lengte van een jaar

[Jeroen]

Ik zou graag de duur van een jaar willen berekenen voor een planeet. Het lijkt mij dat ik niet zomaar wat kan verzinnen. Ik denk bijvoorbeeld dat een planeet die dichtbij de ster staat sneller om zijn ster moet draaien als een planeet die verder staat om de aantrekkingskracht van de ster op te heffen. In iedergeval lijkt het mij dat dit te berekenen is.

Wie kan mij uitleggen hoe?

[T-reg]

ik denk met de derde wet van Kepler: Het kwadraat van de omlooptijd (P) van een planeet is evenredig met de derde macht van haar gemiddelde afstand (a) tot de zon ofwel: P²/a³ = constant.

Je moet dus eerst de afstand van de planeet waarvan je de omlooptijd wil berekenen weten.

Als ik mij niet vergis is dit bij de aarde dus: (365)²/(150 000 000km)³. Aan de uitkomst van deze bewerking moet dus ook de uitkomst van p²/a³ van een andere planeet gelijk zijn, of vergis ik mij nu?

[Tuv0k]

Ik weet niet hoe je dit kan berekenen, maar je hebt wel gelijk !

Ik weet niet de snelheid van een planeet die om de zon draait, maar ik weet wel de snelheid van een planeet-rotatie.

hier heb ik even wat info, misschien helpt het je:

Mercurius: Duur van een jaar: 88 aardse dagen.

Omwentelingssnelheid: 172.408 km/u

Afstand van de zon : 58 miljoen km

Venus : Duur van een jaar: 225 aardse dagen.

Omwentelingssnelheid: 126.11 km/u

Afstand van de zon : 108 miljoen km

Aarde : Duur van een jaar: 365,25 dagen

Omwentelingssnelheid: 107.245 km/u

Afstand van de zon : 150 miljoen km

Mars : Duur van een jaar: 687 aardse dagen

Omwentelingssnelheid: 86.870 km/u

Afstand van de zon : 228 miljoen km

Jupiter : Duur van een jaar: 12 aardse dagen

: Omwentelingssnelheid: 47.034 km/u

Afstand van de zon : 779 miljoen km

Saturnus: Duur van een jaar: 29 aardse dagen

: Omwenteligssnelheid : 34.703 km/u

Afstand van de zon : 1.34 miljard km

Uranus : Duur van een jaar: 84 aardse dagen

: Omwentelingssnelheid : 24.506

Afstand van de zon : 2.86 miljard km

Neptunes: Duur van een jaar: 164 aardse dagen

: Omwentelingssnelheid : 19.524 km/u

Afstand van de zon : 4.49 miljard km

Pluto : Duur van een jaar: 248 aardse dagen

: Omwentelingssnelheid : 17.091 km/u

Afstand van de zon : 5.91 miljard km

Zoals je ziet neemt de planeet-rotatie snelheid af naarmate de planeet verder van de zon af staat, dit zal ongeveer hetzelfde zijn als een rotatie rond de zon.

[Bruce]

Als ik mij niet vergis is dit bij de aarde dus: (365)²/(150 000 000km)³. Aan de uitkomst van deze bewerking moet dus ook de uitkomst van p²/a³ van een andere planeet gelijk zijn, of vergis ik mij nu?

klopt! en die constante is (4pi^2)/GM

(G=6,67*10^-11 en M is de massa van de zon)

(Let er wel op dat je p in seconde en a in meters rekent, anders komt eh niet uit!)

[arjesara]

idd, en algemener gezegd is bij een zogenaamd onservatief systeem van twee massa's M gelijk aan m1+m2 en a gelijk aan a1+a2. Maar goed, dat voert waarschrijnlijk te ver.

[Jeroen]

Ok dus in formulevorm is het dus ook zo:

P²/a³ = (4pi^2)/GM

met:

P = omlooptijd van de planeet

a = gem afstand van de ster

M = de massa van DE zon?????? toch? anders zou het geen constante zijn?

G = 6,67*10^-11 (komt me bekend voor, hoe noem je deze constante?)

[DePurpereWolf]

Ik weet niet hoe je dit kan berekenen, maar je hebt wel gelijk !

...

Aarde     : Duur van een jaar: 365,25 dagen

               Omwentelingssnelheid: 107.245 km/u

               Afstand van de zon : 150 miljoen km

...

Jupiter    : Duur van een jaar: 12 aardse dagen

            : Omwentelingssnelheid:  47.034 km/u

              Afstand van de zon : 779 miljoen km          

Saturnus: Duur van een jaar: 29 aardse dagen

            : Omwenteligssnelheid : 34.703 km/u

              Afstand van de zon : 1.34 miljard km

Uranus  : Duur van een jaar: 84 aardse dagen

           : Omwentelingssnelheid : 24.506

             Afstand van de zon : 2.86 miljard km

Neptunes: Duur van een jaar: 164 aardse dagen

            : Omwentelingssnelheid : 19.524 km/u

              Afstand van de zon : 4.49 miljard km

Pluto     : Duur van een jaar: 248 aardse dagen

           : Omwentelingssnelheid : 17.091 km/u

             Afstand van de zon : 5.91 miljard km

Zoals je ziet neemt de planeet-rotatie snelheid af naarmate de planeet verder van de zon af staat, dit zal ongeveer hetzelfde zijn als een rotatie rond de zon.

Der klopt iets niet in je gegevens, Jupiter circelt rondt de zon in 12 dagen? das *********** snel voor een planeet die veel verder van de zon af staat. Het heeft een veel grotere omtrek, dus zou de snelheid wel erg groot moeten zijn. Moeten het jaren zijn? (radius 5 keer zo groot, omtrek dus ~32 keer zo groot, rotatie snelheid is de helft, 65 keer zo lang? Dus een jaar duurt 60 jaar, pfoe, of reken ik nou iets verkeerd?)

[arjesara]

Ok dus in formulevorm is het dus ook zo:

P²/a³ = (4pi^2)/GM

met:

P = omlooptijd van de planeet

a = gem afstand van de ster

M = de massa van DE zon?????? toch? anders zou het geen constante zijn?

Neen, je hebt hier ongelijk. Het geldt voor elk conservatief twee lichamensysteem in de vorm

P²/(a1+a2)³ = (4pi^2)/G(M1+M2)

a1 en M1 zijn de afstanden respectievelijk de massas van het lichaam tot het Barycentrum (zwaartepunt van het systeem). Idem voor a2, M2. Echter, als M2 heel klein is tov M1 dan is deze verwaarloosbaar evenzo a1 En wordt je vergelijking:

P²/a2³ = (4pi^2)/GM1

Dan nog steeds is M niet de zonsmassa maar wel de enorm veel grotere massa in het systeem.

G = 6,67*10^-11 (komt me bekend voor, hoe noem je deze constante?)

Bekt "universele zwaartekrachtsconstante" lekker?

[Anonymous]

ja dat klinkt wel bekend ja

[Jeroen]

net weer vergeten in te loggen

ik had nog een vraagje over deze formule:

(4pi^2)/GM1

Misschien een domme vraag maar is het nou pi in het kwadraat maal 4,

of pi maal 4 en dat in het kwadraat want in dat geval zouden de haakjes niet goed staan...(tenminste zoals ik het geleerd heb)

Nou heb nog een probleempje, ik dach dat de ster het barycentrum was in dit geval, maar dan heb ik toch niks aan a1+a2? want dat zou dan 0+149.600.000 worden. Dus als ik goed denk (wat ik dus betwijfel) zou je die a1 nooit nodig hebben omdat ik dacht dat het barycentrum het middelpunt van de ster is waar de planeet omheen draait. En mijn probleem is dan dus, de afstand a1 die dan het middelpunt van de ster tot het middelpunt van de ster zou zijn???).

Maar wat is dan wel dat barycentrum? Hoe kom ik daar dan aan?

[arjesara]

Jeroen: 4Pi^2 betekent dus Pi kwadrateren en vermenigvuldigen met 4.

De ster (in ons zonnestelsel de zon) ligt trouwens bij benadering in het zwaartepunt/barycentrum als de massa's enorm uit elkaar liggen. Dat is zo in ons zonnestelsel Jupiter is uit mijn hoofd gezegd ongeveer 100 maal lichter dan onze zon. Daarom beweegt de zon bijna niet. Echter, dit is niet altijd het geval. Er zijn bepaalde stersystemen (zogenaamde bedekkingsveranderlijken) waarbij de ene ster om de andere heen draait en waarbij ze dus om een gemeenschappelijk zwaartepunt=barycentrum heendraaien. Daar gaat het om. Vandaar dat je het wat algemener moet stellen. In zo'n geval heb je dus wel die uitgebreidere formule nodig. Echter, de oplossing van hoe dan de baan er exact uit gaat zien is tamelijk lastig als je het heel algemeen wil stellen.

Overigens heb ik over dit laatste geval mijn EXO (Een beetje vergelijkbaar met PO) hierover gedaan, dus je kunt wel wat vragen, als je wilt.

Om even in PHP een beroerd tekeningetje te maken:

M m1--a1--B------a2------m2 M

m1= Massa1

m2= Massa2

B=Barycentrum

a1=Afstand m1 tot B

a2=Afstand m2 tot B

M=Draaimoment

Denk even nu niet dat het draait maar dat er staafjes zitten tussen m2 en m1 en dat er een draaipunt zit in B. Je hebt dan je (tweede klas) balans verhaal. Je krijgt dan het welbekende (kracht * arm=kracht * arm)

Op die manier kun je aanschouwelijk maken dat die formule geldt. Doordat er geen remmende kracht (maar wel aantrekkingskracht) is en omdat er geen werkelijk staafje tussen de massa's zit, gaat het systeem roteren om B

[Jeroen]

dat van die pi kwadraat wilde ik alleen even zeker zijn dat het geen typfoutje was

mocht ik omloopperiode willen berekenen van EEN maan bij zijn planeet dan wordt het dus wat ingewikkelder, want als ik het goed begrijp zorgt die maan dan ook voor een kleine verschuiving van de planeet dus het barycentrum in dat geval ligt niet precies in het midden van die planeet.

[arjesara]

Dat klopt inderdaad. Dat is alleen het geval als je het exact wil berekenen en als de verhouding m(planeet)/(m(maan)+m(planeet)) niet bijna gelijk is aan 1 (oftewel de massa van de maan verwaarloosbaar is tov de planeetmassa). Hier is trouwens een programmaatje voor dit soort bedekkingsveranderlijke sterren ttp://www.cosmion.net/software/ebs/

[Jeroen]

Ik stuit weer op een probleempje, misschien begrijp ik het toch nog niet helemaal maar ik heb nu als volgt een testje gedaan;

De planeet is verwaarloosbaar klein vergeleken met de ster en het barycentrum ligt ook vrijwel in het midden van de ster dus ik kan dan als het goed is dit zeggen:

P²/a2³ = (4pi^2)/GM1

ik heb gebruikt:

P = 365,256 dagen

a2 = 149.600.000 km

G = 6,67*10^-11

M1 = 1,989*10^30

Nou kwam er bij P²/a2³ = 3,985*10^-20 uit

En bij (4pi^2)/GM1 = 2,976*10^-19

Had dat niet wat meer hetzelfde moeten zijn, of is het verwaarloosbaar en kun je zeggen dat dit vrijwel hetzelfde is, want ik weet niet of dit verschil nou zo groot is op deze schaal.

En als ik bij de tweede formule M1+M2 pak komt er 1,985*10-29 uit

Dat verschil is wel heel erg groot lijkt mij dan is de massa van de planeet toch eigenlijk niet verwaarloosbaar? En als ik die dus wel meetel dan klopt de uitkomst weer niet met de eerste formule....

[Syd]

P = 365,256 dagen

a2 = 149.600.000 km

G = 6,67*10^-11

M1 = 1,989*10^30

Je hebt het toch wel als seconde en meters en kg ingevuld ??

Anders kopt het inderdaad niet.