Deeltje aan een hookse veer

[kazham]

a) De Gaussiche verdeling wordt gegeven door

\(e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\)

.

b) De kans dat het deeltje zich op positie x bevindt wordt gegeven door de Boltzmann distributie,

\(e^{-\beta V} = e^{-\beta \frac{1}{2} C x^2}\)

. Kan ik deze twee gewoon aan elkaar gelijkstellen om C, de veerconstante, te vinden? Dan krijg je namelijk:

\(C = \frac{k_B T}{\sigma^2}\)

. Dit lijkt me echter niet goed, aangezien dit van de temperatuur afhangt en dus per definitie geen constante is. Hoe moet ik deze opgave oplossen?

[Jan van de Velde]

Verplaatst naar het vakforum

[eendavid]

a) De verdeling die je geeft is niet genormeerd:

\(\int dx W(x)\)

moet 1 zijn.

b) C is nog steeds een constante, maar

\(\sigma\)

zal afhangen van de temperatuur, en wel zo dat C constant blijft.

Er is wel iets waar ik me zorgen om maak. Ik weet niet waar je deze vraag vandaan hebt, en wat je voorkennis is. Maar wanneer je de Boltzmann distributie gebruikt, zou je de kinetische energie ook moeten meenemen. Dat lijkt me op het eerste zicht wel niet zo eenvoudig, omdat er dan geen directe relatie

\(E\leftrightarrow x\)

bestaat. Dus dan zou je Boltzmann moeten gebruiken om de energie te berekenen, maar nog rekening moeten houden met de distributie als functie van x bij een gegeven energie (deze kan je halen uit de sinusoidale beweging, en de vaststelling dat

\(W(x)\propto \frac{1}{v(x)}\)

wanneer de baan van een deeltje, en dus de snelheid van een deeltje op positie x gekend is). Misschien is er een snellere manier, die ik niet direct zie, maar hopelijk heb je toch iets aan bovenstaande opmerkingen.

[Dr.Gallons]

Er is wel iets waar ik me zorgen om maak. Ik weet niet waar je deze vraag vandaan hebt, en wat je voorkennis is. Maar wanneer je de Boltzmann distributie gebruikt, zou je de kinetische energie ook moeten meenemen. Dat lijkt me op het eerste zicht wel niet zo eenvoudig, omdat er dan geen directe relatie

\(E\leftrightarrow x\)

bestaat. Dus dan zou je Boltzmann moeten gebruiken om de energie te berekenen, maar nog rekening moeten houden met de distributie als functie van x bij een gegeven energie (deze kan je halen uit de sinusoidale beweging, en de vaststelling dat

\(W(x)\propto \frac{1}{v(x)}\)

wanneer de baan van een deeltje, en dus de snelheid van een deeltje op positie x gekend is). Misschien is er een snellere manier, die ik niet direct zie, maar hopelijk heb je toch iets aan bovenstaande opmerkingen.

Er is een snellere manier. De gemiddelde energie van een H.O. is gelijk aan k_bT en is evenredig verdeeld over de kinetische en potentiele energie. De Gauss verdeling in combinatie met de wet van Hooke geeft ook een kansverdeling voor de potentiele energie, de verwachtingswaarde hiervan moet dus gelijk zijn aan: ½k_bT.

[eendavid]

Mooi. Het is gekend dat <V>=<T> geldt voor een onverstoorde harmonische oscillator. Is het eenvoudig in te zien dat dit ook moet gelden voor de huidige situatie?

[Dr.Gallons]

Mooi. Het is gekend dat <V>=<T> geldt voor een onverstoorde harmonische oscillator. Is het eenvoudig in te zien dat dit ook moet gelden voor de huidige situatie?

Er wordt expliciet vermeld dat het deeltje in thermisch evenwicht is met de omgeving.

[eendavid]

Misschien heb ik een verkeerd beeld van de situatie. Het gaat toch om een deeltje met massa dezelfde grootteorde als deze van het gas, zodat je een (H.O.-gecorrigeerde) Brownse beweging krijgt? Dan zal 1 botsing een significant effect hebben op de impuls, en is het niet triviaal dat je het viriaaltheorema mag toepassen (de dynamica verschilt significant van deze van een vrije H.O.).

[Dr.Gallons]

Misschien heb ik een verkeerd beeld van de situatie. Het gaat toch om een deeltje met massa dezelfde grootteorde als deze van het gas, zodat je een (H.O.-gecorrigeerde) Brownse beweging krijgt? Dan zal 1 botsing een significant effect hebben op de impuls, en is het niet triviaal dat je het viriaaltheorema mag toepassen (de dynamica verschilt significant van deze van een vrije H.O.).

De massa van de gasdeeltjes maakt niet uit (en wordt daarom niet genoemd). Het effect van een botsing hangt af van de impuls van de gasdeeltjes zodat het netto effect van botsing evenredig zal zijn met de gas druk. De druk in een gas hangt alleen van de temperatuur af.

Bij een ensemble van HO's zal elke HO apart ook een brownse beweging maken. Precies hetzelfde als de HO uit het vraagstuk. Het enige dat je kunt zeggen is dat op elk tijdstip een bepaalde fractie een energie E zal hebben (via de Boltzmann verdeling). Welke individuele HO's dat zijn verschilt van tijd tot tijd. Maar gemiddeld zullen zij elk een ½k_BT per vrijheidsgraad bijdragen.

[eendavid]

Bedankt. Om één of andere bizarre reden dacht ik dat equipartitie enkel voor de kinetische energie zou gelden.