Maclaurinontwikkeling

[QuarkSV]

Gegeven is de functie f:R->R:x->cosh(x^2004). Kan iemand dit in Latex omzetten aub?

Ik zou van deze functie de eerste termen van de Maclaurinontwikkeling willen weten. Hoe kan ik dit doen?

Zelf dacht ik: cosh herschrijven in termen als ((e^2004x)+(e^2004x))/2, maar dan kom ik niet verder...

[Axioma91]

Gegeven is de functie f:R->R:x->cosh(x^2004). Kan iemand dit in Latex omzetten aub?

Ik zou van deze functie de eerste termen van de Maclaurinontwikkeling willen weten. Hoe kan ik dit doen?

Zelf dacht ik: cosh herschrijven in termen als ((e^2004x)+(e^2004x))/2, maar dan kom ik niet verder...

Bekend met taylor expansie/ontikkeling? Zoek daar de "definitie" even van op en ontwikkel. De maclaurin ontwikkeling is een speciaal geval van de Taylor...

\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x \mapsto \cosh(x^{2004})\)

[JorisL]

Je gebruikt gewoon de kettingregel. Verder kan je over

\(\cosh(x^{2400})\)

en zijn afgeleide een exacte uitkomst vinden in x = 0.

Maar je zal een veelterm van een erg hoge graad krijgen na de eerste afgeleide. Zie je dit in?

[Drieske]

Zelf dacht ik: cosh herschrijven in termen als ((e^2004x)+(e^2004x))/2, maar dan kom ik niet verder...

Hiermee moet je goed oppassen (in het algemeen). We weten dat

\(cosh(y) = \frac{e^y + e^{-y}}{2}\)

. Dit hier nu toepassen, geeft je

\(cosh(x^{2004}) = \frac{e^{(x^{2004})} + e^{-(x^{2004})}}{2}\)

. Dat is niet hetzelfde als wat jij hebt.

[QuarkSV]

Inderdaad er is een fout in geslopen omdat ik niet zoals jij x en y gebruikte, hierdoor leek het alsof de 'x' van cosh(x) dezelfde is als de 'x' van x^2004, wat niet het geval is.

Dus ik moet eerst en vooral de eerste en tweede afgeleide berekenen van

\(\frac{e^{(x^{2004})} + e^{-(x^{2004})}}{2}\)

?

Heeft er iemand een tip om dit 'gemakkelijk' (lees: snel) af te leiden?

[Axioma91]

Inderdaad er is een fout in geslopen omdat ik niet zoals jij x en y gebruikte, hierdoor leek het alsof de 'x' van cosh(x) dezelfde is als de 'x' van x^2004, wat niet het geval is.

Dus ik moet eerst en vooral de eerste en tweede afgeleide berekenen van

\(\frac{e^{(x^{2004})} + e^{-(x^{2004})}}{2}\)

?

Heeft er iemand een tip om dit 'gemakkelijk' (lees: snel) af te leiden?

Als het om de tweede afgeleide gaat zie ik geen probleem? Kun je je probleem herformuleren? Is het de tijd? Bij mij duurde het minder lang dan het schrijven van deze post =P - of is het de afgeleide zelf - je weet hoe je e-machten differentieert? En met de kettingregel ben je vast ook bekend...

[QuarkSV]

Als eerste term van de ontwikkeling kom ik uit: 1 en als tweede term kom ik uit: x/2. Van die eerste term ben ik toch vrij zeker aangezien je gewoon 0 moet invullen in f...

Het is echter een meerkeuzevraag en dit antwoord staat er niet tussen (de derde term heb ik nog niet berekend, maar vanaf de tweede term komt mijn antwoord al niet meer overeen met één van de mogelijkheden...). Ik heb dus blijkbaar een fout gemaakt bij het afleiden... Of komt er nog iemand deze twee eerste termen uit voor de Maclaurinontwikkeling?

[QuarkSV]

Ik heb nog eens opnieuw gerekend en nu kom ik als tweede term 0 uit...

[ZVdP]

je hebt een constante term en daarna zullen alle termen 0 zijn tot die van x^2004. Zo zou je nog lang kunnen rekenen natuurlijk

Ken je de taylor reeks niet van e^x?

[QuarkSV]

Ja, die ken ik. Maar hoe moet ik dan rekenen met die exponent 2004?

PS: ik bleef idd 0 uitkomen

[ZVdP]

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\)

We kunnen x vervangen door iets willekeurig anders:

\(e^{f(x)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{f(x)^n}{n!}\)

[QuarkSV]

We kunnen x vervangen door iets willekeurig anders:

\(e^{f(x)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{f(x)^n}{n!}\)

Dan kan ik hiermee de Maclaurinreeks van de cosh(x) vinden:

\(\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)

Klopt dit?

[ZVdP]

Correct.

Nu nog de x^2004 en je bent er.

[Drieske]

Het klopt op een detail na: je deelt nog door 2 bij cosh. Dat ben je hier vergeten lijkt me.

[QuarkSV]

Correct.

Nu nog de x^2004 en je bent er.

Ik weet niet wat je hiermee precies bedoelt?