Simpele harmonische oscillator

[dennisbakhuis]

Ik ben bezig met een huiswerkopdracht en kom er samen met Griffiths niet helemaal uit. De situatie is als volgt:

Het potentiaal is gegeven:

V(x) = infinite als x < 0.

V(x) = 1/2 * m * w^2*x^2 als x > 0

Zoals ik zie wordt hier een een simpele harmonische oscillator beschreven die maar 1 kant op "veert". Dit omdat er een oneindige potentiaal is op x < 0. Nu moeten wij de randvoorwaarden vaststellen voor de golffuncties.

Je weet dat de golffunctie gelijk moet zijn aan 0 voor x < 0.

Echter snap ik nog niet helemaal wat er op x = 0 gebeurt.

Ik ben nog niet helemaal overtuigt dat de golffunctie op x =0 ook 0 moet zijn.

Kan iemand mij een zetje in de goede richting geven?

Thx!

[Typhoner]

waaraan moet een "well-behaved" golffunctie voldoen?

[dennisbakhuis]

Een "well-behaved" golffunctie moet normalizeerbaar zijn.

Ik bedoelde ook niet dat de gehele golffunctie gelijk aan null is maar dat deze op x=0 gelijk aan 0 moet zijn. Dit is gelijk aan de "infinite well" waar je twee grensvlakken had met een oneindige potentiaal. Daar was de golffunctie ook psi(0) = psi(a) = 0.

[JorisL]

Ehm, je kan ze afleiden uit een aantal algemene voorwaarden, bvb in x=0 moet de golffunctie continu zijn.

Dan kan je meteen iets zeggen over de waarde daar.

Dit volgt uiteindelijk gewoon uit de schrodingervgl.

In griffiths komt dat ter sprake bij de bespreking van "bound" en "scattering" states, dacht ik.

Als je het niet gevonden hebt zal ik je morgen verder helpen, nu moet ik verder "studeren".

[Typhoner]

Een "well-behaved" golffunctie moet normalizeerbaar zijn.

ook niet continu, continu afleidbaar en single-valued?

een argumentatie kan ook zijn

\(\hat{T} \psi + V \psi = E \psi \Leftrightarrow \hat{T} \frac{\psi}{V} + \psi = \frac{\psi}{V} E\)

bij gelijkstellen van V aan oneindig krijg je

\(\psi = 0\)

. Om de continuïteit te waarborgen moet dit ook gelden voor x=0.

[EvilBro]

Hoofdstuk 2, vraag 42?

Ik ben nog niet helemaal overtuigt dat de golffunctie op x =0 ook 0 moet zijn.

Veronderstel dat die ongelijk is aan nul. V is oneindig. Denk je nu ooit een oplossing te vinden voor de golffunctie?

[dennisbakhuis]

Ok, ik ben inderdaad overtuigd dat de golffunctie gelijk is aan nul op x gelijk aan 0. Als je dan zoekt naar "passende" golffuncties dan moeten deze een "node" hebben op x gelijk aan nul. Dit houdt enkel de oneven oplossingen van de harmonische oscillator over.

Opgave 2.42 had ik nog niet gezien. Wij hebben enkel tot paragraaf 3 besproken. Maar hij is inderdaad exact hetzelfde.

Bedankt voor het zetje in de goede richting.

Dennis