Quantummechanische spin

[Neutra]

Waardoor is het niet toegestaan om de spin, eigenlijk het magnetische spinimpulsmoment, van een een elektron te vergelijken met een roterend elektron?

Anders gezegd: waardoor heeft de spin geen klassiek analogon?

(Zijn deze twee vragen inderdaad gelijkwaardig?)

NB Zie ook topic "Wat is spin?"

[physicalattraction]

Een reden die ik me kan voorstellen is dat een elektron een elementair deeltje en dus per definitie geen volume heeft. Er valt dan ook niks rond te draaien, oftewel, het magnetisch impulsmoment

\(\frac{1}{2} q r \times v \rightarrow 0\)

voor

\(r \rightarrow 0\)

.

Dit bewijst echter niet of er een meetbaar verschil is tussen een "ronddraaiend elektron" en spin, dus de vraag blijft open.

[Neutra]

... elementair deeltje en dus per definitie geen volume heeft.

Waarom niet een massief, verder structuurloos bolletje met straal r?

Misschien is met 'uw' formule r te berekenen.

[physicalattraction]

Ik was al aan hetzelfde aan het denken. De straal van het elektron is dan natuurlijk gelinkt aan de snelheid waarmee hij ronddraait. Hoe kleiner het elektron, hoe sneller hij rond moet draaien. Ik begon dus eens te rekenen.

Stel we hebben een massieve, homogene bol (het elektron) met onbekende straal R. De ladingsdichtheid

\(\rho\)

is homogeen verdeeld over de bol en in totaal is de elektron lading bekend, dus kunnen we stellen:

\(e = \iiint_0^R \rho r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi = \rho \frac{4}{3} \pi R^3\)

en dus:

\(\rho = \frac{3e}{4 \pi} R^{-3}\)

.

Het magnetisch impulsmoment van een infinitesimaal stukje van het elektron wordt gegeven door (zie link in vorige post):

\(\vec{m} = \frac{1}{2} q \vec{r} \times \vec{v}\)

.

De snelheid in een cirkelbeweging wordt gegeven door:

\(| \vec{v} | = \frac{2 \pi}{T} |\vec{r} |\)

met T de omloopsnelheid van het elektron. De richting van

\(\vec{v}\)

staat altijd loodrecht op de richting van

\(\vec{r}\)

. We kunnen nu dus de volgende integraal opstellen:

\( |\vec{m}| = \frac{1}{2} |\rho| \iiint_0^R \frac{1}{T} 2\pi r^2 r^2 sin(\theta) dr d\theta d\phi\)

\( = \frac{3 |e|}{2 T 4 \pi} R^{-3} 8 \pi^2 \int_0^R r^4 dr\)

\( = \frac{3 |e|}{5 T} R^{-3} \pi R^5 = \frac{3 |e| \pi}{5 T} R^2\)

.

Op de link die ik in de vorige post gaf, staat een waarde van m in SI eenheden:

\(|\vec{m}| = 9284.764 \frac{J}{T} = 9284.764 \frac{kg m^2 / s^2}{kg / C s} = 9284.764 \frac{m^2 C}{s}\)

.

Met

\(|e| = 1.6 \cdot 10^{-19} C\)

vinden we nu dus de volgende verhouding tussen elektronstraal R en omlooptijd T:

\(\frac{R^2}{T} = 3 \cdot 10^{22} \frac{m^2}{s}\)

.

Stel nu dat de de straal van het elektron in de orde van de straal van de kern ligt, dus

\(R = 10^{-15} m\)

, dan zou

\(T = 3 \cdot 10^{-53} s\)

zijn. Dit is een factor 10⁹ kleiner dan kleinste tijdschaal die we kennen, de Planck tijd. Hieruit concludeer dat ik dat ofwel de straal van het elektron groter moet zijn dan 10^-15 m, maar dan zou hij al gedetecteerd moeten zijn op eenzelfde manier als waarop kernen zijn geidentificeerd (zie Rutherford experimenten), of spin kan niet opgevat worden als het klassiek ronddraaien van een macroscopisch geladen deeltje.

In bovenstaande redenering kunnen denk- en/of rekenfouten staan, dus misschien dat iemand anders de redenering een keer grondig kan doornemen?

[Neutra]

DePlanck lengte is een combinatie van elementaire grootheden die samen een dimensie lengte opleveren. Toevallig is die super klein. Dat dit de kleinst mogelijke lengte zou zijn, lijkt mij volledig uit de lucht gegrepen. Daarom heeft die lengte geen enkele fysische betekenis. De er met c aan gekoppelde Plancktijd heeft daarom voor mij evenmin een fysische betekenis.

Als we 'Planck' dus negeren, kan het elektron een roterend object zijn.

[sirius]

Er is blijkbaar zoiets als de klassieke electron straal wordt bepaald door de electrostatische energie gelijk te stellen aan de energie van het electron (511keV). Deze straal is ongeveer een femtometer.

Verder had ik bedacht dat je ook kunt stellen dat als het electron inderdaad een eindige grootte heeft en moet ronddraaien om zijn magnetisch moment te produceren, dat we de snelheid aan het oppervlak dan kunnen begrenzen met de lichtsnelheid. Zelf kom ik daarvoor ook op ongeveer een femtometer uit(rekenfouten voorbehouden). Toeval?

Verder kon ik niet zo snel een maximaal experimenteel bepaalde radius van het electron, maar als iemand die wel kan vinden, zou het deze discussie wel helpen.

[Neutra]

In plaats van de Planck-lengte had ik ook de neutra-lengte kunnen invoeren:

lichtsnelheid maal de constante van Planck gedeelde door een één of andere bekende energie op (sub-)atomair niveau.

Deze lengte heeft evenmin een fysische betekenis.

[Neutra]

Er is blijkbaar zoiets als de klassieke electron straal wordt bepaald door de electrostatische energie gelijk te stellen aan de energie van het electron (511keV). Deze straal is ongeveer een femtometer.

Ik kom hier binnenkort op terug met het topic 'geen antimaterie'.

[physicalattraction]

Indien bovenstaande formule in bericht 4 correct is en we limiteren de snelheid van de schil van het elektron tot de lichtsnelheid, dan geldt:

\(c = \frac{2 \pi R_{max}}{T} \Rightarrow \frac{1}{T} = \frac{c}{2 \pi R_{max}} \Rightarrow R_{max} = \frac {3 \cdot 10^{22} m^2s^{-1} \cdot 2 \pi}{3 \cdot 10^8 m s^{-1}} = 6 \cdot 10^{14} m\)

. Je bent het toch wel met me eens dat een elektron niet zo groot is he? Natuurlijk spelen er dan wel allang relativiteitseffecten een rol en is deze benadering niet meer geldig, maar je kunt het dan hoe dan ook niet als een eenvoudig ronddraaiend geladen bolletje zien.

Nogmaals: dit spreekt niet tegen dat je het wiskundig wel zo kan opvatten. Ik ben niet bekend met bewijzen/aanwijzingen waarom je dit niet wiskundig zou mogen stellen.

[Neutra]

R_max = cT/(2.pi)

[physicalattraction]

Ehm, ja, wat moet ik daarmee? Die heb ik inderdaad toegepast, en dan omgeschreven voor 1/T = ... en dan ingevuld in de uitdrukking in bericht 4 en zo een waarde voor R_max gevonden. Als je me op een rekenfout wil wijzen, kun je dan minder cryptisch zijn?

[Neutra]

Als je me op een rekenfout wil wijzen, kun je dan minder cryptisch zijn?

Je numerieke breuk lijkt me verkeerd ingevuld.

Hi,

Michel, dit sluit absoluut niet aan.

Ik verzoek een moderator dit af te splitsen tot een eigen topic voor Michel.

[physicalattraction]

Ik zie de rekenfout niet.

\(c = \frac{2 \pi R_{max}}{T} \Rightarrow T = \frac{2 \pi R_{max}}{c}\)

invullen levert op:

\(3 \cdot 10^{22} \frac{m^2}{s} = \frac{R^2}{T} = \frac{R_{max}^2}{\frac{2 \pi R_{max}}{c}} = \frac{R_{max} c}{2 \pi}\)

en dit levert de breuk op die ik hierboven meldde wanneer je de

\(c\)

en

\(2 \pi\)

de andere kant ophaalt.

Discussie over een elektron als torus in een viscoelastisch aether afgesplitst naar deze topic.