limiet met i

[Badshaah]

Hallo

Stel je hebt de volgende limiet:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty\)

En kijk nu naar de volgende limiet:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{i}{x}=i\infty\)

Nu pas ik het een beetje aan en dan krijg je opeens iets vreemds:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{i}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{i}{x}\cdot\frac{i}{i}=\lim_{x\rightarrow 0}-\frac{1}{xi}=-\infty\)

Mijn vraag is wat ik hier fout doe. Alvast bedankt!

[TD]

Hallo

Stel je hebt de volgende limiet:

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty\)

Wat bedoel je hiermee? Is x reëel? Dan klopt het alvast niet; de linkerlimiet is -oneindig.

[Badshaah]

x is reeel ja, maar waarom klopt het dan alvast niet? en bij de limieten bedoel ik steeds van boven naar nul naderend (

\(x\downarrow 0\)

).

[TD]

x is reeel ja, maar waarom klopt het dan alvast niet? en bij de limieten bedoel ik steeds van boven naar nul naderend (

\(x\downarrow 0\)

).

Maar dat heb je niet gezegd/vermeld. Voor de eerste limiet (met x reëel) is het dan in orde, maar wat betekent "van boven" in het tweede geval? Als x daar complex is, gaat dat niet eens zomaar. Als x nog steeds reëel is, hoe kom je dan aan de laatste overgang? Je bent hier in elk geval onzorgvuldig zaken aan het 'mengen'.

[Badshaah]

Ik schrijf nog een keer de limieten uit voor de duidelijkheid (met ''van boven'' bedoel ik dat x naar nul nadert vanaf positieve x):

\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{i}{x}=i\infty\)

Hier is x reeel. Wat ik hier doe is eigenlijk de eerste limiet vermenigvuldigen met het imaginaire getal i. Vervolgens vermenigvuldig ik met 1. In dit geval is dat i/i :

\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{i}{x}\cdot\frac{i}{i}=\lim_{x\downarrow 0}\frac{-1}{xi}=-\infty\)

Doordat i^2=-1 en omdat x nul nadert krijg je (volgens mij) bovenstaande uitdrukking. Of doe ik hier iets fout?

[TD]

\(\lim_{x\downarrow 0}\frac{-1}{xi}=-\infty\)

Waarom zou dit gelden? Als x reëel is weet je dat 1/x naar (+)oneindig gaat voor x naar 0 (langs rechts/boven), dus je zou wel kunnen zeggen:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 1}}{{xi}} = - \frac{1}{i}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = - \frac{1}{i}\infty = i\infty \)

Aangezien -1/i = -i/i² = -i/(-1) = i; consistent met wat je eerder vond.

Maar waarom zou 1/(ix) naar +oneindig (reëel?!) gaan met x (langs rechts/boven) naar 0?

Voor x reëel en k positief én reëel, gaat 1/(kx) ook naar +oneindig met x (langs rechts/boven) naar 0; maar als die k negatief of zelfs niet reëel is (zoals in het geval van i), waarom zou dat dan nog steeds gelden? Met k reëel maar negatief geldt het zelfs al niet meer.

[Badshaah]

Oke ik snap het al. Ik dacht als je 0 vermenigvuldigt met die i dat die gewoon wegvalt, maar dat gebeurt dus niet. In ieder geval is het duidelijk, bedankt.

[TD]

Oké, graag gedaan. In elk geval: voorzichtig zijn met dergelijke 'spielerei'...

[tempelier]

Misschien wat mosterd na de maaltijd maar in de komplexe getallen wordt er meestal maar een oneindigheid toegevoegd.

(die zit op het topje van de Riemann bol)

[TD]

Ja, maar als ik het goed begreep was de x (ook de variabele in de limiet) wel reëel.

[tempelier]

Uit #6 meen ik te lezen dat

\(i^2=-1\)

dus moet dan alles in het komplexe gebied beschouwd worden lijkt me.

[TD]

De limieten waarvan sprake was waren ook linker- en rechterlimieten (x naar 0 met x positief/negatief) en dat heeft alleen maar zin als x reëel is. Het is niet omdat je binnen de complexe getallen werkt, dat je geen reële getallen (die zitten er immers ook in...) kan beschouwen. Het is wel wat 'vaag' om dingen te beginnen mengen, iets waarvoor ik ook eerder al waarschuwde.