Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
datenshi
Artikelen: 0
Berichten: 123
Lid geworden op: vr 08 okt 2010, 15:33

3-sphere

Hoe zijn de formules van het 3-dimensionale volume en het 4-dimensionale "volume" van een 3-sphere tot stand gekomen? ik besloot er laatst eens naar te kijken, en ik kon er niet echt achter komen.

Ik besloot als eerst de formules van een cirkel en een bol in een tabel te schrijven, in deze tabel staan de 'd-1' en 'd' voor wat de formule berekend. 'd-1' staat voor 1 dimensie lager dan de dimensie waarin het object voorkomt. voor de cirkel is dat dus de omtrek, wat eigenlijk gewoon een lijn is, en voor de bol de oppervlakte. 'd' staat voor de dimensie waarin het object voorkomt, bij een cirkel dus de oppervlakte en bij een bol dus het volume.
table
table 234 keer bekeken
Ik begon hier al het gevoel te krijgen dat ik niet goed ging omdat ik omtrek met oppervlakte zou vergelijken, en oppervlakte met volume. Maar ik besloot toch maar de formules van de 3-sphere zo te berekenen. door de verschillen tussen 2d (cirkel) en 3d (bol) te bekijken, en aan de hand daarvan 4d (3-sphere) te berekenen kwam ik uit op de volgende formules:
\(8 \pi r^3\)
(3-dimensionale volume)
\(\frac{4}{2} \pi r^4\)
(4-dimensionale "volume")

Volgens wikipedia zijn de formules die ik zou moeten hebben:
\(2 \pi^2 r^3\)
(3-dimensionale volume)
\(\frac{1}{2} \pi^2 r^4\)
(4-dimensionale "volume")

Dus hoe zijn wetenschappers op die formules gekomen?
Gebruikersavatar
tempelier
Artikelen: 0
Berichten: 4.388
Lid geworden op: zo 08 jan 2012, 00:59

Re: 3-sphere

Je kunt ze vinde door integratie, via een soort extrapolatie van bolcoördinaten.

Het is zelfs gelukt het voor een n-sfeer te vinden.

Grappig is wel dat het hyper-oppervlak de afgeleide is van van de hyper-inhoud.

Iets wat veel voorkomt bij omwentelings lichamen.

PS. De macht van
\(\pi\)
neemt per twee dimensies eentje toe in de formules.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Terug naar “Wiskunde”