Traagheidsmoment van een driehoekig prisma

[ottocruyt]

hallo,

ik heb hier http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntr..._1995120745.pdf, de formule voor het traagheidsmoment (NIET oppervlakte-, maar rotatie dus) gevonden, nl. (m*(a²+b²))/18.

ik ben op zoek naar het traagheidsmoment van een driehoekig prisma, dus een driehoek die in de diepte een dikte heeft.

nu is mijn vraag is deze formule juist? en is deze dan een omwentelling rond de z-as (diepte) en in het zwaartepunt van de driehoek?

dank bij voorbaat

[Axioma91]

Het traagheidsmoment is gedefinieerd als:

\(I=\int r^2 dm\)

Dat betekent dus dat je kijkt naar "hoe traag" de massa op een punt is ten opzichte van het draaipunt. Hoe je aan die formule komt, geen idee -> is dat het traagheidsmoment van een driehoek met uniforme massa verdeling om een handige as? Er is niet "een" formule voor het traagheidsmoment van "elk" object. Ieder object heeft z'n eigen traagheidsmoment met daarbij as-/draaipuntgebonden.

Je kan dus een integraal opstellen en die uitrekenen voor jouw prisma. Je moet dus kijken wat je draaipunt/as is.

In het kader waarvan wil je dit te weten komen? Die integraal kan nog best pittig zijn..

[aadkr]

scan0003 1822 keer bekeken

Ik heb het massatraagheidsmoment berekent van de volgende driehoek met diepte c . en dichtheid is

\(\rho\)

De hoekpunten van de driehoek zijn : O=(0,0) A=(5,6) B=(15,0)

Het zwaartepunt ligt op

\(\left( \begin{array}{c} \frac{20}{3} \\ 2 \end{array} \right) \)

Een lastige berekening.

[aadkr]

Een kleine correctie

In de rechterbovenhoek van de afbeelding staat de formule: dm=......

Dit moet zijn : m= .......

[Axioma91]

Hm ja, persoonlijk zou ik eerst over y integreren (de integratievolgorde veranderen).. dat scheelt de helft aan berekening. Verder leid ik uit je integralen af dat de oorsprong het draaipunt is in het xy-vlak. Was dit de bedoeling? --> anders moet de inertia nog een klein beetje verschoven worden naar het massamiddelpunt, of welk punt dan ook.. Verder klopt het volgens mij wel!

[aadkr]

Ik heb inderdaad eerst over y geintegreerd en daarna over x . De rotatieas gaat door de oorsprong en staat loodrecht op het vlak van tekening.

[ottocruyt]

Nu is de taak afgegeven, we hebben die formule gebruikt. We moesten een dynamische analyse van een stangenmechanisme uitvoeren met gebruik van matlab. Een van de stangen was een houder en die gingen we modelleren aan de hand van een driehoek (dus eigenlijk een stang met een verschoven massacentrum). De assistenten zeiden dat dit niet veel meer werk was ten opzichte van een gewone stang. Wat mij dus ook doet vermoeden dat ze wel een of andere kant en klare formule voor het massatraagheidsmoment van een driehoek(in diepte) hadden. Dus die integraalrekening was denk ik niet de bedoeling (alleszins niet als ik "vrij eenvoudig" gelijkstel aan "het niet gebruiken van integralen").

toch bedankt voor jullie hulp

[Axioma91]

Ik heb inderdaad eerst over y geintegreerd en daarna over x . De rotatieas gaat door de oorsprong en staat loodrecht op het vlak van tekening.

Niet echt? Maargoed.

Wat betreft de "eenvoudigheid" hierboven: aannemend dat je aan een uni studeert, vind ik dat geen logische redenering. Een integraal opstellen en oplossen is vaak eenvoudiger dan een formuletje op internet zoeken en daar een hoop mee rommelen.

[aadkr]

Ik had beter in mijn afbeelding bij dat eerste integraalteken de grenzen voor de x kunnen aangeven , en bij het tweede integraaalteken de grenzen voor de y.

Dat je eerst naar y moet integreren en daarna naar de x , kan niet anders ,want doe je dat andersom , dus eerst naar de x integreren en daarna naar de y ,dan kom je niet tot een oplossing van de dubbelintegraal.

[Axioma91]

Ik had beter in mijn afbeelding bij dat eerste integraalteken de grenzen voor de x kunnen aangeven , en bij het tweede integraaalteken de grenzen voor de y.

Dat je eerst naar y moet integreren en daarna naar de x , kan niet anders ,want doe je dat andersom , dus eerst naar de x integreren en daarna naar de y ,dan kom je niet tot een oplossing van de dubbelintegraal.

Misschien bedoel je dat hierboven niet, maar ik zie niet waarom je bij deze integraal de integratievolgorde niet kan veranderen. Merk dus op, dat we jouw twee dubbelintegralen samen in 1 integraal stoppen, en dan dy dx integreren met goede grenzen.. (Y: 6x/5 --> -3x/5 + 9 en X: 0 --> 15

[aadkr]

Ik begrijp niet goed wat je bedoeld.

Ik heb eerst het massatraagheidsmoment berekend t.o.v. een as door de oorsprong van de rechthoekige driehoek met hoekpunten (0,0) (5,0) en (5,6) . Daarbij heb ik als grenzen voor de x aangenomen x=0 tot x=5 . En als grenzen voor de y y=0 en y=6/5.x .

Daarna heb ik het massatraagheidsmoment berekend van de rechthoekige driehoek met als hoekpunten (5,0) (5,6) en (15,0)

Als grenzen voor de x heb ik aangenomen x=5 tot x=15 . En voor de y y=0 tot y=-3/5.x+9

Dit kan toch niet berekend worden met 1 dubbelintegraal ?

[aadkr]

scan0001 1805 keer bekeken

[Axioma91]

Ik begrijp niet goed wat je bedoeld.

Ik heb eerst het massatraagheidsmoment berekend t.o.v. een as door de oorsprong van de rechthoekige driehoek met hoekpunten (0,0) (5,0) en (5,6) . Daarbij heb ik als grenzen voor de x aangenomen x=0 tot x=5 . En als grenzen voor de y y=0 en y=6/5.x .

Daarna heb ik het massatraagheidsmoment berekend van de rechthoekige driehoek met als hoekpunten (5,0) (5,6) en (15,0)

Als grenzen voor de x heb ik aangenomen x=5 tot x=15 . En voor de y y=0 tot y=-3/5.x+9

Dit kan toch niet berekend worden met 1 dubbelintegraal ?

Hmm ik denk het wel? Even een vraag; is de integratievolgorde het probleem; wiskundig gezien, of klopt er fysisch iets niet volgens jou?

Volgens mij is de volgende integraal gelijk aan jouw twee aparte integralen bij elkaar opgeteld.

integraal 1805 keer bekeken

[aadkr]

Dat is knap gevonden. Zo kan het natuurlijk ook.

Maar waar ik tegenaan loop zal ik laten zien aan de hand van een berekening.

[aadkr]

scan0002 1806 keer bekeken