Snelheidsvermindering door luchtwrijving

[wesselh]

Beste mechanici,

ik ben op een probleem gestuit tijdens alle berekeningen voor ons profielwerkstuk. Ik wil graag berekenen welke snelheidsvermindering een rollende kogel met een gegevens snelheid over een gegeven afstand verliest.

m=0.002 kg (massa)

A=0.004^2*pi m^2 (frontaal oppervlak kogel)

p=1.2041 kg/m^3 (dichtheid lucht)

Cw=0.42 (wrijvingscoëfficiënt)

s=1 m (afstand)

Vb=1 m/s (beginsnelheid)

Ikzelf zat te denken aan de wet van arbeid en kinetische energie:

\(\Delta Ek = -Fw * s0.5m(Ve)^2 - 0.5m(Vb)^2 = -\int Vb>Ve (0.5*Cw*p*A*v^2)dv * s0.5m(Ve)^2 - 0.5m(Vb)^2 = -\int Vb>Ve (0.5*Cw*p*A*v^2)dv * sGegevens invullen geeft vervolgens de vergelijking:0.003(Ve)^2 - 0.003(1)^2 = -0.5*0.42*1.2041*0.004^2*pi*1*(Ve)^3 + 0.5*0.42*1.2041*0.004^2*pi*1\)

Als ik deze vergelijking oplos mbv wolfram alpha, dan krijg ik de volgende oplossingen:

x=236.027

x=-1.00425

x=1.

Heeft iemand een idee waarom hier geen verwachte oplossing uitkomt? Iets als 0.98 oid.

Graag hoor ik van iemand wat ik fout doe of hoe ik het anders moet doen. En al helemaal geweldig zou het zijn als iemand weet hoe ik de snelheidsverandering moet berekenen met een onbekende beginsnelheid.

Mvg, Wessel

[Jan van de Velde]

Met de hiervoor benodigde wiskunde kan ik je niet helpen, wat me in ieder geval wél opvalt is dat je de rotatie-energie (rollende kogel) geheel buiten beschouwing laat, alsook de rolwrijving (al zal dat laatste een zeer kleine en mogelijk verwaarloosbare rol spelen)

Je gebruikt nu dus Δ(½mv²) maar je zou moeten gebruiken Δ(⁷/₁₀mv²), aangenomen dat je kogel massief is.

http://www.cbu.edu/~jholmes/P201/Part32/sld039.htm

en volgende pagina's voor een verklaring van die 7/10 .

[wesselh]

Hier heb ik een document ter verduidelijking van het probleem. Het is tot nog toe nog niet opgelost.

De laatste vergelijking geeft aan dat de eindsnelheid afhankeiljk is van de tijd. Maar dat snap ik niet want mij lijkt dat de tijd dit vraagstuk ook vast staat.

http://wesselhoff.nl/Snelheidsverlies_door_luchtwrijving.doc

[Xenion]

De uitwerking van die integraal klopt niet. Ik weet niet of dit analytisch mogelijk is.

Ik zou zelf eerder via de 2de wet van Newton gaan. Daarmee bepaal je s(t) en v(t) je kan dan berekenen naar hoeveel tijd je de 'bepaalde afgelegde weg' afgelegd hebt. Dat tijdstip kan je dan in v(t) invullen en dan heb je wat je wou weten.

De luchtwrijving die functie is van v² maakt de vergelijking niet-lineair. Die dingen zijn moeilijk of niet analytisch op te lossen (zie link) . Een numerieke benadering is meestal eenvoudiger.

[Jan van de Velde]

is er overigens iets dat je ervan weerhoudt dit te modelleren in ipcoach, of zelfs in excel?

[wesselh]

Ik heb eerlijk gezegd nog nooit zoiets gemodelleerd.

@Xenion

Maar bereken je dan s(t) en v(t)? Want a blijft niet constant.

[Xenion]

@Xenion

Maar bereken je dan s(t) en v(t)? Want a blijft niet constant.

Dat is net het moeilijke. Dat soort van vergelijking heet differentiaalvergelijking. In de link die ik gaf staat een voorbeeld met luchtwrijving en zwaartekracht analytisch uitgerekend.

Je kan daar al zien dat die dingen vrij lastig zijn. Vandaar dat er meestal numerieke modellen worden gebruikt.

Hier heb ik eens uitgelegd wat het basis-idee is van zo'n numerieke benadering.

Ben je daar iets mee?

(Dat modelleren wat Jan voorstelt is uiteindelijk hetzelfde als de numerieke benadering die ik voorstel. Er zijn betere methoden, maar bij deze is het makkelijker om in te zien wat er gebeurt.)

[Jan van de Velde]

Ik heb eerlijk gezegd nog nooit zoiets gemodelleerd.

dat is stúkken eenvoudiger dan de analytische oplossing. Je rekent eindsnelheid uit voor een tijdstap van bijvoorbeeld 0,01 s, waarin je de weerstand berekent op basis van beginsnelheid en gedurende die 0,01 s als constant veronderstelt.

de stappen hiervoor zet je allemaal op één regel in verschillende opvolgende kolommen in een excelbestand, beginnend met v_begin en andere beginwaarden en in de laatste kolom komt uiteindelijk v_eind terecht. NB: vergeet bij dit alles niet dat de kogel niet alleen transleert maar tevens roteert!!

die hele regel kopieer je naar regel 2, en in de eerste kolom laat je hier als beginsnelheid excel nu zelf de waarde eindsnelheid van de voorgaande regel nemen.

Nu kopieer je regel 2 een keer of duizend naar beneden.

voilà je model, dat nu allerlei gegevens kan opleveren voor de situatie tussen start en 10 s (1000 x 0,01 s) later. .

[Jan van de Velde]

voilà je model .

zie bijlage voor een voorbeeldmodel van een kogel die over een wrijvingsloze ondergrond schuift.

eindsnelheid = beginsnelheid -δv

δv berekend middels Fδt/m (verandering van impuls = krachtstoot licht verbouwd)

Op basis van deze ideeën voor verwerking in excel kun je dan een model bouwen voor een ROLLENDE kogel, want dezelfde kracht moet dan ook de rotatie-impuls verminderen

[wesselh]

Dat modelleren is inderdaad geen slecht idee. Ik heb dat nu gedaan met recursieve formules. w(n) heb ik gebruikt om te kijken wanneer die 2 meter is afgelegd. uit v(n) lees ik dan een snelheid van 2.994. Dit is natuurlijk niet precies. Maar wel geloofwaardig en volgens een goede benadering als je het mij vraagt. Wat vinden jullie hiervan? En zou het trouwens veel schelen als ik de rolwrijving ook opneem in het verhaal? Ik kan trouwens ook niet de rolwrijvingscoefficient vinden voor staal op plastic, want de stalen kogel rolt uiteindelijk over een ondergrond van plastic (pvc).

v0 = 3.0 m/s

voor k is trouwens gebruikt 0.5*0.42*1.2041*pi*0.05^2

voor delta t = 0.01 s

voor m = 2.0 kg

[Xenion]

Ik heb de cijfers niet nagerekend maar je formules zien er goed uit. Je hebt de methode blijkbaar door

Je kan het snelheidsverloop ook eens in een grafiek zetten voor verschillende waarden voor de tijdstap om het effect daarvan te bekijken.

Wat je nu hebt gebruikt is de methode van Euler.

Een andere methode die preciezer is, en niet veel moeilijker is die van Runge-***.

Als je tijd en zin hebt kan je daar eens naar kijken

[Jan van de Velde]

w(n) heb ik gebruikt om te kijken wanneer die 2 meter is afgelegd. uit v(n) lees ik dan een snelheid van 2.994. Dit is natuurlijk niet precies.

als je met een snelheid van 3 m/s begint is voor een schuivende kogel in mijn model de snelheid na 2 m nog maar gedaald tot 2,99996 m/s, en een rollende kogel mag nog minder vertragen.

Dus tenzij je nog meer andere uitgangspunten hebt genomen dan in mijn modelletje dat ik hierboven gaf zit er ergens nog een foutje in je model? heb je behalve een massa van 2 kg nog een andere straal dan 4 mm genomen ook hopelijk?

[Xenion]

dat kan natuurlijk NIET met een beginsnelheid van 1 m/s??

als je met een snelheid van 3 m/s begint is voor een schuivende kogel in mijn model de snelheid na 1 m nog maar gedaald tot 2,998 m/s, een rollende kogel mag nog minder vertragen.

Dus tenzij je nog meer andere uitgangspunten hebt genomen dan in mijn modelletje dat ik hierboven gaf zit er ergens nog een foutje in je model? heb je behalve een massa van 2 kg nog een andere straal dan 4 mm genomen ook hopelijk?

Hij begint toch met een snelheid van 3m/s?

v0 = 3.0 m/s

...

[wesselh]

ik heb een straal van 5cm gebruikt, anders is 2 kg ook niet echt reeel.

[Jan van de Velde]

Hij begint toch met een snelheid van 3m/s?

ja daar zag ik in eerste instantie overheen.

ik heb een straal van 5cm gebruikt, anders is 2 kg ook niet echt reeel.

mijn eenvoudigere model geeft met

m= 2 kg

r= 0,05 m

A= 0,007853982 m²

rho= 1,2041 kg/m³

Cw= 0,42 --

vb= 3 m/s

tijdstap= 0,01 s

na 2 m ook nog 2,994 m/s aan restsnelheid. En dat moet dan voor een rollende kogel nog hoger zijn, dus zit er een foutje in je model, houd je wel rekening met die rotatie-impuls?