Stuiterende bal

[QuarkSV]

Hallo

Ik zit met het volgende: je laat een bal vallen van op 1m hoogte en telkens de bal op de grond valt, keert die terug tot op de helft van de hoogte. M.a.w. het gaat dus 1m 0.5m 0.25m 0.125m 0.0625m ... De bal zal ooit stoppen met botsen en een, volgens mij, eindige afstand afgelegd hebben...

Zou iemand de reeks kunnen in Latex plaatsen (ik kan hier niet mee werken) zodat er een sommatieteken, etc. voorstaat.

Ik zou willen weten hoeveel die eindige afstand is, hoe kan ik dit?

[ZVdP]

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\)

(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)

Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.

x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...

bereken nu eens x/2. Valt je iets op?

[Safe]

Dit lijkt me niet goed.

De bal legt 1m af, daarna 2*1/2m ...

[ZVdP]

De som is niet het eindantwoord, inderdaad.

[QuarkSV]

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\)

(Je kan op de formule klikken om de code te lezen)

Stel dat de som convergeert, en stel de waarde gelijk aan x.

x=1+1/2+1/4+1/8+1/16...

bereken nu eens x/2. Valt je iets op?

Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?

(sorry voor de misschien 'domme' vragen, maar ik ben bezig met dit stuk aan het leren ter voorbereiding op volgend jaar en deze vraag staat in mijn boek)

[Drieske]

Het valt me op dat x naar 2 gaat, maar dit nooit bereikt.. Hoe kun je weten dat de reeks convergeert en niet divergeert?

Nou, in dit heel specifieke geval kun je convergentie aantonen door gewoon meteen de limiet te berekenen. Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.

In het algemeen heb je daar testen voor...

[ZVdP]

Hier doe je dit door te kijken naar (x - x/2). Dit blijkt 1 te zijn.

Eigenlijk is dit niet genoeg. Je moet in principe apart nagaan dat de som convergeert voordat je dit trukje toepast (Ok, hier is het intuïtief duidelijk dat de som convergeert naar 2, als je de partiële sommen bekijkt op een getallenas.).

Maar een duidelijk tegenvoorbeeld:

\(\sum_{n=0}^\infty 2^n\)

\(x=1+2+4+8+16+32+...\)

\(2x=2+4+8+16+32+...\)

\(x-2x=1\)

\(x=-1\)

Verborgen inhoud

Het grappige is dat dit in een computer met two's complement wel klopt 0xF...F=-1

[Drieske]

Heb je helemaal gelijk in. Was een beetje kort uitgelegd door mij. Nu vormt dit hier inderdaad wel niet meteen een groot obstakel. Is het niet duidelijk dat de limiet 2 is, is het wel nog (vrij) goed te doen om te beargumenteren dat je som niet oneindig groot wordt. En dan kan je dat trucje wel doen.

[QuarkSV]

Oké, dat begrijp ik.

Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..

[ZVdP]

Kijk eens naar Safe zijn bericht:

De bal legt eerst 1m af, dan 2 keer 0.5m, daarna 2 keer 0.25m, 2 keer 0.125m,...

Herken je hier nu de som in?

[Axioma91]

Oké, dat begrijp ik.

Maar de afgelegde afstand is toch geen 2m? Ik zie niet in hoe ik eraan moet komen..

Je kunt bewijzen dat

\(\sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}\)

waar moet gelden dat a < 1.

Nemen we dit voorbeeld, waar a = 1/2 (want 1/{2^n} = (1/2)^n), dan volgt inderdaad dat de som 2 is.

Dit is een handig "trucje" voor een oneindige meetkundige reeks. Je kunt dit met inductie bewijzen, maar ik ga er niet vanuit dat je daar goed mee bekend bent. Je kunt voor nu intuitief bepalen waar een reeks naartoe convergeert, zoals hierboven dus gedaan...

Als je volgend jaar gaat studeren (?) dan kom je vrij snel in aanraking met convergentietesten en oplossingen van reeksen.

[Bartjes]

Zonder berekeningen:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/comm...diagram.svg.png

[QuarkSV]

Ik denk dat ik het snap. Als ik me baseer op deze eigenschap: "een meetkundige reeks is convergent als en slechts als |reden|<1 en de reekssom is dan gelijk aan a/(1-r)". Dan kom ik uit dat de reeks convergeert en dat de reekssom gelijk is aan 2.

Maar op de vraag 'hoeveel m legt de bal af?' kan ik toch niet 2 antwoorden... Want als je hem laat vallen, legt hij 1m af en komt 0.5m terug omhoog, gaat terug omlaag 0.5m (dan zit je al aan 2m in totaal), gaat terug 0.25m omhoog en omlaag (dan zit je al aan 2.5m) enzovoort...

[ZVdP]

Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.

Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:

1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)

[QuarkSV]

Het antwoord is inderdaad niet gelijk aan 2. Je moet de afgelegde weg zo schrijven dat de som erin voorkomt.

Schrijf de afgelegde weg nu eens zo:

1+(0.5+0.5)+(0.25+0.25)+(0.125+0.125)+...=1+2*(0.5+0.25+0.125+...)

Moet ik dit gewoon uitrekenen?