Even en oneven functies

[_Wisk_]

Een functie is even als deze symmetrisch is rond de y-as.

Een functie is oneven als deze symmetrisch is rond de oorsprong.

Maar hoe toon ik aan de elke functie van R naar R te schrijven is als de som van een even en oneven functie ?

Ik heb werkelijk geen idee hoe ik hieraan moet beginnen.

Alvast bedankt!

[tempelier]

Bekijk deze:

\(g(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}\)

de functie g is dus: ....

[Safe]

Een functie is even als deze symmetrisch is rond de y-as.

Een functie is oneven als deze symmetrisch is rond de oorsprong.

Druk dit eens uit in het functie voorschrift. Dus f(x) is even als ... ,

Een functie g(x) is oneven als ...

Stel dan het volgende: h(x)=f(x)+g(x) wat is dan h(-x)=...

[_Wisk_]

Bekijk deze:

\(g(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}\)

Druk dit eens uit in het functie voorschrift. Dus f(x) is even als ... ,

Een functie g(x) is oneven als ...

Stel dan het volgende: h(x)=f(x)+g(x) wat is dan h(-x)=...

- Even: f(-x) = f(x)

- Oneven: g(-x) = - g(x)

h(-x) = f(-x) + g(-x)

= f(x) - g(x)

[Safe]

Mooi, zet nu h(x) en h(-x) eens onder elkaar ...

Kan je nu f(x) en g(x) in h(x) en h(-x) uitdrukken?

[_Wisk_]

Volgens mij krijg ik dan:

f(x) = ( h(x) + h(-x) ) / 2

g(x) = ( h(x) - h(-x) ) / 2

[EvilBro]

Alles bij elkaar:

Stel h(x) is een functie. Dan kan je zeggen:

\(f(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2}\)

Deze nieuwe functie kan je onderzoeken op 'evenheid':

\(f(-x) = \frac{h(-x) + h(x)}{2} = \frac{h(x) + h(-x)}{2} = f(x)\)

Deze functie f(x) is dus even.

Stel:

\(g(x) = \frac{h(x) - h(-x)}{2}\)

Dan:

\(g(-x) = \frac{h(-x) - h(x)}{2} = -\frac{h(x) - h(-x)}{2} = -g(x)\)

De functie g(x) is dus oneven.

Dan bekijk je:

\(f(x) + g(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2} + \frac{h(x) - h(-x)}{2} = h(x)\)

Je kan dus een even functie f(x) maken op basis van h(x) en je kan een oneven functie g(x) maken op basis van h(x) en de som van die twee functies is dan weer h(x). h(x) is dus uit te drukken als de som van een oneven en een even functie (namelijk f(x) en g(x)).

[tempelier]

Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.

[tempelier]

Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.

Dit is een foutje van me, ik had iets over de kop gezien.

Slechte beurt van me.

[_Wisk_]

Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.

Wat klopt er dan volgens u niet ?

[Safe]

Volgens mij krijg ik dan:

f(x) = ( h(x) + h(-x) ) / 2

g(x) = ( h(x) - h(-x) ) / 2

En dus is h(x)= ... (vul f(x) en g(x) in)

Ga nog eens alle stappen na.

[_Wisk_]

Neem een willekeurige functie h(x) en stel dat deze gelijk is aan de som van een even en een onven functie:

h(x) = f(x) + g(x) (1)

Dan is:

h(-x) = f(-x) + g(-x) (2)

Uit (1) en (2) volgen dat:

f(x) = (h(x) + h(-x)) / 2

g(x) = (h(x) - h(-x)) / 2

We kunnen vervolgens controleren of f(x) even is:

f(-x) = (h(-x) + h(x)) / 2 = f(x) -> Deze is dus even.

We kunnen ook controleren of g(x) oneven is:

g(-x) = (h(-x) - h(x)) / 2 = - [(h(x) - h(-x)) / 2] = - g(x) -> Deze is dus oneven.

We weten dat h(x) = f(x) en g(x) en we hebben net aangetoond dat f(x) even en g(x) oneven is.

Hieruit volgt dat h(x) dus is opgebouwt uit een even en een oneven functie; waardoor het bovenstaande bewezen is.

[Safe]

Prima, hoewel het iets korter kan ...

[_Wisk_]

Prima, hoewel het iets korter kan ...

Maar toch niet veel ? Ik zie trouwens niet waar het korter zou kunnen.

Bedankt allemaal!

[Safe]

OK! Succes verder.