

Ik weet haast wel zeker dat hiervoor één of andere beroemde wiskundige dit zo heeft berekend of iets in die richting, alleen weet ik niet wie of waar ik een beschrijving van deze (foute?) methode kan vinden of hoe dit in wiskundige termen wordt genoemd.

Ik heb al ontzettend veel op Internet rondgezocht maar iedere website in die richting, zonder enige uitzondering, begint meteen met het verklaren van formules via formules en dat is nou juist wat ik niet zoek.

Wie kan mij een hint geven in welke richting te denken of waar te zoeken?

Ben benieuwd, alvast bedankt,

Henk

[Bartjes]

Ik probeer, door de tijd in oneindig kleine stukjes te verdelen, de berekening voor afstand en snelheid voor iedere t uit te rekenen. Ik verwachtte een bepaalde schoonheid in de resultaat formules te zien maar dit blijkt niet het geval te zijn. Althans als ik geen verschrijvingen heb gemaakt en die kans is heel erg één gedeeld door zeer klein...

Bedoel je echt oneindig kleine stukjes, of alleen zeer kleine stukjes (maar zodanig dat een eindig aantal van die stukjes samen weer één seconde vormen)?

Laat anders eens zien, hoe je methode werkt?

[wfhvw]

Hallo,

Ik ben absoluut geen ster in wiskunde (gemiddeld cijfer 4 op schoolrapport) omdat de formules mij pas interesseren als ik de oorsprong van de principes mij heb eigen gemaakt en die heb ik eigenlijk nooit goed begrepen of die werden niet goed uitgelegd...

Ik stel mij voor dat het genoemde voorwerp op een gegeven moment zich wat bewegings richting betreft een keer omkeert omdat de tegenkracht steeds maar meer toeneemt. De afstand waarop dit gebeurd noem ik dan 1. De tijd die hiervoor nodig is deel ik dan op in een aantal (n) hele kleine evengrote tijd stappen. Iedere tijdstap (ts) is dan qua tijd 1/n groot. Bij aanvang van de allereerste tijdstap (ts0) is de snelheid v0=1. De versnelling/vertraging (a) is dan volgens een mij ooit geleerde formule gelijk aan v0.t + 1/2.a.t^2. Ik ga er dan van uit dat de betreffende vertraging als een negatieve waarde in (a) dient te worden ingevuld.

De vertraging kan in de heel korte tijdstap (ts) als constant worden beschouwd. De vertragingsfactor (a) is dan altijd gelijk aan de op dat moment totaal afgelegde afstand (stt) van het voorwerp ten opzichte van de oorsprong. De eindsnelheid (ve) van een bepaalde tijdstap is dan gelijk aan de beginsnelheid (vb) plus de vertraging (a) maal de tijd (t). Dus ve = vb + a.t. (is dit de juiste formule?) Deze eind snelheid is dan weer te gebruiken als de begin snelheid voor de volgende tijdstap.

Voor tijdstap ts0 vindt ik dan:

v0b = 1 (begin snelheid)

a0 = 0 (vertraging)

st0 = t (afstand)

stt = t (totale afstand)

v0e = 1 (eind snelheid)

Voor tijdstap ts1:

v1b = 1

a1 = t

st1 = t-1/2.t^3

stt = 2t-1/2.t^3

v1e = 1-t^2.

Voor tijdstap ts2:

v2b = 1-t^2

a2 = -2.t+1/2.t^3

st2 = t-2.t^3+1/4.t^5

stt = 3.t - 5/2.t^3 + 1/4.t^5

v2e = 1 - 3.t^2 + 1/2.t^4

enz.

Ik verwachtte (ergens ooit eens op school gehad?) dat bij iedere volgende totaal afstand (stt) er naast de telkens met t vermenigvuldigde factor 1.t, 2.t, 3.t enz. er iets van een factor 1/2.t^3, 1/4.t^5, 1/8.t^7 enz. bij zou komen maar dat zie ik hier niet gebeuren. Of maak ik een denkfout of haal ik hier iets door elkaar?

groet,

Henk

[Bartjes]

Wat doe je met: F = m.a en F = - k.x ?

(k is een veerconstante.)

[Bartjes]

Na wat zoeken kom ik hier op uit:

http://en.wikipedia.org/wiki/Verlet_integr...Velocity_Verlet

Is zo iets de bedoeling? Misschien kunnen mensen met kennis van numerieke wiskunde een handje toesteken, want ik ben daar niet in thuis...