Afgeleide van een vector

[Arie Bombarie]

Goedendag,

Ik weet dat:

\(\overrightarrow{r_{p}}=\overrightarrow{r_{s}}+\overrightarrow{r_{ps}} \)

(1)

Wat ik moet berekenen is

\(\ddot{\overrightarrow{r_{s}}}\)

Uit (1) volgt:

\(\overrightarrow{r_{s}}=\overrightarrow{r_{p}}-\overrightarrow{r_{ps}} \)

(2)

Ik weet de waarden voor:

\(\ddot{\overrightarrow{r_{p}}}\)

en

\(\ddot{\overrightarrow{r_{ps}}}\)

.

Nu vraag ik mij af of het volgende geldt:

\(\ddot{\overrightarrow{r_{p}}}=\ddot{\overrightarrow{r_{s}}}+\ddot{\overrightarrow{r_{ps}}} \)

en dus:

\(\ddot{\overrightarrow{r_{s}}}=\ddot{\overrightarrow{r_{p}}}-\ddot{\overrightarrow{r_{ps}}} \)

Indien ja, hoe kan je dit aantonen bij gebruik van (1)?

Alvast bedankt!

[Drieske]

Ik ben niet bekend met die notatie van puntjes boven je vector. Is dat een andere notatie voor de gradiënt?

[1Steven1]

Een punt boven een getal/vector staat (normaal gesproken) voor de afgeleide naar de tijd (d/dt) en 2 punten dus voor de 2e afgeleide naar de tijd (d^2/dt^2)

[Arie Bombarie]

Klopt inderdaad, het gaat hier om afgeleide naar de tijd.

[Bartjes]

Voor de historische oorsprong zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_notation

[aadkr]

\(\vec{r}_{s}=\vec{r}_{p}-\vec{r}_{ps} \)

Als je nu links en rechts van het = teken differentieerd naar de tijd , welke vergelijking krijg je dan?

[Drieske]

Okee, dat helpt al . Bedankt!

Waarom zou hier de afgeleide niet door de som schuiven?

Ik heb dit overigens eventjes verplaatst naar Analyse.

[aadkr]

De afgeleide door de som schuiven is ook een goede manier om dit vraagstuk op te lossen.

[Arie Bombarie]

Als ik links en rechts van het = teken differentieer naar de tijd krijg ik:

\(\dot{\overrightarrow{r_{s}}}=\frac{d}{dt}\left ( \overrightarrow{r_{p}}-\overrightarrow{r_{ps}} \right )\)

Maar of dan het volgende geldt:

\(\dot{\overrightarrow{r_{s}}}=\dot{\overrightarrow{r_{p}}}-\dot{\overrightarrow{r_{ps}}} \)

weet ik niet.

Dit is bijvoorbeeld wel het geval wanneer je werkt met functies, maar of dit ook het geval is bij vectoren weet ik niet zeker.

[aadkr]

Dat antwoord lijkt mij uitstekend.

Die somregel voor differentieren geldt volgens mij ook voor vectoren.

[Bartjes]

Dit is bijvoorbeeld wel het geval wanneer je werkt met functies, maar of dit ook het geval is bij vectoren weet ik niet zeker.

Zie de definitie van de afgeleide van een vector, daar volgt dat uit.

[Arie Bombarie]

Bedankt voor de antwoorden.

Een dergelijk bewijs kan er neem ik aan als volgt uitzien voor - in dit geval - x en y in

\(R^{3}\)

:

\(\overrightarrow{x}=\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}\)

\(\overrightarrow{y}=\begin{bmatrix}d\\ e\\ f\end{bmatrix}\)

\(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}d\\ e\\ f\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+d\\ b+e\\ c+f\end{bmatrix}\)

Gebruik makend van de definitie van de afgeleide van een vector:

\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{x}=\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}a\\ \frac{d}{dt}b\\ \frac{d}{dt}c\end{bmatrix}\)

en ook:

\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{y}=\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}d\\ e\\ f\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}d\\ \frac{d}{dt}e\\ \frac{d}{dt}f\end{bmatrix}\)

\(\frac{d}{dt}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}a+d\\ b+e\\ c+f\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}(a+d)\\ \frac{d}{dt}(b+e)\\ \frac{d}{dt}(c+f)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}a +\frac{d}{dt}d\\ \frac{d}{dt}b +\frac{d}{dt}e\\ \frac{d}{dt}c +\frac{d}{dt}f\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}a \\ \frac{d}{dt}b \\ \frac{d}{dt}c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}d \\ \frac{d}{dt}e \\ \frac{d}{dt}f \end{bmatrix}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{x}+\frac{d}{dt}\overrightarrow{y}\)

Oftewel de somregel voor differentieren geldt ook voor vectoren (in dit geval alleen bewezen voor vectoren in

\(R^{3}\)

, maar dit kan uiteraard ook voor vectoren in

\(R^{n}\)

bewezen worden).

Is dit correct?

[Bartjes]

Is dit correct?

Mooi gedaan! Er zijn meerdere manieren om de afgeleide van een vectorfunctie te definiëren. De definitie die je zelf gebruikt had ik ook in gedachten, maar ik heb er geen bron voor kunnen vinden.

[Drieske]

Mooi gedaan! Er zijn meerdere manieren om de afgeleide van een vectorfunctie te definiëren. De definitie die je zelf gebruikt had ik ook in gedachten, maar ik heb er geen bron voor kunnen vinden.

Bedoel je een bron hiervoor:

\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{x}=\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{d}{dt}a\\ \frac{d}{dt}b\\ \frac{d}{dt}c\end{bmatrix}\)

Dat staat gewoon op bijv Wiki.

[Bartjes]

Dat staat gewoon op bijv Wiki.

Mooi zo, ik heb wel op de Wikipedia gezocht maar was niet op het idee gekomen de "Time derivative" te bekijken. Bedankt.