Wortels van complexe getallen

[TheAmassama]

Ik ben nu bezig met complexe getallen, en wel het vinden van wortels ervan met behulp van de stelling van d'Moivre:

\(z^n=[r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}]\)

Welnu, het boek geeft een voorbeeld om de zesde-machts wortels van

\(z=8i\)

te vinden. Maar wat nu als die

\(z\)

niet

\(z\)

is, maar bijv.

\(\frac{1+i}{z} = 8i\)

?

Ik dacht je schrijft

\(z = \frac{1+i}{8i} = \frac{1+i}{8i}*\frac{-8i}{-8i} = \frac{8+8i}{64} = \frac{1}{8}(1+i)\)

. Dus

\(z = r(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\)

met

\(r = \frac{1}{8}\sqrt{2}\)

en

\(\theta = \frac{1}{4}\pi\)

Maar mag je dat zomaar doen? Omdat je toch eigenlijk oplost:

\( \left(\frac{1+i}{z}\right)^3=8i\)

?

[Safe]

Ik ben nu bezig met complexe getallen, en wel het vinden van wortels ervan met behulp van de stelling van d'Moivre:

\(z^n=[r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}]\)

Welnu, het boek geeft een voorbeeld om de zesde-machts wortels van

\(z=8i\)

te vinden. Maar wat nu als die

\(z\)

niet

\(z\)

is, maar bijv.

\(\frac{1+i}{z} = 8i\)

?

Ik dacht je schrijft

\(z = \frac{1+i}{8i} = \frac{1+i}{8i}*\frac{-8i}{-8i} = \frac{8+8i}{64} = \frac{1}{8}(1+i)\)

. Dus

\(z = r(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\)

met

\(r = \frac{1}{8}\sqrt{2}\)

en

\(\theta = \frac{1}{4}\pi\)

Maar mag je dat zomaar doen? Omdat je toch eigenlijk oplost:

\( \left(\frac{1+i}{z}\right)^3=8i\)

?

Bedoel je het oplossen van de verg: z^6=8i

En dan het oplossen van w^6=8i met w=(1+i)/z

[TheAmassama]

Ja precies, die 3 op de laatste regel moet natuurlijk een 6 zijn, ik kon mn bericht echter niet op tijd editten.

Maar het klopt wat jij zegt idd.

[Safe]

Ja precies, die 3 op de laatste regel moet natuurlijk een 6 zijn, ik kon mn bericht echter niet op tijd editten.

Maar het klopt wat jij zegt idd.

Je kan dan uitgaan van de opl die je al hebt van de eerste verg,

Je kan ook de nieuwe verg oplossen:

\(z^6=\frac{(1+i)^6}{8i}\)

Ga dit zorgvuldig na.

[Nesta]

Voor ^3 ipv ^6 had ik dit gedaan:

Eerst 8i omschrijven in de e-macht van Z:

8i = 8(cos pi/2 + i sin pi/2) = 8e^{i pi/2}

Daar de derde-machts wortel van trekken waardoor je uiteindelijk krijgt:

2e^{i pi/6}

En dat kan je dan weer omschrijven in de a+bi vorm.

[Safe]

8i = 8(cos pi/2 + i sin pi/2) = 8e^{i pi/2}

Dat moet zijn:

\(8i = 8(\cos( \pi/2) + i \sin (\pi/2)) = 8e^{i \pi/2+k\cdot 2\pi i}\)

[Nesta]

Ja dat klopt, alleen dat laatste i-tje weg toch?

[In physics I trust]

Nesta, hoeveel is

\(e^{2k \pi i}, k \in \zz\)

?

[Nesta]

Bedoel je omgeschreven in gewoon complex getal?

e^i2pi = i

Wat er met de k gebeurt weet ik niet zeker.

[Safe]

Bedoel je omgeschreven in gewoon complex getal?

e^i2pi = i

Wat er met de k gebeurt weet ik niet zeker.

Vul dit eens in in de Moivre (met k).

[Nesta]

Oh dus dan wordt het i8e^ipi/2

[Nesta]

e^i2kpi = cos (k*2pi) + isin(k*2pi) = i toch?

[In physics I trust]

Voor welke waarden van het argument is een sinus 0? En een cosinus?

[Nesta]

Sin (2pi) = 0 en cos (pi/2) = 0

[In physics I trust]

En de gehele veelvouden? Die toch ook? Welke trm wordt 0 in bericht 12?