Bodediagram maken mbv asymptotische benaderingen

[klonic]

Voor jullie gemak heb ik de vragen dik gedrukt.

Ik heb het volgende vraagstuk:

Gegeven is een 2e orde filter met overdrachtsfunctie:

\(H(\ohmega)=\frac{jwRC}{1+jwRC+(jw)(jw)RL}\)

met R = 1 03 Ω, C=10-6 F, L = 10-3 H.

a) Bereken de resonantiefrequentie wres.

b) Bereken de bandbreedte B.

c) Schets het Bodediagram (amplitude en fase) door gebruik te maken van de asymptotische benaderingen.

De gevonden antwoorden:

a) 10^*(9/2) of 31623 rad/s

b) 10^6 rad/s

c) hier heb ik alleen het amplitudediagram gevonden. Het antwoordenmodel laat deze afbeelding zien:

[attachment=9043:Schermaf...03.01.16.png]

Hoe kan ik via de asymptotische benadering aan het fasediagram komen?

Om dit te oefenen heb ik wat simpelere vraagstukken bestudeerd:

[attachment=9044:Schermaf...03.12.38.png]

Fase wordt dus bepaald door het argument van de overdrachtsfunctie te bepalen. Deze is arctan(Im/Re). Im is hierin het imaginaire deel van de vergelijking en Re is het reële deel.

Im=H(w)

Re=0

dus Im/Re=0

arctan(0)=0 en niet -Pi/2 zoals in het antwoorden model staat. Wat doe ik verkeerd?

Bij complexere functies moet zo ik zo te werk gaan:

[attachment=9045:Schermaf...03.26.43.png]

Ik mag dus de teller en noemer apart analyseren en vervolgens de resultaten sommeren (door het gebruik van een logaritmische schaal).

[attachment=9046:Schermaf...03.26.59.png]

In de grafiek geldt trouwens dat de dikke lijnen voor de versterking zijn en de dunne voor de fase. Ook hier geldt dat het argument van de 'numerator' 0 zou moeten zijn omdat H1(w)=jw geen reëel gedeelte kent. Echter blijkt uit de grafiek dat het ongeveer 1,5 is (vast Pi/2). Wat doe ik verkeerd?

Ik heb overigens gezocht in mijn boek (Introduction to Engineering Experimentation (Anthony J. Wheeler, Ahmad R. Ganji), op internet (algemeen) en op dit forum naar antwoorden maar helaas dus zonder resultaat.

[EvilBro]

Ik heb het volgende vraagstuk:

Gegeven is een 2e orde filter met overdrachtsfunctie:

\(H(\omega)=\frac{jwRC}{1+jwRC+(jw)(jw)RL}\)

met R = 1 03 Ω, C=10-6 F, L = 10-3 H.

Ik neem aan dat de weerstandswaarde \(10^3\) is.

a) Bereken de resonantiefrequentie wres.

\(H(\omega)=\frac{j\omega R C}{1+j \omega R C +(j\omega)(j\omega) R L} = \frac{j\omega R C}{(1 - \omega^2 R L)+j \omega R C}\)

\(|H(\omega)|= \frac{|j\omega R C|}{|(1 - \omega^2 R L)+j \omega R C|} = \frac{\omega R C}{\sqrt{(1 - \omega^2 R L)^2 +(\omega R C)^2}} = \frac{\omega R C}{\sqrt{R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1}}\)

\(\log |H(\omega)|= \log \left( \frac{\omega R C}{\sqrt{R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1}} \right) = \log \omega R C - \frac{1}{2} \log \left({R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1} \right)\)

\(\frac{\partial \log |H(\omega)|}{\partial \omega} = \frac{1}{\omega} - \frac{1}{2} \frac{4 R^2 L^2 \omega^3 + 2 (R^2 C^2 - 2 R L) \omega}{R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1} = 0\)

\(\frac{1}{\omega} = \frac{1}{2} \frac{4 R^2 L^2 \omega^3 + 2 (R^2 C^2 - 2 R L) \omega}{R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1} \)

\(R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2 + 1 = 2 R^2 L^2 \omega^4 + (R^2 C^2 - 2 R L) \omega^2\)

\(1 = R^2 L^2 \omega^4 \rightarrow \omega = \frac{1}{\sqrt{R L}}\)

Met de gegeven waarde vind je dan dus een omega van 1. Dit is niet het antwoord dat jij gevonden had. Als ik de functie met maxima plot dan zie ik ook de top bij een omega van 1 liggen. Ik denk dus dat je iets verkeerd doet. Je geeft echter niet aan hoe je aan jouw waarde komt dus ik kan niet zeggen wat je dan niet goed doet.

Het valt mij ook op dat mijn plot er anders uitziet dan het antwoord uit het antwoordmodel. Heb je wel de juiste functie opgegeven?

[klonic]

EvilBro,

Sorry dat ik zo laat reageer, mijn Macbook Pro is gecrashed waardoor ik allerlei gegevens niet bij de hand heb en uberhaupt minder bezig ben met internet. Jouw berekening klopt en met de gegevens kom ik nu ook op 1 uit. De R-waarde heb ik precies zo overgenomen zoals in de opdracht staat, ik neem aan dat het inderdaad 1000 moet zijn. Ik heb de formule verkeerd overgenomen. Het moest zijn:

\(\frac{jwRC}{1+jwRC+(jw)(jw)LC}\)

Mijn uitwerking is trouwens

\(a(jw)^{2}\)

=

\(\frac{(jw)^{2}}{wres^{2}}\)

\(wres\)

=

\(\sqrt{\frac{1}{a}}\)

Hierin is a dus gelijk aan LC. LC=

\(10^{-9}\)

\(wres\)

=

\(\sqrt{\frac{1}{10^{-9}}\)

=

\(10^{\frac{9}{2}}\)

=31622

[Xenion]

Ter info: Ik vond deze website erg handig toen ik dit moest studeren.