De relatie tussen wiskunde en natuurkunde

[Paul_1968]

De huidige statistische benadering die vooral sinds de Kwantum-Mechanica veel wordt gebruikt kan studenten een beetje in de war hebben gebracht over de manier waarop de Wiskunde en de Natuurkunde elkaar kunnen aanvullen.

De Wiskundige benadering in de Natuurkunde schijnt een succesvolle strategie te zijn en het "Standard Model for Elementary Particles" is een mooi resultaat ervan.

Wanneer iets Wiskundig geconstrueerd kan worden is het per definitie ook een onderdeel van de Natuurkundige wereld om ons heen. Voor deze visie is het idee gebruikt dat alles in principe Statistisch mogelijk is, wanneer het consistent is met de huidige theorie. Men heeft alleen nog moeite met het voorspellen hoe vaak de nieuwe constructie in de natuur voor zal komen. Vandaar de spanning in CERN rond het HIGGS-deeltje.

Ik heb het idee dat de benadering die werd gehanteerd, voor de KM, een beetje te veel op de achtergrond is gekomen in de Naturkunde. Die zou je kunnen noemen : "de Filosofische benadering". Die werd voor alle wetenschappen en wordt nu nog steeds voor de meeste wetenschappen gebruikt.

Klopt het dat men in de Natuurkunde is overgestapt van de oude naar de nieuwe benadering ?

[mathfreak]

Wanneer iets wiskundig geconstrueerd kan worden is het per definitie ook een onderdeel van de natuurkundige wereld om ons heen.

Nee hoor, het discontinuüm van Cantor kan wiskundig worden geconstrueerd, maar vormt geen onderdeel van de natuurkundige wereld om ons heen.

[hanzwan]

of bijvoorbeeld de complexe getallen.

[Rogier]

Of de meeste reële getallen. Zoals -4 of e.

[Paul_1968]

Ik begrijp wat jullie bedoelen.

Die zin van mij klopt niet omdat niet ALLE Wiskunde bedoeld is om er een Natuurkundig fenomeen mee te voorspellen.

Dat is waar.

[317070]

Wanneer iets Wiskundig geconstrueerd kan worden is het per definitie ook een onderdeel van de Natuurkundige wereld om ons heen.

Ik denk dat ik snap wat je bedoelt. Bedoel je dat je het spijtig vindt dat een natuurkundige theorie tegenwoordig niet meer serieus genomen wordt als ze niet minstens een bijzonder grote hoeveelheid complexe wiskunde bevat? (want dat heb ik wel)

[hanzwan]

Ik denk dat de insteek niet helemaal klopt, de wiskunde wordt niet alleen gebruikt om de natuurkunde mee te verklaren. De wiskunde is meer een soort van 'gedachte-experiment' of 'gedachte-ontwikkeling' waarin mensen bepaalde axioma's accepteren en vervolgens conclusies trekken vanuit die axioma's. Soms worden mensen daarbij geholpen door natuurlijke fenomenen. Maar het komt ook voor dat bepaalde wiskundige conclusies of bewijzen vrij weinig te maken hebben met de realiteit. De complexe getallen zijn hier een voorbeeld van. Hoewel wortels en kwadraten verzonnen zijn voor mensen is het op het eerste gezicht aannemelijk dat er in de natuur geen wortel van een negatief getal kan voorkomen. Doordat verschillende wiskundigen hebben gezegd 'wat zou er gebeuren als we het wel toelaten in onze discipline' zijn een hele hoop nieuwe theorien en inzichten verkregen.

Juist omdat deze wiskundige conclusies gecontroleerd kunnen worden op (on)juistheid door anderen is de wiskunde zo'n sterke, onbevooroordeelde discipline. Vandaar dat veel wetenschappen, zoals ook de natuurkunde, gebeurtenissen proberen te beschrijven dmv de wiskunde. Zoals Dean Slicter ooit heeft gezegd: "Go down deep enough into anything and you will find mathematicas."

Dit is mijn visie op het verband tussen wiskunde en andere (wetenschappelijke) disciplines. Als er serieuze gaten in zitten wil ik graag leren hoe het wel zit:)

[Paul_1968]

Ik denk dat ik snap wat je bedoelt. Bedoel je dat je het spijtig vindt dat een natuurkundige theorie tegenwoordig niet meer serieus genomen wordt als ze niet minstens een bijzonder grote hoeveelheid complexe wiskunde bevat? (want dat heb ik wel)

Ja, dat is gedeeltelijk mijn motivatie. Ik ben op zoek gegaan naar redenen daarvoor en ben tot de conclusie gekomen dat Wiskunde niet altijd de drijvende kracht achter Natuurkundige theorien is geweest.

Het had een ondersteunende rol naast de meer algemene Filosofische benadering waarbij Logica en Consistentie de hoofdstrategie was in het ontwikkelen van nieuwe denkbeelden.

Door meer te weten te komen over de manier waarop Wiskunde nu gebruikt wordt in vooral de Kwantum Mechanica, hoop ik ook beter te leren begrijpen of de "oude manier" nog waardevol is. Voorlopig denk ik dat de oude manier volledig uit het zicht is verdwenen bij veel nieuwkomers en daardoor dus nooit als mogelijke strategie wordt gezien.

[Paul_1968]

Ik denk dat de insteek niet helemaal klopt,

...

De wiskunde is meer een soort van 'gedachte-experiment'

...

"Go down deep enough into anything and you will find mathematicas."

Wiskunde wordt inderdaad niet alleen gebruikt in de Natuurkunde.

Ik denk dat in het geval van de oude (Filosofische) strategie beter gesproken kan worden van een gedachten-experiment omdat daarbij meestal niet de Wiskunde als uitgangspunt wordt genomen.

( Denk aan de gedachtenexperimenten van Einstein over het licht. )

Ik kan me ook niet goed voorstellen hoe je puur met Logica en Consistente argumenten een natuurkundig verschijnsel kunt beschrijven, maar dat kan liggen aan mijn achtergrond. Ik ben namelijk ook geboren in een tijd waarin de Wiskunde al gold als DE strategie.

[hanzwan]

Wiskunde wordt inderdaad niet alleen gebruikt in de Natuurkunde.

Ik denk dat in het geval van de oude (Filosofische) strategie beter gesproken kan worden van een gedachten-experiment omdat daarbij meestal niet de Wiskunde als uitgangspunt wordt genomen.

( Denk aan de gedachtenexperimenten van Einstein over het licht. )

Ik kan me ook niet goed voorstellen hoe je puur met Logica en Consistente argumenten een natuurkundig verschijnsel kunt beschrijven, maar dat kan liggen aan mijn achtergrond. Ik ben namelijk ook geboren in een tijd waarin de Wiskunde al gold als DE strategie.

Ik denk ook niet dat dat (altijd) mogelijk is. Er zullen ongetwijfeld gevallen zijn waarin dit wel gebeurt, echter factoren als waarnemingen en zelfs vermoeden zullen vaak een bepaalde rol spelen. Nadat er een waarneming heeft plaatsgevonden en er een vermoeden is ontstaan bij de observator zal hij/zij dit proberen te beschrijven in de vorm van wiskundige modellen. De precisie van de waarneming en de manier waarop dit in een model is vertaald zullen vervolgens bepalen hoe waardevol de theorie zal zijn (en hoe lang hij waardevol blijft).

Edit: om nog een ding toe te voegen: ik denk dat we zodra er een vermoeden of waarneming is , de wiskunde/logica op zoeken om de waarneming te beschrijven

Tomas Kuhn heeft het over paradigm shifts, gedurende bepaalde periodes zullen er in (bijna) alle wetenschappen bepaalde opvatting omtrent de werkelijkheid domineren. De kennis binnen een wetenschappelijke discipline ontwikkelt zich echter, waardoor er na verloop van tijd steeds meer contradicties of gaten tussen de heersende opvattingen/theorie en de nieuwe observaties zullen plaatsvinden. Dit zal dan uiteindelijk lijden tot een revolutie waarin nieuwe opvattingen omtrent de werkelijkheid met elkaar strijden om dominantie.

Een voorbeeld hiervan is toen de natuurkunde over ging van Newtons model voor Krachten naar Einsteins model. Newtons model was heel lang accuraat genoeg. Echter, toen de mens instaat was om de maan beweging accuraat te meten ontstonden er discrepanties tussen Newtons theorie en de werkelijkheid. Newton schijnt zijn theorie te hebben gebaseerd op waarnemingen gecombineerd met een vermoeden.



Ook nu staan wij wellicht op de vooravond van een wetenschappelijke revolutie. Als blijkt dat deeltjes echt sneller dan het licht kunnen dan zal de moderne natuurkunde niet meer correct/volledig zijn en zullen er nieuwe modellen moeten worden ontwikkeld.

Ik merk dat het een lang verhaal aan het worden is, wat ik probeer te zeggen is dat (naar mijn gevoel) veel natuurkunde gebaseerd is op waarnemingen, die dan weer zijn uitgewerkt in modellen. De waarde/werkelijkheidsgehalte van die modellen licht aan hoe exact wij de waarnemingen kunnen meten. Op het moment dat wij nog beter kunnen meten zullen de oude modellen soms niet meer juist zijn. Daardoor is het de vraag (en ook de vraag die Kuhn in zijn Paradigm theorie stelt) of we echt vooruitgang boeken en ooit een exacte definitie/theorie van alle natuurkundige processen zullen hebben. Of dat we tot in het oneindige onze modellen zullen moeten blijven aanpassen gebaseerd op de werkelijkheid.

[DePurpereWolf]

Natuurkunde gebruikt wiskunde als instrument om de natuur te beschrijven.

Hoe je natuurkunde uitlegt kan op twee manieren. De makkelijke manier is om het als een wiskunde som te laten zien. Het klopt omdat het antwoord klopt. Dit is wat een luie leraar doet. De moeilijke manier is om uit te proberen te leggen waarom iets is. Dit duurt veel langer en is moeilijker.

Men zou eerst de principes aan moeten leren, en dan pas de wiskunde, maar soms word die eerste stop overgeslagen omdat vergelijkingen onthouden nou eenmaal makkelijker gaat.

Als je natuurkunde proefwerk erg veel wiskunde bevat, heb je een slechte leraar, dat is mijn opinie.

[PeterPan]

De Wiskundige benadering in de Natuurkunde schijnt een succesvolle strategie te zijn en het "Standard Model for Elementary Particles" is een mooi resultaat ervan.

Zowel de algemene relativiteitstheorie als de relativistische quantumveldtheorie zijn onvolledige en inconsistente theorieën.

Het is zelf zeer twijfelachtig of er wel een wiskundige theorie van het standaardmodel der elementare deeltjes bestaat.

Het optreden van singulariteiten is meer regel dan uitzondering.

De zogenaamde renomeringstheorie die die singulariteiten doet wegmoffelen is niets anders dan een trucendoos die weinig met wiskunde van doen heeft. Als men weet dat uit een berekening iets eindigs moet komen worden oneindige parameters als input gegeven die de oneindigheden moeten opheffen. Op die manier heeft men o.a. het anomale machnetische moment van een elektron op 12 decimale nauwkeurig weten te vinden (in overeenstemming met experimenten).

Hetzelfde verschijnsel deed zich voor bij het molekuulmodel van Bohr. Dat heeft geleid tot de quantummechanica.

Daarvan ontstonden 2 modellen, een gebaseerd op matrices en de andere op Fouriertheorie. Die bleken in feite met elkaar overeen te stemmen. Een indicatie dat men de juiste oplossing te pakken had. De huidige theorieën die de singulariteitenproblemen aanpakken zijn allemaal met elkaar in strijd. Dat stemt tot droevenis. We zijn nog ver weg van een wiskundige theorie voor het standaardmodel der elementare deeltjes.

[Jemini]

Natuurkunde gebruikt wiskunde als instrument om de natuur te beschrijven.

Hoe je natuurkunde uitlegt kan op twee manieren. De makkelijke manier is om het als een wiskunde som te laten zien. Het klopt omdat het antwoord klopt. Dit is wat een luie leraar doet. De moeilijke manier is om uit te proberen te leggen waarom iets is. Dit duurt veel langer en is moeilijker.

Men zou eerst de principes aan moeten leren, en dan pas de wiskunde, maar soms word die eerste stop overgeslagen omdat vergelijkingen onthouden nou eenmaal makkelijker gaat.

Als je natuurkunde proefwerk erg veel wiskunde bevat, heb je een slechte leraar, dat is mijn opinie.

Ik ben hier erg op tegen.

Waarom?

Omdat het snappen van een wiskundige formule in de natuurkunde heel moeilijk is.

Ik zelf heb een aantal theoriën van een aantal formules.

Zo is bijvoorbeeld P=F/a letterlijk gewoon een kracht die wordt onderverdeeld over xcm².

Als je niet zo kan denken moet je het gewoon aannemen, het is immers al aangetoond dat het klopt door iemand anders.

Mijn natuurkundedocent is bewust van het feit dat sommige mensen natuurkunde gewoon niet kunnen en dat het aanneem werk is.

[Paul_1968]

Ik zie dat de discussie zich vertakt in verschillende richtingen :

1. Hoe wordt Natuurkunde gegeven op school en welke rol speelt de Wiskunde hierin ?

2. Hoeveel Wiskunde moet een Natuurkundeleraar gebruiken om iets goed uit te leggen ? En in hoeverre kun je een afleiding van een formule uitleggen en begrijpelijk maken zonder te hoeven zeggen dat iemand anders dat al heeft gedaan en dat we het "aan moeten nemen" ?

3. Hoeveel Wiskunde is er nodig in de huidige wetenschappelijke ontwikkelingen om te komen tot een aanvulling op de huidige theorie ? En hoeveel is er nodig om als serieuze Natuurkundige gezien te worden ?

Onderwijs

Op vragen 1. en 2. zou ik antwoorden dat Natuurkunde op school niet gegeven kan worden zonder een minimum aan Wiskunde en dat er jammergenoeg te weinig tijd is om de afleiding van formules uit te leggen op de middelbare school. Op Universiteiten is daar gelukkig nog wel tijd voor en dat is ook noodzakelijk om Natuurkunde beter te begrijpen.

Toch blijven er delen van de theorie over waarvan we op school gedwongen worden om ze voor waar aan te nemen.

Die delen kunnen we pas echt controleren, testen en verder uitpluizen wanneer we er een project van maken na de reguliere opleidingen.

Wetenschap

Op vraag 3. kan ik nog geen antwoord geven. Dat is voor mij nog een open vraag en ik ben op zoek naar antwoorden.

Ik dacht dat de Kwantum Mechanica voor minstens 90% bestond uit Wiskunde en voor 5 tot 10 procent aan Natuurkunde.

De Wiskunde is daar de plaats gaan innemen van de waarnemingen, voor zover ik het begrepen heb.

Dat is nu ongeveer een eeuw zo en ik vraag me af of de ouderwetse manier van Natuurkunde bedrijven nog mogelijk is.

Peterpan weet hier misschien meer van en kan in deze richting wat meer helderheid geven.

[Marko]

Wiskunde heeft helemaal niet de plaats ingenomen van de waarnemingen, hoe kom je daar nou weer bij.

Alle apparatuur bij bijvoorbeeld CERN staat daar maar voor 1 doel: Het doen van waarnemingen.

Het is wel zo dat je een hoop wiskunde nodig hebt om de ruwe data te vertalen in iets waarmee de theorie getoetst kan worden. Het is ook zo dat dat de hoeveelheid wiskunde die daarvoor nodig is, groter is dan pakweg 100 jaar geleden.

Dat heeft voor een deel met de formulering van de theorieën te maken, voor een deel met het karakter van de experimenten. Een Higgs-deeltje bijvoorbeedl valt nu eenmaal niet te isoleren en te bestuderen. Je kunt hooguit de aanwezigheid ervan, te midden van talloze andere deeltjes, afleiden doordat het deeltje een of ander karateristiek signaal geeft, wat je kunt detecteren.

Maar voor je zeker kunt stellen dat je zo'n signaal hebt, en je niet toevallig naar een bultje in de ruis zit te kijken, moet je heel veel metingen doen, en een hoop statistiek bedrijven.

Die wiskunde is echter instrumenteel, en neemt absoluut niet de plaats in van experimenten.