Wat is oneindig?

[bartju1234]

Hallo,

ik weet niet of ik dit onderwerp goed plaats, maar wat wordt er bedoelt als men zegt dat iets oneindig is? Betekent het dan te groot, veel, klein om te meten of betekent het werkelijk dat het geen grenzen heeft?

mvg Bart

[Jan van de Velde]

Hoe ver je ook gaat, je kunt altijd nog verder.

[bartju1234]

Hoe ver je ook gaat, je kunt altijd nog verder.

best vaag vind je niet:P

[Bartjes]

De betekenis van het woord 'oneindig' is afhankelijk van het vakgebied waarin het gebruikt wordt.

[eendavid]

Aangezien we hier in ruimtefysica zitten lijkt het me zinnig te onderstellen dat gesproken wordt over de mogelijke oneindigheid van de ruimte. Dit kan wiskundig zeer goed gedefinieerd worden, bijvoorbeeld met deze definitie

A metric space M is called bounded if there exists some number r, such that d(x,y) ≤ r for all x and y in M.

d(x,y) is hier de afstand tussen de punten x en y. Een 'oneindige' ruimte betekent dus dat de je voor een willekeurig getal r, 2 punten x en y kan vinden waarvor d(x,y) groter is dan r.

Hetgeen Jan zegt is inderdaad wel wat vaag. Je zou kunnen zeggen dat je in het interval ]0,1[ 'altijd verder' kan door als volgt vooruit te gaan: 1/2,3/4,7/8,15/16,... Je zou het preciezer maken door te zeggen

Hoe ver je ook gaat, je kunt altijd nog een even grote stap verder gaan.

Wanneer je dan een gekke metriek definieert op het interval ]0,1[, waarbij de bovenstaande stapjes 'even groot' zijn, kan je vinden dat dit interval oneindig is (maar met de standaardmetriek uiteraard niet).

Maar ook dat is wat problematisch: op een eenheidscirkel of sfeer bijvoorbeeld kan je stappen van afstand 1 blijven nemen.

[kapaski]

als je er over nadenkt dan is het een hele rare gedachte

[tempelier]

In de wiskunde wordt vaak deze definite gebruikt:

Een oneindige hoeveelheid verandert niet van grootte als er een eindige hoeveelheid aan wordt toegevoegd of afgenomen.

[kapaski]

even iets om over na te denken: oneindig min oneindig, is dat nul of nog steeds oneindig?

[tempelier]

even iets om over na te denken: oneindig min oneindig, is dat nul of nog steeds oneindig?

Nee dat is onbepaald net als 0/0.

[kapaski]

wat bedoelen ze met oneindig, is het dat het de hele tijd verder gaat zonder te stoppen, en kan je het meten?

[thomasr]

als het oneindig doorgaat kun je het niet meten toch?

[Bartjes]

Over het oneindige is al duizenden jaren nagedacht. Dat heeft een aantal wis- en natuurkundige theorieën opgeleverd. Binnen die theorieën kan er zinvol over het oneindige (volgens de dáár gehanteerde definitie) gesproken worden. Zomaar in het abstracte iets over "het oneindige" roepen is zinloos, en leidt tot oncontroleerbaar geleuter (en uiteindelijk weer tot een slotje op het topic).

Het beste dat men kan doen is eerst het Wikipedia-artikel over de verschillende versies van het oneindige door te nemen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity

Zijn er dan nog vragen dan kunnen we het daar verder over hebben.

[TaraS]

even iets om over na te denken: oneindig min oneindig, is dat nul of nog steeds oneindig?

maar 0 is toch ook oneindig?

[robheus]

Dit is misschien wel een leerzame metafoor. Stel je een ruimte voor waarin we een lijn hebben, en die is naar beide richtingen ongelimiteerd.

Stel nu dat je wat wilt meten, door op die lijn twee punten te zetten.

Het eigenaardige is nu dat je, waar je die punten ook zet, de te meten afstand tussen die twee punten altijd een eindige waarde heeft.

Aangezien je helemaal niet beperkt was in het plaatsen van die punten, zou je dan kunnen concluderen dat de lijn zelf ook eindig moet zijn.

Maar het is te beredeneren dat dat niet zo is, want dat zou er namelijk een eindige bovengrens moeten zijn aan de afstand tussen die twee punten. Aangezien je de punten op die lijn altijd verder uit elkaar kunt zetten, kan dat dus niet.

Daarom is de lijn zelf oneindig, ondanks dat elke te meten waarde van afstand tussen twee punten op die lijn altijd een eindige uitkomst heeft.

[robheus]

Nog een voorbeeld: de verzameling natuurlijke getallen (1,2,3,4,5 etc.).

Elk getal van die verzameling is aftelbaar, want je kunt gewoon bij 1 beginnen en dan doortellen tot je bij dat getal bent. Dat stopt dus gegarandeerd. Er is dus geen enkel natuurlijk getal dat oneindig groot is, want dat zou je het niet kunnen aftellen. Maar toch is er geen grootste natuurlijke getal, want stel dat dat getal N zou zijn, dan kun je aantonen dat N+1 ook deel uitmaakt van de natuurlijke getallen en groter is dan N.

De cardinaliteit van de verzameling natuurlijke getallen is daarom oneindig. Dat wordt ook wel Aleph nul genoemd, het eerste oneindige getal. Er zijn namelijk nog grotere oneindige getallen (oneindig veel zelfs).

Zo weten we dat de cardinaliteit van de verzameling reële getallen groter is dan die van de natuurlijke getallen, want je kunt de natuurlijke getallen en reële getallen niet in een één-op-één correspondentie zetten met de natuurlijke getallen. Dit is aangetoond door Cantor mbv. een diagonaal argument.