Raketvergelijking van tsiolkovsky

[faelsendoorn]

Twee vragen uit de mechanica, die best wel ingewikkeld zijn voor als je het spoor bijster bent. Graag hulp!

Behoud van momentum kan gebruikt worden om de zogenaamde raketvergelijking van Tsiolkovsky uit 1903 af te leiden.

1. Een raket stoot een reactie-massa uit met een relatieve snelheid -u ten opzichte van de raket. Als de massa van de raket aan het begin M₀ = M (t=0) is, laat zien dat de snelheid van de raket afhangt van de (overgebleven) massa M(t) van de raket als v(M) = v(M₀) + u log (M₀/M)

De uitlaat snelheid van een raket wordt meestal gemeten in specifieke impuls, Isp = u/g, waar g de zwaartekracht versnelling op het oppervlak van de aarde is, g=9,8 ms^-2. De typische specifieke impuls van een chemische raket (vloeibaar waterstof, vloeibaar zuurstof) is 440s (eg. eerste trap Ariane V), terwijl een ionen raket 6000s kan halen (Deep Space I).

2. Om in een lage baan om de aarde te komen zal een één-traps raket een snelheids-verschil delta v van ten minste 9,5*10³ms^-1 moeten genereren. Als deze raket de motor van een Ariane V gebruikt, welke fractie van de massa van de raket zal tenminste voor brandstof gebruikt moeten worden om deze delta v te genereren? Merk op: voor dit probleem mag je de zwaartekracht verwaarlozen...(en het antwoord is dus een onderlimiet voor de fractie brandstof van het meer 'realistische' probleem waar de raket ook nog eens uit de zwaartekracht potentiaal van de aarde moet klimmen).

Mijn dank is groot!

Frans

[mathfreak]

Opmerking: de Engelse term momentum wordt in het Nederlands vertaald als impuls.

[faelsendoorn]

Dan zou het wat te maken hebben met impuls. Hoe moet je dan vanuit de algemene impulswet bovenstaande afleiden?

[Neutra]

Ik mis het volgende uitgangspunt.

Neem aan, dat het tempo waarmee de brandstof met zuurstof vermindert, constant is, zeg f (een aantal kg/s).

Dit is even veel als de afname van de massa van de raket per tijd.

De massa van de raket is dan M(t) =M(0) - ft.

Bedenk verder dat de stuwkracht gelijk is aan de impulstoename van de raket per tijd.

(M neemt af maar v neemt toe)

[faelsendoorn]

Wat neutra zegt klinkt logisch inderdaad.

Hoezo dan de logaritme in de formule? Of wat het een benadering van vraag 2

[nos]

Heey,

Wat vraag 1 betreft:

Begin met de wet van behoud van impuls(momentum in het engels)

P(begin)=P(eind)

En denk hieraan dat P eind een heel klein moment later is.

Mv + Fdt = -v(e)dm(e)+(M-dm(e))*(v+dv)

Waarin M de massa van de raket is,

v(e) de snelheid van het gas dat wordt uitgestoten

dm(e) is een klein element van de massa dat wordt uitgestoten,

v= snelheid van de raket

dv= de kleine snelheidsverandering van de raket

Wanneer je deze formule ombouwt krijg je:

F= M(dv/dt)-(v+v(e))(dm(e)/dt)

Als je F op nul stelt, krijg je dus:

M(dv/dt)= u(dm(e))/dt)

Hierin is u =(v+v(e)) de relatieve snelheid van het uitlaatgas t.o.v de raket.

De dt's vallen weg.

dv = u (dm(e))/M)

De toename van de uitgestoten massa is een afname van de massa van de raket:

dm(e)= - dM

dv = -u(dM/M)

Nu kun je beide kanten integreren:

V(eind)-V(begin) = -u Ln(M(eind)/M(begin))

Hierin is Ln de natuurlijke logaritme.

V(eind) = V(begin) + u Ln(M(begin)/M(eind))

Voor vraag twee zul je gebruik moeten maken van exponentiatie.