Formele en metaformele getallen

[Bartjes]

Als vervolg op ondermeer dit topic zal ik hier een getallensysteem lanceren dat het effect van vermenigvuldiging met nul moet temperen. Veel voorbereidend werk is al gedaan. Hier bouwen we het systeem stap voor stap op.

1. De formele getallen definiëren we als volgt:

1. Alle reële getallen zijn formele getallen.

2. Als A en B formele getallen zijn dan is

\( (A) \clubsuit (B) \)

dat ook.

3. Als A en B formele getallen zijn dan is

\( (A) \diamondsuit (B) \)

dat ook.

4. Alleen die getallen zijn formele getallen die dat volgens een of meer van de bovenstaande drie regels zijn.

De formele getallen zijn dus formele uitdrukkingen bestaande uit reële getallen met eventueel nog haakjes en klaveren- en ruiten-tekens volgens de bovenstaande vier regels. Alleen identieke formele getallen A en B noemen we gelijk (genoteerd als A = B). De verzameling der formele getallen geven we weer als

\(\mathfrak{F}\)

.

[Bartjes]

2. Op grond van definitie 1. is het duidelijk dat ieder formeel getal bij vervanging van de

\( \clubsuit \)

-tekens door

\(+\)

-tekens en de

\( \diamondsuit \)

-tekens door

\(.\)

-tekens overgaat in een bijbehorende rekenkundige uitdrukking. Deze uitdrukking levert bij uitrekenen voor ieder formeel getal een eenduidig bepaald reëel getal op. Voor alle formele getallen A noemen we het zojuist omschreven bijbehorende reële getal de reële waarde rw(A) van A. Voor het triviale geval dat de resulterende uitdrukking (en dus ook het formele getal) enkel uit een reëel getal bestaat, beschouwen we dit reële getal zelf als de reële waarde.

[Bartjes]

3. We noemen het formele getal A alleen inwisselbaar voor het formele getal B - genoteerd als

\( A \spadesuit B \)

- indien rw(A) = rw(B) en daarbij rw(A) en rw(B) allebei ongelijk aan nul zijn. Die laatste bepaling is toegevoegd omdat we binnen dit systeem "verschillende" nullen willen kunnen onderscheiden.

[Bartjes]

4. Voor alle reële getallen a en formele getallen A, B en C geldt:

i.

\( \mbox{rw}(a) = a \)

(getalregel)

ii.

\( \mbox{rw}(A \, \clubsuit \, B) \, = \, \mbox{rw}(A) + \, \mbox{rw}(B) \)

(somregel)

iii.

\( \mbox{rw}(A \, \diamondsuit \, B) \, = \, \mbox{rw}(A) \, . \, \mbox{rw}(B) \)

(productregel)

iv.

\( A \, \spadesuit \, B \,\, \Rightarrow \,\, B \, \spadesuit \, A \)

(symmetrie)

v.

\( A \, \spadesuit \, B \,\, \& \,\, B \, \spadesuit \, C \,\, \Rightarrow \,\, A \, \spadesuit \, C \)

(transitiviteit)

Opmerking: de inwisselbaarheidsrelatie is niet reflexief zoals men aan het tegenvoorbeeld A = B = 0 eenvoudig na gaat.

Bewijs:

Laat a een reëel getal en A, B en C formele getallen zijn.

i. Uit definitie 2. volgt dan direct:

\( \mbox{rw}(a) = a \)

.

ii. Eveneens uit definitie 2. volgt dat:

\( \mbox{rw}(A \, \clubsuit \, B) \, = \, \mbox{rw}(A) + \, \mbox{rw}(B) \)

.

iii. En uit definitie 2. volgt ook:

\( \mbox{rw}(A \, \diamondsuit \, B) \, = \, \mbox{rw}(A) \, . \, \mbox{rw}(B) \)

.

iv. Stel dat:

\( A \, \spadesuit \, B \)

.

Dit wil volgens definitie 3. zeggen dat rw(A) = rw(B) waarbij rw(A) en rw(B) allebei ongelijk aan nul zijn.

Dan geldt dus ook dat rw(B) = rw(A) waarbij rw(B) en rw(A) allebei ongelijk aan nul zijn. Oftewel:

\( B \, \spadesuit \, A \)

.

v. Stel dat:

\( A \, \spadesuit \, B \,\, \& \,\, B \, \spadesuit \, C \)

Volgens definitie 3. moet dan gelden dat rw(A) = rw(B) en rw(B) = rw(C) waarbij rw(A), rw(B) en rw(C) alle ongelijk aan nul zijn.

Dus geldt ook dat rw(A) = rw(C) waarbij rw(A) en rw(C) allebei ongelijk aan nul zijn. Zodat we vinden:

\( A \, \spadesuit \, C \)

.

[Bartjes]

5. We noemen het formele getal A alleen strikt gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als

\( A \, \heartsuit_s \, B \)

- in de onderstaande gevallen:

i. A en B zijn identiek.

ii. Er zijn formele getallen E en F zodat:

\( A = (E) \clubsuit (F) \)

en

\( B = (F) \clubsuit (E) \)

.

iii. Er zijn formele getallen E en F zodat:

\( A = (E) \diamondsuit (F) \)

en

\( B = (F) \diamondsuit (E) \)

.

iv. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:

\( A = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

en

\( B = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)

.

v. Er zijn formele getallen E, F en G zodat:

\( A = ((E) \diamondsuit (F)) \,\, \clubsuit \,\, ((E) \diamondsuit (G)) \)

en

\( B = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

.

[Bartjes]

6. Voor alle formele getallen A geldt:

\( A \, \heartsuit_s \, A \)

(reflexiviteit) .

En voor alle formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit_s \, B \, \Rightarrow \, B \, \heartsuit_s \, A \)

(symmetrie) .

Opmerking: de strikte gelijkaardigheid is niet transitief. Een tegenvoorbeeld vormt:

\( A = ((1) \diamondsuit (2)) \, \clubsuit \, ((1) \diamondsuit (3)) \)

,

\( B = (1) \, \diamondsuit \, ((2)) \, \clubsuit \, (3)) \)

,

\( C = ((2) \, \clubsuit \, (3)) \, \diamondsuit \, (1)\)

.

Bewijs:

Laat A een formeel getal zijn. Op grond van definitie 5. regel i. geldt dan:

\( A \, \heartsuit_s \, A \)

.

Laat A en B formele getallen zijn. Stel nu dat

\( A \, \heartsuit_s \, B \)

. Dan moet aan minstens één van de voorwaarden i. t/m v. van definitie 5. voldaan zijn. We bezien deze achtereenvolgens.

i. Als A en B identiek zijn, dan zijn ook B en A identiek. Dus dan geldt:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

ii. Als er formele getallen E en F zijn zodat

\( A = (E) \clubsuit (F) \)

en

\( B = (F) \clubsuit (E) \)

, dan zijn er eveneens formele getallen F en E zodat

\( B = (F) \clubsuit (E) \)

en

\( A = (E) \clubsuit (F) \)

. Dus dan geldt:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

iii. Als er formele getallen E en F zijn zodat

\( A = (E) \diamondsuit (F) \)

en

\( B = (F) \diamondsuit (E) \)

, dan zijn er eveneens formele getallen F en E zodat

\( B = (F) \diamondsuit (E) \)

en

\( A = (E) \diamondsuit (F) \)

. Dus dan geldt:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

iv. Als er formele getallen E, F en G zijn zodat

\( A = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

en

\( B = ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

, dan zijn er eveneens formele getallen E, F en G zodat

\( B = ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

en

\( A = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

. Dus geldt volgens regel v. dat:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

v. Als er formele getallen E, F en G zijn zodat

\( A = ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

en

\( B = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

, dan zijn er eveneens formele getallen E, F en G zodat

\( B = (E) \, \diamondsuit \, ((F) \clubsuit (G)) \)

en

\( A = ((E) \diamondsuit (F)) \, \clubsuit \, ((E) \diamondsuit (G)) \)

. Dus geldt volgens regel iv. dat:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

In alle mogelijke gevallen waarbij

\( A \, \heartsuit_s \, B \)

, zal dus ook gelden dat:

\( B \, \heartsuit_s \, A \)

.

[Bartjes]

7. We noemen het formele getal A alleen tamelijk gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

- wanneer er formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal A in B omzet. Dit stukje van A mag eventueel heel A zijn.

[Bartjes]

8. Voor alle formele getallen A geldt:

\( A \, \heartsuit_t \, A \)

(reflexiviteit).

En voor alle formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit_t \, B \,\, \Rightarrow \,\, B \, \heartsuit_t \, A \)

(symmetrie).

Opmerking: de tamelijke gelijkaardigheid is niet transitief. Zie bijvoorbeeld het onderstaande geval:

\( A = ( (1) \, \clubsuit \, (-1)) \,\, \clubsuit \,\, ((2) \, \clubsuit \, (-2)) \)

,

\( B = ( (-1) \, \clubsuit \, (1)) \,\, \clubsuit \,\, ((2) \, \clubsuit \, (-2)) \)

,

\( C = ( (-1) \, \clubsuit \, (1)) \,\, \clubsuit \,\, ((-2) \, \clubsuit \, (2)) \)

.

Bewijs:

Laat A een formeel getal zijn.

Volgens stelling 6. geldt dan dat:

\( A \, \heartsuit_s \, A \)

.

Dus bestaan er formele getallen E en F (namelijk E = A en F = A) waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

en zodanig dat wanneer we in A een stukje dat aan E identiek is door F vervangen we B krijgen. We hebben hier immers het (toegestane!) geval dat het stukje van A heel A is.

Uit bovenstaande zien we wegens definitie 7. dat:

\( A \, \heartsuit_t \, A \)

.

Laat A en B formele getallen zijn waarvoor:

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

.

Dan bestaan er volgens definitie 7. formele getallen E en F waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

en zodanig dat wanneer we in A een stukje dat aan E identiek is door F vervangen we B krijgen.

Dus bestaan er volgens stelling 4. regel iv. en stelling 6. formele getallen F en E waarvoor

\( F \, \spadesuit \, E \)

of

\( F \, \heartsuit_s \, E \)

en zodanig dat wanneer we in A een stukje dat aan E identiek is door F vervangen we B krijgen.

Tot slot bestaan er dan ook formele getallen F en E waarvoor

\( F \, \spadesuit \, E \)

of

\( F \, \heartsuit_s \, E \)

en zodanig dat wanneer we in B een stukje dat aan F identiek is door E vervangen we A krijgen.

Zodat wegens definitie 7. geldt:

\( B \, \heartsuit_t \, A \)

.

[Bartjes]

9. We noemen het formele getal A alleen gelijkaardig aan het formele getal B - genoteerd als

\( A \, \heartsuit \, B \)

- indien er een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

bestaat zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \,\, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \,\, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \,\, ; \, ... \,\, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( B = E_n \)

.

[Bartjes]

10. Voor alle formele getallen A geldt:

\( A \, \heartsuit A \)

(reflexiviteit).

Voor alle formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit B \,\, \Rightarrow \,\, B \, \heartsuit \, A \)

(symmetrie).

En voor alle formele getallen A, B en C geldt:

\( A \, \heartsuit B \,\,\, \& \,\,\, B \, \heartsuit \, C \,\, \Rightarrow \,\, A \, \heartsuit \, C \)

(transitiviteit).

Wegens bovenstaande drie eigenschappen is de gelijkaardigheid een zogeheten equivalentierelatie.

Bewijs:

Stel dat A een formeel getal is.

Vervolgens kiezen we

\( E_1 = E_2 = A \)

, zodat op grond van stelling 8. geldt dat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \)

.

Dan bestaat er een eindige rij formele getallen

\( E_1 \,\, , \,\, E_2 \)

zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( A = E_2 \)

.

Op basis van definitie 9. concluderen we dan tot:

\( A \, \heartsuit A \)

.

Stel dat voor de formele getallen A en B geldt:

\( A \, \heartsuit \, B \)

.

Dan bestaat er volgens definitie 9. een eindige rij formele getallen

\( E_1 \,\, , \,\, E_2 \,\, , \,\, E_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, E_{n-1} \,\, , \,\, E_n \)

zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \, ; \, ... \, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( B = E_n \)

.

Op grond van stelling 8. bestaat er dan ook een eindige rij formele getallen

\( E_n \, , \, E_{n-1} \, , \, ... \, , \, E_3 \, , \, E_2 \, , \, E_1 \, \)

zodat:

\( E_n \, \, \heartsuit_t \, E_{n-1} \, ; \, ... \, ; \, E_4 \, \, \heartsuit_t \, E_3 \, ; \, E_3 \, \, \heartsuit_t \, E_2 \, ; \, E_2 \, \, \heartsuit_t \, E_1 \)

en

\( B = E_n \)

&

\( A = E_1 \)

.

Op basis van definitie 9. vinden we dan:

\( B \, \heartsuit \, A \)

.

Stel nu dat voor formele getallen A, B en C geldt dat

\( A \, \heartsuit \, B \)

en

\( B \, \heartsuit \, C \)

.

Op grond van definitie 9. bestaat er dan een eindige rij formele getallen

\( F_1 \,\, , \,\, F_2 \,\, , \,\, F_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, F_{r-1} \,\, , \,\, F_r \)

zodat:

\( F_1 \, \, \heartsuit_t \, F_2 \, ; \, F_2 \, \, \heartsuit_t \, F_3 \, ; \, F_3 \, \, \heartsuit_t \, F_4 \, ; \, ... \, ; \, F_{r-1} \, \, \heartsuit_t \, F_r \)

en

\( A = F_1 \, \)

en

\( B = F_r \, \)

.

En bestaat er tevens een eindige rij formele getallen

\( G_1 \,\, , \,\, G_2 \,\, , \,\, G_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, G_{s-1} \,\, , \,\, G_s \)

zodat:

\( G_1 \, \, \heartsuit_t \, G_2 \, ; \, G_2 \, \, \heartsuit_t \, G_3 \, ; \, G_3 \, \, \heartsuit_t \, G_4 \, ; \, ... \, ; \, G_{s-1} \, \, \heartsuit_t \, G_s \)

en

\( B = G_1 \, \)

en

\( C = G_s \, \)

.

Dus bestaat er een eindige rij formele getallen

\( F_1 \,\, , \,\, F_2 \,\, , \,\, F_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, F_{r-1} \,\, , \,\, F_r \,\, , \,\, G_1 \,\, , \,\, G_2 \,\, , \,\, G_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, G_{s-1} \,\, , \,\, G_s \)

zodat:

\( F_1 \, \, \heartsuit_t \, F_2 \, ; \, F_2 \, \, \heartsuit_t \, F_3 \, ; \, F_3 \, \, \heartsuit_t \, F_4 \, ; \, ... \, ; \, F_{r-1} \, \, \heartsuit_t \, F_r \, ; \, G_1 \, \, \heartsuit_t \, G_2 \, ; \, G_2 \, \, \heartsuit_t \, G_3 \, ; \, G_3 \, \, \heartsuit_t \, G_4 \, ; \, ... \, ; \, G_{s-1} \, \, \heartsuit_t \, G_s \)

en

\( A = F_1 \, \)

&

\( B = F_r \, \)

&

\( B = G_1 \, \)

&

\( C = G_s \, \)

.

Omdat F_r via B gelijk is aan G₁ concluderen we dat er een eindige rij formele getallen

\( F_1 \,\, , \,\, F_2 \,\, , \,\, F_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, F_{r-1} \,\, , \,\, G_1 \,\, , \,\, G_2 \,\, , \,\, G_3 \,\, , \,\, ... \,\, , \,\, G_{s-1} \,\, , \,\, G_s \)

bestaat zodat:

\( F_1 \, \, \heartsuit_t \, F_2 \, ; \, F_2 \, \, \heartsuit_t \, F_3 \, ; \, F_3 \, \, \heartsuit_t \, F_4 \, ; \, ... \, ; \, F_{r-1} \, \, \heartsuit_t \, G_1 \, ; \, G_1 \, \, \heartsuit_t \, G_2 \, ; \, G_2 \, \, \heartsuit_t \, G_3 \, ; \, G_3 \, \, \heartsuit_t \, G_4 \, ; \, ... \, ; \, G_{s-1} \, \, \heartsuit_t \, G_s \)

en

\( A = F_1 \, \)

&

\( C = G_s \, \)

.

Hieruit volgt wegens definitie 9. dat:

\( A \, \heartsuit \, C \)

.

[Bartjes]

11. Voor alle formele getallen A en B geldt:

i.

\( A \, \spadesuit \, B \, \Rightarrow \, A \, \heartsuit_t \, B \)

.

ii.

\( A \, \heartsuit_s \, B \, \Rightarrow \, A \, \heartsuit_t \, B \)

.

iii.

\( A \, \heartsuit_t \, B \, \Rightarrow \, A \, \heartsuit \, B \)

.

Bewijs:

Laat A en B formele getallen zijn zodat:

\( A \, \spadesuit \, B \)

.

Dan zijn er formele getallen E en F (namelijk E = A en F = B) waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal A in B omzet. (Dit stukje van A is in dit geval heel A.)

Volgens definitie 7. geldt dan:

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

.

Laat A en B formele getallen zijn zodat:

\( A \, \heartsuit_s \, B \)

.

Dan zijn er formele getallen E en F (namelijk E = A en F = B) waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van A is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal A in B omzet. (Dit stukje van A is ook hier heel A.)

Volgens definitie 7. geldt wederom:

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

.

Laat A en B formele getallen zijn waarvoor:

\( A \, \heartsuit_t \, B \)

.

Neem nu E₁ = A en E₂ = B .

Dan is er een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \)

zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \)

en

\( A = E_1 \)

&

\( B = E_2 \)

.

Op grond van definitie 9. geldt dan:

\( A \, \heartsuit \, B \)

.

[Bartjes]

12. Voor alle formele getallen K, L en M geldt:

\( K \, \heartsuit_t \, L \,\, \Rightarrow \,\, (K) \clubsuit (M) \,\, \heartsuit_t \,\, (L) \clubsuit (M) \)

.

Bewijs:

Laat K, L en M formele getallen zijn waarvoor geldt:

\( K \, \heartsuit_t \, L \)

.

Dan moeten er op grond van definitie 7. formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van K is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal K in L omzet.

Bijgevolg moeten er dan formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van

\( (K)\clubsuit(M) \)

is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal

\( (K)\clubsuit(M) \)

in

\( (L)\clubsuit(M) \)

omzet.

Waaruit we op basis van definitie 7. concluderen dat:

\( (K) \clubsuit (M) \,\, \heartsuit_t \,\, (L) \clubsuit (M) \)

.

[Bartjes]

13. Voor alle formele getallen K, L en M geldt:

\( K \, \heartsuit \, L \,\, \Rightarrow \,\, (K) \clubsuit (M) \, \heartsuit \, (L) \clubsuit (M) \)

.

Bewijs:

Stel dat K, L en M formele getallen zijn waarvoor:

\( K \, \heartsuit \, L \)

.



Dan bestaat er op grond van definitie 9. een eindige rij formele getallen

\( E_1 \, , \, E_2 \, , \, E_3 \, , \, ... \, , \, E_{n-1} \, , \, E_n \)

zodat:

\( E_1 \, \heartsuit_t \, E_2 \, ; \, E_2 \, \heartsuit_t \, E_3 \, ; \, E_3 \, \heartsuit_t \, E_4 \, ; \, ... \, ; \, E_{n-1} \, \heartsuit_t \, E_n \)

en

\( K = E_1 \)

&

\( L = E_n \)

.

Dus bestaat er wegens stelling 12. ook een eindige rij formele getallen

\( (E_1 ) \clubsuit (M) \, , \, (E_2 ) \clubsuit (M) \, , \, (E_3 ) \clubsuit (M) \, , \, ... \, , \, (E_{n-1}) \clubsuit (M) \, , \, (E_n ) \clubsuit (M) \)

zodat:

\( (E_1 ) \clubsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_2 ) \clubsuit (M) \, ; \, (E_2 ) \clubsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_3 ) \clubsuit (M) \, ; \, (E_3 ) \clubsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_4 ) \clubsuit (M) \, ; \, ... \, ; \, (E_{n-1} ) \clubsuit (M) \, \heartsuit_t \, (E_n ) \clubsuit (M) \)

en

\( (K) \clubsuit (M) = (E_1 ) \clubsuit (M) \)

&

\( (L) \clubsuit (M) = (E_n ) \clubsuit (M) \)

.

Zodat op basis van definitie 9. geldt:

\( (K) \clubsuit (M) \, \heartsuit \, (L) \clubsuit (M) \)

.

[Bartjes]

14. Voor alle formele getallen A, A', B en B' geldt:

\( A \, \heartsuit \, A' \,\, \& \,\, B \, \heartsuit B' \,\, \Rightarrow \,\, (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \clubsuit (B') \)

.

Bewijs:

Laat A, A', B en B' formele getallen zijn waarvoor:

\( A \, \heartsuit A' \,\, \& \,\, B \, \heartsuit B' \)

.

Wegens stelling 13. geldt dan:

\( (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \clubsuit (B) \,\,\,\, (\alpha) \)

,

\( (B) \clubsuit (A') \, \heartsuit \, (B') \clubsuit (A') \,\,\,\, (\gamma)\)

.

Voor alle formele getallen C en D vinden we op grond van definitie 5. regel ii. en stelling 11. regel ii. en iii. dat:

\( ( C) \clubsuit (D) \, \heartsuit_s \, (D) \clubsuit ( C) \)

,

\( ( C) \clubsuit (D) \, \heartsuit_t \, (D) \clubsuit ( C) \)

,

\( ( C) \clubsuit (D) \, \heartsuit \, (D) \clubsuit ( C) \)

.

En dus in het bijzonder:

\( (A') \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (B) \clubsuit (A') \,\,\,\, (\beta) \)

,

\( (B') \clubsuit (A') \, \heartsuit \, (A') \clubsuit (B') \,\,\,\, (\delta) \)

.

Met behulp van stelling 10. en de resultaten (α), (β), (γ) en (δ) vinden we dan achtereenvolgens:

\( (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \clubsuit (B) \)

\( (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (B) \clubsuit (A') \)

\( (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (B') \clubsuit (A') \)

\( (A) \clubsuit (B) \, \heartsuit \, (A') \clubsuit (B') \)

.

[Bartjes]

15. Voor alle formele getallen K, L en M geldt:

\( K \, \heartsuit_t \, L \,\, \Rightarrow \,\, (K) \diamondsuit (M) \,\, \heartsuit_t \,\, (L) \diamondsuit (M) \)

.

Bewijs:

Laat K, L en M formele getallen zijn waarvoor geldt:

\( K \, \heartsuit_t \, L \)

.

Dan moeten er op grond van definitie 7. formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van K is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal K in L omzet.

Bijgevolg moeten er dan formele getallen E en F bestaan waarvoor

\( E \, \spadesuit \, F \)

of

\( E \, \heartsuit_s \, F \)

zodanig dat er een stukje van

\( (K)\diamondsuit(M) \)

is dat identiek is aan E en dat bij vervanging door F het formele getal

\( (K)\diamondsuit(M) \)

in

\( (L)\diamondsuit(M) \)

omzet.

Waaruit we op basis van definitie 7. concluderen dat:

\( (K) \diamondsuit (M) \,\, \heartsuit_t \,\, (L) \diamondsuit (M) \)

.