Cijfersom over verschillende talstelsels

[kee]

Zij

\(s(n)=\sum_{i=2}^n c(n)_i\)

(met

\(c(n)_i\)

de cijfersom van het natuurlijk getal

\(n\geq 2\)

in het i-tallig talstelsel).

Wat ik van deze functie bekijk is wanneer deze dalend is, dus wanneer s(n)<s(n-1). In dat geval is de verwachting dat dit zal gelden wanneer n veel delers heeft. Omdat dit voor oneven getallen moeilijker is bekijk ik dit enkel voor oneven getallen. Ik ben dan alle oneven getallen beginnen overlopen om dit na te gaan.

Het kleinste oneven getal waarvoor dit geldt is

\(n=945=3^3\cdot 5\cdot 7\)

. Dit is ook te schrijven als

\(n=3\cdot 315\)

.

Nu blijken de volgende zeven getallen in het rijtje (bij oplopend overlopen van alle oneven getallen) ook veelvouden van 315 te zijn, en wel precies de volgende 7 oneven veelvouden (dus 315.5, 315.7, 315.9, ...). Daarna duiken ook andere oneven getallen op in het rijtje die geen veelvoud zijn van 315.

Wat opmerkelijk is, is dat alle oneven veelvouden van 315 in het rijtje blijven voorkomen, tot en met 315.99. Vanaf 315.101 komen precies alle veelvouden 315.p met p een priemgetal niet meer voor, en alle andere veelvouden wel nog (dit is reeds vrij ver gecontroleerd, tot 457065 meerbepaald, waarna al 200 priemgetallen groter dan 100 gepasseerd zijn).

Dit zou ik nu kunnen proberen te bewijzen (dat 315.p met p een priem groter dan 100 nooit meer in het rijtje voorkomt (de verwachting is dat op een bepaald moment misschien p niet meer noodzakelijk een priemgetal gaat moeten zijn om niet in het rijtje te staan, maar dat is nu dus wel nog niet het geval), maar voor ik hiermee verder ga, vraag ik mij ook af of deze functie al in een of andere vorm bestudeerd is en of iemand tips kan geven op welke manier hier eenvoudiger mee kan omgegaan worden. Als iemand zin heeft om er mee verder te gaan is dat natuurlijk ook welkom.

[Safe]

Je hebt het over talstelsels, welke notatie gebruik je?

Nu is 945=3*315 (10), maar dit is nu de notatie die ik (even) gebruik.

Op dit moment (voor de goede orde) ga ik nog niet in op je vraag ...

[kee]

Ter verduidelijking voor de cijfersom:

Voorbeeld voor n=7:

7=(1,1,1)_2, som is 3

7=(2,1)_3, som is 3

7=(1,3)_4, som is 4

7=(1,2)_5, som is 3

7=(1,1)_6, som is 2

7=(1,0)_7, som is 1

Totale som is 3+3+4+3+2+1=16

Dus s(7)=16

De cijfers worden dus steeds opgeteld in het decimale talstelsel, en ook de totale som wordt daarin gemaakt.

Bijvoorbeeld dus ook als onderdeel voor n=41

...

41=(1,18)_23, som is 1+18=19

...

En als onderdeel voor n=363

...

363=(15,18)_23, som is 15+18=33 (optellen in het decimale talstelsel dus)

...

Edit: Is dit afdoende antwoord op je vraag Safe? Bedankt voor de moeite al.

[kee]

Ik heb het over getallen met veel delers. Wat ik zoek zijn getallen waarbij bij veel talstelsels 'sprongetjes' gaan gemaakt worden. Als ik het nu bekijk gaat voor deze sprongetjes gekeken moeten worden of het getal deelbaar is door i^e (met e een natuurlijk getal) en i het talstelsel dat op dat moment bekeken wordt. Er is dus wellicht een connectie met som van de delers, maar het is meer dan dat alleen?

[Safe]

Zij

\(s(n)=\sum_{i=2}^n c(n)_i\)

(met

\(c(n)_i\)

de cijfersom van het natuurlijk getal

\(n\geq 2\)

in het i-tallig talstelsel).

Moet ik dit lezen als:

\(s(n)=c(n)_2+c(n)_3+c(n)_4+...+c(n)_n\)

[kee]

Moet ik dit lezen als:

\(s(n)=c(n)_2+c(n)_3+c(n)_4+...+c(n)_n\)

Ja, zie mijn voorbeeld met 7.

[kee]

Ik heb het (beetje informele) bewijs voor de stelling denk ik.

Zij

\(n=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot p\)

, p>100 en priemgetal.

Te bewijzen is dat s(n)>=s(n-1).

Vergelijking van s(n) ten opzichte van s(n-1):

In elk talstelsel komt er 1 bij (afgezien van 'sprongetjes'), voor n-tallig talstelsel ook 1 erbij, totaal n-1 erbij.

Te bewijzen is dat er met de 'sprongetjes' dus minder dan n af gaat.

Bij het uitschrijven van alle delers blijkt dat er door 'sprongetjes' volgend aantal afgaat:

309p+603 (als ik goed gerekend heb).

Bedenk hiervoor dat voor elke deler d in het bijhorende talstelsel er d-1 afgaat door het 'sprongetje' (bedenk dat er zonder sprongetjes al was gerekend dat er 1 bijkwam). Enige uitzondering is het 3-tallig talstelsel omdat het getal deelbaar is door het kwadraat van 3, daar gaat er dus 4 af (2*2). Voor alle andere delers (uitgezonderd 1) is het kwadraat geen deler van n.

309p+603<n als en slechts als 309p+603<315p als en slechts als p>603/6.

Dit geldt omdat p>100.

Klopt dit?

Eigenlijk niet gedacht dat het zo gemakkelijk zou gaan, vergeleken met de complexiteit van het uitgangspunt.

[kee]

O ja, had ik er niet bij gezet: Bij het bekijken van 'alle' delers in het bewijs is dit zonder 1 en n zelf (omwille van de definitie van s(n)).

Zouden er met deze functie s(n) of iets gelijkaardigs eigenlijk (nog) leuke dingen te doen zijn?

[kee]

Algemener komen volgende dingen naar boven in het bewijs.

Voor elk natuurlijk getal i (0 inbegrepen) en elk natuurlijk getal n verschillend van 0 definiëren we

\(\mathbb{D}_i(n):=\{m\in\mathbb{N}\hspace{.2em}|\hspace{.2em}m^i\hbox{ is deler van }n\}\)

en

\(\delta_i(n):=\sum_{j\in\mathbb{D}_i(n)}j\)

, goed gedefinieerd omdat

\(1\in\mathbb{D}_i(n)\)

.

en

\(\delta(n):=\sum_{i=0}^{\infty}(\delta_i(n)-1)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(\exists n\in\mathbb{N}:\forall i\in\mathbb{N}, i>n:\delta_i(n)=1\)

. (Eventueel vertrekken vanaf i=1 in de definitie, maakt niets uit voor het concept).

Daarnaast hebben we

\(\delta^*_i(n):=\sum_{j\in\mathbb{D}_i(n)}(j-1)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(1\in\mathbb{D}_i(n)\)

.

en

\(\delta^*(n):=\sum_{i=0}^{\infty}\delta^*_i(n)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(\exists n\in\mathbb{N}:\forall i\in\mathbb{N}, i>n:\delta^*_i(n)=0\)

. (Eventueel vertrekken vanaf i=1 in de definitie, maakt niets uit voor het concept).

Zijn deze concepten reeds bestudeerd? Indien niet, dan kom ik met de vraag of het interessante concepten zouden kunnen zijn weer bij theorieontwikkeling terecht.

Edit: Bij het bewijs kwamen deze concepten naar boven, maar ik bedenk nu net dat ik daarnaast in plaats van naar de som ook naar het product van alle elementen van de verzameling zou kunnen kijken. Voor die concepten zouden wellicht al een aantal eigenschappen neergeschreven kunnen worden.

[kee]

Is dit onderwerp niet gelinkt aan de vraag naar oneven perfecte / bevriende getallen? 315 is nog net geen perfect getal, som delers is 309. Als ik mij niet vergis: als die zouden bestaan dan zou hier dan de rij oneven getallen waarvoor s(n)<s(n-1) oneindig lang zijn. Echter valt het te verwachten dat die wellicht niet bestaan, maar de rij misschien wel oneindig lang is.

Edit: nee, dit is fout. Gewoon kijken naar de som van de delers van 945. Dit is 975 en dus groter dan 945. Daarmee kan dan wellicht bewezen worden dat de rij oneindig lang is. Wellicht is er dan een verband tussen deze eigenschap (die 945 heeft) en in de rij staan (zijn ze equivalent)? Ik zal dat eens nakijken.

[Safe]

Hoe heb je je berekeningen gemaakt?

[kee]

Ik zal het wat formeler neerschrijven:

Zij

\(n=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot p\)

, p>100 en priemgetal.

Te bewijzen is dat

\(s(n)\geq s(n-1)\)

.

Bewijs:

We bekijken alle talstelsels 2 tot en met n.

1) Voor het n-tallige talstelsel is c(n)_n=1.

2) Voor alle andere i-tallige talstelsels met i van 2 tot en met n-1 bekijken we het verschil tussen c(n)_i en c(n-1)_i.

*Voor alle i-tallige talstelsels met i een deler van n en i² geen deler van n geldt dat c(n)_i=c(n-1)_i+1-(i-1).

Dus c(n)_i-c(n-1)_i=2-i.

Omdat p een priemgetal is en p>100 (en dus is p verschillend van 3, 5 en 7), gaat het hier om de i-tallige talstelsels met i gelijk aan een van volgende: 5,7,9,15,21,35,45,63,105,315,p,3p,5p,7p,9p,15p,21p,35p,45p,63p,105p.

*Voor het 3-tallig talstelsel is 3² een deler van n en is bijgevolg c(n)₃=c(n-1)₃+1-2*(3-1).

Dus c(n)₃-c(n-1)₃=-3

*Voor alle overgebleven i-tallige talstelsels is i geen deler van n. Dan geldt dat c(n)_i=c(n-1)_i+1. In totaal zijn dit (n-2)-21-1=n-24 talstelsels.

Dus c(n)_i-c(n-1)_i=1

3) We maken de som.

\(s(n)-s(n-1)=c(n)_n+\sum_{i=2}^{n-1}(c(n)_i-c(n-1)_i)\)

\(s(n)-s(n-1)=1-3-5-7-13-19-33-43-61-103-313+(11\cdot 2)\)

\(-p\cdot (1+3+5+7+9+15+21+35+45+63+105)-3+(n-24)\)

\(s(n)-s(n-1)=n-604-309p=315p-309p-604=6p-604.\)

(Dit geeft hetzelfde resultaat als de vorige post waar dit bekomen werd als s(n)-s(n-1)=(n-1)-(309p+603).)

Nu geldt dat

\(p\geq 101\Rightarrow (s(n)-s(n-1))\geq 2\Rightarrow s(n)\geq s(n-1)+2\Rightarrow s(n)\geq s(n-1)\)

.

[kee]

De beschreven concepten zijn niet helemaal correct. Ik had een verkeerde interpretatie in mijn hoofd van wat i=0 geeft voor

\(\mathbb{D}_i(n)\)

. Het wordt dan

Voor

\(i, n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\)

definiëren we

\(\mathbb{D}_i(n):=\{m\in\mathbb{N}\hspace{.2em}|\hspace{.2em}m^i\hbox{ is een deler van }n\}\)

Verder

\(\delta_i(n):=\sum_{j\in\mathbb{D}_i(n)}j\)

, goed gedefinieerd omdat

\(1\in\mathbb{D}_i(n)\)

.

en

\(\delta(n):=\sum_{i=1}^{\infty}(\delta_i(n)-1)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(\exists n\in\mathbb{N}:\forall i\in\mathbb{N}, i>n:\delta_i(n)=1\)

.

Daarnaast hebben we

\(\delta^*_i(n):=\sum_{j\in\mathbb{D}_i(n)}(j-1)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(1\in\mathbb{D}_i(n)\)

.

en

\(\delta^*(n):=\sum_{i=1}^{\infty}\delta^*_i(n)\)

, goed gedefinieerd omdat

\(\exists n\in\mathbb{N}:\forall i\in\mathbb{N}, i>n:\delta^*_i(n)=0\)

.

Hiermee hebben we (nog wat onder voorbehoud)

\(s(n)-s(n-1)=2n-2-\delta^*(n)\)

zodat

\(s(n)=\sum_{i=2}^n(2i-2-\delta^*(i))\)

.

Merk op dat eventueel bij de definitie van

\(\mathbb{D}_i(n)\)

kan opgelegd worden dat het voor m noodzakelijk is dat 0<m<n, zodat het wel logisch is een

\(\mathbb{D}_0(n)\)

te definiëren en n zelf geen element meer is van

\(\mathbb{D}_1(n)\)

. De formule voor s(n) wordt dan ook iets logischer. Aan de andere kant zijn de "delta's" dan niet meer gedefinieerd voor n=1.

Merk ook op dat in de eindformule voor s(n) de sommatie eventueel ook vanaf i=1 mag vertrekken aangezien dat hetzelfde resultaat geeft. Dit dan wel met de huidige versie van de definities en niet deze van de vorige opmerking.

[kee]

Eigenschap 1:

\(\delta^*_i(n)=\delta_i(n)-|\mathbb{D}_i(n)|\)

Eigenschap 2:

Zij

\(n,m\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\)

en

\(\hbox{ggd}(n,m)=1\)

, dan

\(\delta_i(nm)=\delta_i(n)\delta_i(m)\)

en

\(|\mathbb{D}_i(nm)|=|\mathbb{D}_i(n)|\cdot|\mathbb{D}_i(m)|\)

.

[kee]

Zij p een priemgetal en

\(e,f\in\mathbb{N}\)

.

Eigenschap 3:

\(\delta_i(p^e)=\frac{p^{\text{floor}(e/i)+1}-1}{p-1}\)

Eigenschap 4:

\(\delta_i(p^{e+f})\leq\delta_i(p^e)\delta_i(p^f)\)

als en slechts als floor((e+f)/i)=floor(e/i)+floor(f/i).