Convergentiegedrag

[QuarkSV]

Ik zit met volgende vraagstelling:



Ik weet echter niet hoe ik hieraan moet beginnen... Eerst dacht ik dat antwoord D (onderste) correct was, maar ik kan dit niet beargumenteren.

Heeft iemand een hint/tip zodat ik tot de correcte oplossing kan komen?

[JorisL]

Ja kan makkelijk inzien dat

\(b_n\)

niet convergeert. Welk kenmerk kan je hier makkelijk voor gebruiken?

Daarna kan je inzien dat

\(\forall n>1: \ln(n) < n\)

waarmee je er zou moeten geraken.

[QuarkSV]

Ja kan makkelijk inzien dat

\(b_n\)

waarmee je er zou moeten geraken.

Ik zie niet in hoe ik hieruit kan besluiten over het al dan niet convergent zijn van

\(a_n\)

..

PS: is antwoord D (onderste) nu verkeerd of niet?

[sirius]

Ik denk niet dat b_n een meetkundige reeks is. Heb je al eens geprobeerd de som door een integraal te vervangen?

Hoe je daarna ook iets over a_n kunt zeggen is door te kijken of de elementen van de ene reeks structureel groter zijn dan die van de andere. Zo ja, als de ene dan al divergeert naar +oneindig, wat doet de ander dan?

[JorisL]

@QuarkSV

D is zeker niet het juiste. Uit het integraal kenmerk en mijn andere hint kan je het juiste normaal afleiden.

Nog een hint, ga van

\(\ln(n)<n\)

naar een ongelijkheid met

\(\frac{1}{1+\ln(n)}\)

. Als je de rekenregels voor ongelijkheden correct toepast zou je het correcte antwoord moeten vinden.

En ten slotte over de convergentie/divergentie van

\(b_n\)

, gebruik dat

\(\int^\infty_0 \frac{1}{n^s}dx < \infty \Leftrightarrow s >1\)

. Let op de strikte ongelijkheid.

Spoiler: [+]

Het juiste antwoord is B

PS. Een meetkundig reeks heeft de vorm

\(\sum_{n\geq0} a^n\)

.

Dus je methode klopt niet, de conclusie wel. Maar deze conclusie is gewoon toevallig correct.

[QuarkSV]

Is er een andere manier om de divergentie van

\(b_n\)

aan te tonen? Want ik ken deze manier (nog) niet...

I.v.m. die ongelijkheid:

\(\frac{1}{ln(n)+1} < \frac{1}{n+1} \)

bekom ik, klopt dit? Dus wat Sirius zei "als de ene divergeert naar +oneindig, wat doet de andere dan?" zou ik beantwoorden met "ook divergeren naar +oneindig". Vandaar antwoord B. Correct?

Ik zit dus nog met het probleem dat ik niet inzie hoe ik kan aantonen dat

\(b_n\)

divergeert? De integraalmanier ken ik niet... Ik moet eerst dit kunnen aantonen alvorens met zekerheid antwoord B te kiezen.

[JorisL]

Je ongelijkheid is fout. om dit in te zien

\(2<3 \Rightarrow 2 + 1 < 3+1 \Rightarrow \frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}>\frac{1}{4} = \frac{1}{3+1}\)

.

Het integraalkenmerk stelt dat

\(\sum^\infty_0 a_n convergeert \Leftrightarrow \int^\infty_0 a_n convergeert\)

Dus

\(\int^\infty_0 \frac{1}{n+1} dn = \int^\infty_1 \frac{1}{u} du \rightarrow +\infty\)

. waarbij we de substitutie u = n+1 hebben gebruikt.

Met het integraalkenmerk vinden we dan dat de b_n-reeks divergeert.

Waarna uit de ongelijkheid volgt dat ook de a_n-reeks divergeert.

[QuarkSV]

Bedankt om die eigenschap uit te leggen. Nu geraak ik er, denk ik.

Ik heb het teken vergeten om te draaien bij het omkeren van beide leden. Ik bekom nu:

\(\frac{1}{ln(n)+1} > \frac{1}{n+1}\)

en aangezien het rechterdeel naar +oneindig divergeert, zal het linkerdeel (dat groter is) ook naar +oneindig divergeren. Klopt het wat ik zeg?

[ZVdP]

Heb je misschien al wel gezien dat de harmonische reeks,

\(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\)

, divergeert?

Deze is makkelijk, zonder integraaltest, aan te tonen. Zie bijvoorbeeld deze Vergelijkingstest

[QuarkSV]

Heb je misschien al wel gezien dat de harmonische reeks,

\(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\)

, divergeert?

Deze is makkelijk, zonder integraaltest, aan te tonen. Zie bijvoorbeeld deze Vergelijkingstest

Dit heb ik wel al gezien. Ik had dit aangenomen omdat de limiet naar +oneindig (partieelsom wordt willekeurig groot voor toenemende n) van de partieelsom Sn (1+0.5+0.25+0.125+...) gelijk is aan +oneindig waardoor je kan stellen dat de harmonische reeks divergeert...

[ZVdP]

Als je dat weet, kan je ook makkelijk concluderen dat

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{1+n}\)

divergeert.

[QuarkSV]

Inderdaad, dat zie ik nu ook net in . De oefening, maar vooral de oplossing, is me duidelijk .

Bedankt voor de hulp JorisL, ZVdP en sirius!