Paradox: Achilles En De Schildpad

[Philos Iraptor]

Voor diegenen die de paradox nog niet kennen:

-----------

Een schildpad daagt Achilles uit voor een race.

De schildpad vraagt om een voorsprong van twee meter.

Nu zegt de schildpad dat Achilles niet meer kan winnen, omdat in de tijd dat Achilles deze meter aflegt, de schildpad ook een afstand heeft afgelegd.

In de tijd dat Achilles deze nieuwe afstand aflegt, heeft de schildpad ook een afstand afgelegd.

Kortom; het is onmogelijk voor Achilles om de schildpad in te halen.

-----------

Toch weten we allemaal uit ervaring, dat een sneller persoon een langzamer persoon WEL kan inhalen.

Mijn vraag is dan ook: Waarom is inhalen mogelijk?

• In de tijd dat Achilles deze 2 meter aflegt, legt de schildpad 1 meter af.
• In de tijd dat Achilles deze 1 meter aflegt, legt de schildpad 0.5 meter af.
• In de tijd dat Achilles deze 0.5 meter aflegt, legt de schildpad 0.25 meter af.
• In de tijd dat Achilles deze 0.25 meter aflegt, legt de schildpad 0.125 meter af.
• Enzovoort.

Dit is waar. Toch haalt Achilles de schildpad op een gegeven moment in.

Waarom?

Dit moet toch een van de volgende dingen betekenen?

• Er is een tijd, waarin Achilles wel afstand aflegt en de schildpad niet.
• Er is een afstand, die Achilles geen tijd kost, maar de schildpad wel

Welke is het?

[EvilBro]

Toch haalt Achilles de schildpad op een gegeven moment in.

Waarom?

Kijk naar het verloop van de tijd in je analyse. De tijdstap wordt steeds kleiner. In je analyse gaat de tijd nooit voorbij een bepaald punt (het tijdstip waarop de schildpad en Achilles naast elkaar staan).

[Bartjes]

Dit moet toch een van de volgende dingen betekenen?

• Er is een tijd, waarin Achilles wel afstand aflegt en de schildpad niet.
• Er is een afstand, die Achilles geen tijd kost, maar de schildpad wel

Welke is het?

Dat volgt er niet uit! Probeer de redenering eens sluitend te maken...

[Doctor Who]

Mijn vraag is dan ook: Waarom is inhalen mogelijk?

• In de tijd dat Achilles deze 2 meter aflegt, legt de schildpad 1 meter af.

Hierin ligt dus het antwoord besloten: stel die tijd op 1 (seconde) om het makkelijk te maken.

De race begint op tijdstip t = 0.

Op tijdstip t = 0 is de schildpad 2 meter van Achilles verwijderd.

Op tijdstip t = 1 is Achilles op die plaats aangekomen en is de schildpad een meter verder gelopen.

Het verschil in afstand is nu gededuceerd tot één meter.

Op tijdstip t = 2 is Achilles twee meter verder gelopen en de schildpad één:

nu zijn beiden op dezelfde plaats aangekomen.

Op tijdstip t = 3 heeft Achilles de schildpad een meter achter zich gelaten.

[Bartjes]

Iedereen weet dat de schildpad wordt ingehaald. Dat is het probleem niet. Het probleem is dat de paradox lijkt aan te tonen dat de schildpad niet kan worden ingehaald. Er moet dus een fout in de paradoxale redenering zitten. Die fout kan je vinden door de redenering heel minutieus uit te werken.

[Philos Iraptor]

Dat begrijp ik ook nog wel ^^

Mijn vraag is niet OF het mogelijk is, ik heb zelf vaak genoeg personen ingehaald, of een afstand afgelegd.

Mijn vraag was meer algemeen; dit was simpelweg een manier van beschrijven.

Voor ik een uur verder ben, moet ik eerst een half uur verder zijn, eerst een kwartier, enz.

Dit is dus een asymptoot: ik kom steeds dichter bij het uur 'vol' maken, maar er is ook altijd een tijd die ik nog nodig heb het uur 'vol' te maken.

Toch is het uur op een gegeven moment voorbij.

Als ik altijd een tijd nodig heb om het uur vol te maken, zou dit uur nooit vol kunnen zijn.

Dus moet er een minimale 'tijd' zijn. Of niet?

En weer een andere variant van dezelfde vraag:

Een boer deelt zijn land in de helft.

Deze helft deelt hij ook door de helf.

Enzovoort.

Vraag: wanneer heeft hij het hele land opgedeeld?

Dit is hetzelfde als mijn andere voorbeelden: als je telkens de helft van de helft .... neemt, wanneer heb je het geheel?

Kortom; er moet een kleinste hoeveelheid zijn, of niet?

[tempelier]

Iedereen weet dat de schildpad wordt ingehaald. Dat is het probleem niet. Het probleem is dat de paradox lijkt aan te tonen dat de schildpad niet kan worden ingehaald. Er moet dus een fout in de paradoxale redenering zitten. Die fout kan je vinden door de redenering heel minutieus uit te werken.

Er zit geen fout in, ze is gewoon niet afgemaakt.

Men kan verder gaan door twee limieten op te stellen eentje voor de afstand en eentje voor de tijd.

Bij de limiet overgang haalt Achilles de schildpad kennelijk in, zoals de praktijk bewijst.

[Bartjes]

Voor ik een uur verder ben, moet ik eerst een half uur verder zijn, eerst een kwartier, enz.

Dit is dus een asymptoot: ik kom steeds dichter bij het uur 'vol' maken, maar er is ook altijd een tijd die ik nog nodig heb het uur 'vol' te maken.

Toch is het uur op een gegeven moment voorbij.

Als ik altijd een tijd nodig heb om het uur vol te maken, zou dit uur nooit vol kunnen zijn.

Dus moet er een minimale 'tijd' zijn. Of niet?

Zal ik het dan maar verklappen? Een uur bestaat (ideaal gesproken) uit oneindig veel tijdstippen. En ook uit oneindig veel tijdspannen. Voor er een uur om is moeten die allemaal doorlopen worden. Als je er van uitgaat dat oneindig veel taken nooit voltooid kunnen worden, kan een uur niet verstrijken, kan de schildpad niet ingehaald worden, enz. enz. Maar er is geen enkele reden om aan te nemen dat het in alle gevallen onmogelijk is dat oneindig veel taken kunnen worden voltooid. Dus zijn Zeno's paradoxen niet dwingend.

(Limieten zijn geen oplossing, precies om de reden dat ook in Zeno's paradoxen al sprake is van benaderingen.)

[Flisk]

Heel simpel uitgelegd: een oneindige som kan een eindig resultaat leveren. Het begrip "oneindig" werd vroeger vaak als absurd aangezien en daardoor werd deze redenering in de tijd van de grieken als een paradox gezien.

Meer gedetailleerd uitgelegd:

Een voorbeeld van een oneindige som: 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... + 9/10^n + ... geeft 0.99999999 met oneindig veel "9's". Dit is uiteraard gelijk aan 1, want hoe meer "9's", hoe kleiner het verschil met 1 wordt (als een bewijs gevraagd wordt zal ik dit met plezier toevoegen).

Toegepast op de schildpad: Stel de schilpad heeft 0.9 meter voorsprong t.o.v. het beginpunt en beweegt aan 0,9 meter per seconde. Achilles beweegt aan 1 meter per seconde en begint aan het beginpunt. Als achilles dan toekomt op de plaats waar de schilpad eerst was, dan is is de schildpad ondertussen 0,9 seconden verder gekropen aan 0,1 meter per seconde. Dus de schildpad bevindt zich dan op 0,99 meter van het beginpunt. Vervolgends gaat achilles naar die tweede plek aan 1 meter per seconde en hij zal er dus 0,09 seconden over doen. Tegen dan is de schildpad 0,999 meter verder van het beginpunt.

Hier wordt dus de reeks gevormd som(9/10^n) van n gaande naar oneindig. Wat gelijk is aan 1.

Deze paradox beschrijft dus heel mooi dat het begrip "oneindig" in de meest simpele denkwijzen kan teruggevonden worden.

[Bartjes]

Een voorbeeld van een oneindige som: 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... + 9/10^n + ... geeft 0.99999999 met oneindig veel "9's". Dit is uiteraard gelijk aan 1, want hoe meer "9's", hoe kleiner het verschil met 1 wordt (als een bewijs gevraagd wordt zal ik dit met plezier toevoegen).

Dat het verschil met 1 willekeurig klein gemaakt kan worden wist Zeno ook wel. Dat is het probleem niet.

[eendavid]

Vage besprekingen over 'oneindig veel taken die kunnen uitgevoerd worden in een uur' zijn irrelevant. Het gaat er gewoon om dat de tijdstippen waarop de positie van de schildpad en die van Achilles worden vergeleken steeds tijdstippen zijn die optreden voordat Achilles de schildpad voorbijsteekt. Als Zeno een notie had gehad van limieten, dan had hij geweten dat de limiet van de tijdstippen waarop hij keek eindig was, en was de oplossing van de paradox duidelijk geweest. Wat Evilbro, en in essentie Flisk ook, al zei dus.

[Bartjes]

Vage besprekingen over 'oneindig veel taken die kunnen uitgevoerd worden in een uur' zijn irrelevant.

Daar is niets vaags aan. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Supertask

Het gaat er gewoon om dat de tijdstippen waarop de positie van de schildpad en die van Achilles worden vergeleken steeds tijdstippen zijn die optreden voordat Achilles de schildpad voorbijsteekt.

Dat klopt.

Als Zeno een notie had gehad van limieten, dan had hij geweten dat de limiet van de tijdstippen waarop hij keek eindig was, en was de oplossing van de paradox duidelijk geweest. Wat Evilbro, en in essentie Flisk ook, al zei dus.

Het moderne limietbegrip zegt niets over de som van oneindig veel termen, maar enkel over een limietwaarde die door partieelsommen willekeurig dicht benaderd kan worden. Van zo'n oplossing zou Zeno terecht gehakt gemaakt hebben. Hij wist ook wel dat het punt en tijdstip waarop ze elkaar inhalen bij zijn paradox gaandeweg steeds dichter benaderd wordt.

De enige deugdelijke oplossing die ik zie bestaat daaruit te aanvaarden dat in sommige gevallen oneindig veel taken in een eindige tijd voltooid kunnen worden. Daarmee is de paradox op een logische en simpele wijze opgelost. De denkfout van de paradox zit 'm dan in de impliciete veronderstelling dat een aftelbaar oneindige rij taken nimmer in een eindige tijd kan worden voltooid. Dat dit in het geval van Achilles en de schildpad wel kan is in te zien door aan te tonen dat de tijdspannen van al die opeenvolgende deelwedstrijdjes binnen één eindige tijdspanne zijn in te passen. Een limiet hoeft daarvoor niet te worden uitgerekend.

[eendavid]

De denkfout van de paradox zit 'm dan in de impliciete veronderstelling dat een aftelbaar oneindige rij taken nimmer in een eindige tijd kan worden voltooid.

Een evaluatie van de relatieve posities op tijdstippen voor het moment van voorbijsteken wordt verkeerdelijk als een evaluatie van alle tijdstippen beschouwd. Je kan daar begrippen als taken en supertaken beginnen bijsleuren om het ingewikkelder te doen uitschijnen dan het is, maar het verandert er niets aan dat dit de fundamentele verwarring is. En deze verwarring was niet opgetreden als gekend was geweest dat een reeks met positieve termen eindig kan zijn.

[Michel Uphoff]

Zou dit een eenvoudige steekhoudende oplossing kunnen zijn?

- we hoeven nimmer oneindige delingen en dergelijke te veronderstellen, want er is een kleinste, ondeelbare, tijd en lengte, de Plancktijd en -lengte. Ergens diep in de cijfers achter de komma wordt het van iets in een klap niets. of van bijna een in een klap een. Dag paradox.

Of kan je dit niet zo stellen?

[physicalattraction]

Zelfs zonder de aanname van het bestaan van een Planck-lengte of -tijd is dit een paradox en geen tegenstelling. Ik zou er dus niet nog allerlei aannames bij gaan maken die niet nodig zijn.